單純有向三元系大集.pdf

1、有向三元組有兩種，一種是循環(huán)三元組，另一種是可遷三元組.集合X上的循環(huán)三元組是由X的三個有序?qū)?x，y)，(y，z)，(z，x)組成的集合，記作(或，或).X上的可遷三元組是由X的三個有序?qū)?x，y)，(y，z)，(x，z)，(x，z)組成的集合，記作(x，y，z)。
　　 參數(shù)為(ν，λ)的有向三元系是一個對子(X，B)，其中X是ν元集，B是X中有向三元組的集合(稱作區(qū)組)，滿足X的每

2、個有序?qū)Χ记“贐中λ個區(qū)組.如果B僅由循環(huán)三元組(或者可遷三元組)構(gòu)成，這樣的有向三元系稱作參數(shù)為(ν，λ)的Mendelsohn三元系(或可遷三元系)，記作MTS(ν，λ)(或DTS(ν，λ)).如果B同時包含循環(huán)三元組和可遷三元組，這樣的有向三元系稱作參數(shù)為(ν，λ)的Hybrid三元系，記作HTS(ν，λ).
　　 三元系(X，B)稱為簡單的是指B中不包含重復(fù)區(qū)組.簡單MTS(ν，λ)稱為單純的，記為PMTS(ν，λ)

3、，是指如果∈B必有()B.簡單DTS(ν，λ)稱為單純的，記為PDTS(ν，λ)，是指如果(x，y，z)∈B必有(z，y，x)，(z，x，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(x，z，y，)()B.簡單HTS(ν，λ)稱為單純的，記為PHTS(ν，λ)，是指如果區(qū)組集{(x，y，z)，(z，y，x)，(z，x，y)，(y，x，z)，(y，x，z)，(y，z，x)，(x，z，y)，，

4、>}中有一個三元組包含在B中，必有區(qū)組集中其它三元組都不包含在B中。
　　 不相交MTS(ν，λ)(或DTS(ν，λ))大集，記為LMTS(ν，λ)(或LDTS(ν，λ))，是一個集合{(X，Bi)}i，其中每個(X，Bi)都是MTS(ν，λ)(或DTS(ν，λ))，并且UiBi構(gòu)成了X中所有循環(huán)三元組(或可遷三元組)的一個劃分.不相交HTS(ν，λ)大集，記為LHTS(ν，λ)，是一個集合{(X，Bi)}i，其中每個(X，Bi

5、)都是HTS(ν，λ)，并且UiBi構(gòu)成了X中所有循環(huán)三元組和可遷三元組的一個劃分.特別，如果大集中的每個(X，Bi)都是PMTS(ν，λ)(或PDTS(ν，λ)，PHTS(ν，λ))，則大集稱為單純MTS(ν，λ)(或DTS(ν，λ)，HTS(ν，λ))大集，記作LPMTS(ν，λ)(或LPDTS(ν，λ)，LPHTS(ν，λ))。
　　 1850年，Kirkman提出15女學(xué)生問題：一個女老師每天帶領(lǐng)她的15名女學(xué)生散步一次

6、，每次散步她都將學(xué)生分成5組，每組3人.問能否設(shè)計出一個連續(xù)散步一周的方案，使得任意兩名女學(xué)生都能被安排在同一組? 在組合設(shè)計中，這樣的設(shè)計被稱作15階Kirkman三元系，記作KTS(15)。
　　 作為Kirkman15女學(xué)生問題的延續(xù)，Sylvester提出了一個有趣的問題：(153)個三元組能否分成13個互不相交的KTS(15)?
　　 這是數(shù)學(xué)史上的第一個大集問題，它極大的激發(fā)了數(shù)學(xué)愛好者和數(shù)學(xué)專業(yè)人士的興趣.

