應(yīng)用于偏微分方程的增量未知元和類小波增量未知元方法.pdf

1、提出不同類型的增量未知元用于構(gòu)造有限差分?jǐn)?shù)值格式。本文主要考慮增量未知元以下方面。 首先，通過增量未知元方法建立適合三維偏微分方程的清晰矩陣框架，在三維情形提出增量未知元的多層格式，通過數(shù)值試驗(yàn)，證實(shí)包括求解泊松方程，增量未知元的分層預(yù)處理形式可以用于更一般的方程。 其次，將增量未知元方法和一些現(xiàn)代迭代方法相結(jié)合，如MR，GCR，Orthomin(k)，Bi-CGSTAB，HSS，BTSS等，并求解由三維對(duì)流擴(kuò)散方程多層

2、離散生成的非對(duì)稱正定線性系統(tǒng)。通過理論分析，估計(jì)出與靜態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程相關(guān)的增量未知元矩陣條件數(shù)，以及MR，GCR，Orthomin(k)迭代法求解數(shù)值解所需的迭代步數(shù)。給出數(shù)值試驗(yàn)，通過兩層逼近證明增量未知元是一個(gè)好的預(yù)處理子，尤其在結(jié)合一些迭代方法時(shí)。 第三，在二維情形，使用兩層增量未知元的θ格式求解依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程。證實(shí)關(guān)于二階增量未知元的慣性流形多重網(wǎng)格算法是收斂的。增量未知元θ格式在0≤θ<1/2時(shí)是條件穩(wěn)定的，在

3、1/2≤θ≤1時(shí)是無條件穩(wěn)定的。在時(shí)間層每一步迭代使用GMRES方法求解依賴時(shí)間的對(duì)流擴(kuò)散方程，數(shù)值試驗(yàn)說明增量未知元方法能控制計(jì)算中帶來的擾動(dòng)。 第四，提出一個(gè)修正的，基于一邊差分的Crank-Nicolson格式，用于求解二維依賴時(shí)間的對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散方程。二階一邊差分逼近用于對(duì)流項(xiàng)的離散，二階中心差分逼近用于擴(kuò)散項(xiàng)的離散。該數(shù)值格式是相容的，無條件穩(wěn)定的。對(duì)全離散格式，推導(dǎo)了先驗(yàn)誤差估計(jì)。使用增量未知元預(yù)處理子之后，數(shù)值結(jié)果證

4、實(shí)了修正的Crank-Nicolson格式的穩(wěn)定性和有效性。 接著，本文提出一個(gè)隱式差分格式求解上述類似問題。對(duì)常系數(shù)的對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散方程而言，基于一邊有限差分和中心差分的隱格式是相容的并且無條件穩(wěn)定，對(duì)應(yīng)L2誤差估計(jì)被推導(dǎo)。而且Burgers類型的方程使用類似半隱格式，其中只是對(duì)非線性項(xiàng)線性化，其時(shí)間上采用顯式，這種半隱格式是條件穩(wěn)定的。通過增量未知元方法的預(yù)處理技術(shù)，這種隱格式或半隱格式是一種有效格式，它能避免數(shù)值擾動(dòng)，在穩(wěn)定

5、性和精度上表現(xiàn)和理論結(jié)果一致。 同時(shí)，提出一種新的類小波增量未知元，它具有一些好的性質(zhì)。一方面，近似解空間能被類小波增量未知元分解成兩個(gè)L2正交子空間，這能使耦合系統(tǒng)自動(dòng)消掉一些項(xiàng)，簡化計(jì)算。另一方面，從類小波增量未知元到節(jié)點(diǎn)未知元的變化矩陣是正交矩陣，更方便計(jì)算。當(dāng)應(yīng)用于慣性流形多網(wǎng)格算法和非線性伽略金方法時(shí)，可證明類小波增量未知元方法的收斂性。 最后，提出二維和三維類小波增量未知元方法，用于求解二維和三維具有多項(xiàng)式非