極大子群的s-完備對有限群結(jié)構(gòu)的影響.pdf

1、在有限群的研究中,利用極大子群研討群的結(jié)構(gòu)是一個常用的并且是有效的方法,曾經(jīng)得到一系列深刻的結(jié)果.1959年Deskins在在文獻(xiàn)[1]中提出了極大子群指數(shù)復(fù)合的概念,并在1990年獲得了關(guān)于群可解的一個充要條件:定理1.1.2.之后,關(guān)于極大子群的指數(shù)復(fù)合的研究取得了較大的進(jìn)展.例如,A.Ballester-Bolinches和Luis M.Ezquerro在文獻(xiàn)[3]中獲得了關(guān)于群超可解的一個充要條件:定理1.1.3.李世榮和趙耀慶

2、在文獻(xiàn)[4,6,7]中得到了一系列有意義的結(jié)果后,在文獻(xiàn)[8]中將極大完備推廣到s-完備.本文的主要目的是研究極大子群的s-完備對有限群結(jié)構(gòu)(如可解性,超可解性,冪零性)的影響.本文共分為兩章,第一章主要介紹所涉及的有關(guān)研究背景,基本概念,引理和相關(guān)定理.第二章利用極大子群的極大完備和s-完備,得到有限群可解,超可解與冪零的一些充要條件和充分條件.主要結(jié)果如下:首先討論了極大完備和s-完備和群的可解性的影響.主要有定理2.1.4,推廣了

3、Deskins的定理1.1.2,該結(jié)論已經(jīng)再《北京教育學(xué)院學(xué)報》(2009,4(1):1-3)發(fā)表,定理2.1.6是文獻(xiàn)[5],[6],[7]研究工作的繼續(xù),該結(jié)論已經(jīng)發(fā)表在《廣西師范大學(xué)學(xué)報》(2010,28(1):13-17).定理2.1.4設(shè)G是有限群,p為|G|的素因子,群G可解的充分必要條件是對于G的每個滿足如下條件的極大子群M,|G:M|p=1,存在I(M)的極大元C使得C/K(C)是冪零的,其Sylow2-子群的冪零類≤2

4、.定理2.1.5設(shè)G是有限群,假設(shè)對于G的每個合數(shù)指數(shù)極大子群M,I(M)包含一個極大元C使得|C/K(C)|無平方因子,C/K(C)的階大于或等于η(G:M)且η(G:M)2≤4,則G可解.特別地,G或者2-超可解或者G有一個同態(tài)像與S4同構(gòu).定理2.1.6設(shè)G是有限群,若G有一個可解極大子群M在G中的指數(shù)為素數(shù)冪,M的2-秩≤2,G的每個合數(shù)指數(shù)的極大子群都有一個極大完備C使得|C/K(C)|無平方因子,并且Cg匡M對一切g(shù)∈G成立

5、,則G或者可解或者有一個截斷與A5同構(gòu).設(shè)G為p-可解群,1=G0(?)G1(?)…(?) Gs=G是G的一個主群列.若Gi+1/Gi為P-主因子,則令|Gi+1/Gi=pni.在所有的p-主因子中,最大的ni稱為G的p-秩,記為rp(G).群X稱為群Y的一個截斷,如果X是Y的一個子群的同態(tài)像.其次討論了有限群的極大完備和s-完備得到群超可解的若干結(jié)論,主要結(jié)果有定理2.2.3,2.2.5,2.2.7,其中有兩個結(jié)果發(fā)表在((凱里學(xué)院學(xué)

6、報》(2009,27(6):1-3)定理2.2.1設(shè)G是有限可解群,假設(shè)對于|G|的任意一個素因子p和每個pc-極大子群M,|G:M|=pd,d＞1,,(M)包含一個極大元C使得C/K(C)循環(huán),|C/K(C)|為合數(shù)且與(pd-1)(pd-1)…(p-1)互素,那么G或者超可解或者G/K(C)≌S4.定理2.2.3設(shè)有限群G與S4無關(guān),則G超可解的充分必要條件是對于G的每個c-極大子群M,存在一個s-完備C使得CM=G且C/K(C)循