7、從那時起，各種各樣的大集問題被提出，并得到了廣泛研究。
　　 對于有向三元系大集，到現(xiàn)在為止LMTS(ν，λ)，LDTS(ν，λ)，LHTS(ν，λ)，LPMTS(ν，1)和LPDTS(ν，1)的存在性問題都已經(jīng)解決.但是大集LPMTS(ν，λ)，LPDTS(ν，λ)和LPHTS(ν，λ)存在性的研究剛剛開始。
　　 本文主要討論大集LPMTS(ν，λ)，LPDTS(ν，λ)和LPHTS(ν，λ)的存在性，得到的主要結(jié)果

8、如下：
　　 (1)存在LPDTS(ν，2)當(dāng)且僅當(dāng)ν≡0，4(mod6)，ν≥4。
　　 (2)存在LPMTS(ν，2)當(dāng)且僅當(dāng)ν≡0，4(mod6)，ν≥6。
　　 (3)對于任意ν≡8，14(mod18)，ν≠14，存在LPMTS(ν，3)。
　　 (4)LPHTS(ν，2)存在的必要條件是ν≡0，4(mod6)，ν≥4.除了兩個無窮類ν()6，22(mod24)，ν>6外，LPHTS(ν，2)存在

9、的必要條件也是充分的。
　　 (5)設(shè)u，ν，λ，n是正整數(shù)，u≡1，5(mod6)，ν>3.對于下列階數(shù)ν，如果ν>3λ且ν≡0(modλ)，則存在LPDTS(uν+2，λ)和LPHTS(uν+2，λ)：
　　 (i)ν≡2，10(mod12)；
　　 (ⅱ)ν=2n，n≥1，n≠4；
　　 (iii)ν=3mw-1，m≥0，W≡3，11(mod12)，W≡9，41(mod48)，或w=2n+1，n≥1

10、，n≠4。
　　 (6)設(shè)u，ν，λ，n是正整數(shù)，u≡1，5(mod6).對于下列階數(shù)ν，如果ν>3λ且ν≡0(modλ)，則存在LPMTS(uν+2，λ)：
　　 (i)ν≡2，10(mod12)或ν≡8(mod24)；
　　 (ⅱ)ν=2n，n>2，n≠4；
　　 (iii)ν=3mw-1，m≥0，w≡3，11(mod12)，w≡9，41(mod48)，或w=2n+1，n≥1，n≠2，4。
　　

11、 論文分為五章。
　　 第1章、本章是緒論部分，主要介紹大集問題的研究背景和相關(guān)問題的最新進展，同時列出了論文中所取得的主要結(jié)果。
　　 第2章、本章得到了LPDTS(ν，λ)的一些無窮類，確定了LPDTS(ν，2)的存在譜.首先建立了LPDTS(ν，λ)的乘積構(gòu)作，接著引入了LPDTS*(ν)的概念，揭示了LPDTS(ν，λ)和LPDTS*(ν)之間的聯(lián)系，并且建立了LPDTS*(ν)的遞歸構(gòu)作.更進一步，通過好的S

12、teiner設(shè)計大集來構(gòu)作LPDTS*(ν).利用這些構(gòu)作，獲得了LPDTS(ν，λ)的一些無窮類.在第2章最后，給出了一些和LPDTS(ν，2)相關(guān)的構(gòu)作，并且確定了LPDTS(ν，2)的存在譜。
　　 第3章、本章得到了LPMTS(ν，λ)的一些無窮類，確定了LPMTS(ν，2)的存在譜，同時還得到了LPMTS(ν，3)的一個無窮類.首先給出了LPMTS(ν，λ)的乘積構(gòu)作，然后引入LPMTS*(ν)的概念，建立了LPMTS

13、(ν，λ)和LPMTS*(ν)的聯(lián)系.結(jié)合LPMTS*(ν)的已知結(jié)果，獲得了LPMTS(ν，λ)的一些無窮類，并且確定了LPMTS(ν，2)的存在譜.另外，還得到了LPMTS(ν，3)的一個無窮類。
　　 第4章、本章主要研究LPHTS(ν，λ)的存在性，給出了LPHTS(ν，λ)的一些無窮類，并且指出除了兩個無窮類外，LPHTS(ν，2)存在的必要條件也是充分的。
　　 第5章、本章是論文的最后一章.在這一章提出了下