臨近點不出現(xiàn)的平衡設(shè)計.pdf

1、考慮一個有序的有限集合，它包含v個可識別的個體，分別標(biāo)記為0，1，…，v-1.令△i表示個體i的數(shù)量特征，我們可以通過對個體i的觀察得到△i.我們?nèi)〕鰇(k＜v)個個體做成一個樣本，同時對k個個體的數(shù)量特征進(jìn)行觀察來得到此樣本信息.利用抽樣調(diào)查，我們可以估計總體特征T=∑v-1△i.在實際應(yīng)用中，相鄰個體的數(shù)量特征△i常常是相似的，因而我們期望k元樣本中相鄰個體同時出現(xiàn)的頻率要很小.Hedayet，Rao和Stufken在1988年從H

2、orvitz-Thompson估計量的角度證明了這種思想的合理性并且提出了不含相鄰點的平衡樣本設(shè)計(balancedsamplingplanexcludingcontiguousunits簡寫作BSEC)的存在問題. 令X={x0，x1，…xv-1}.如果xi和xi+1稱作是相鄰的點，其中0≤i≤v-2，x0-1和x0也稱作是相鄰的，那么稱X為循環(huán)有序的，設(shè)X是循環(huán)有序的v元集，B是X的一些k-子集(稱為區(qū)組)構(gòu)成的集合.若二元

3、組(X，B)滿足：任意兩個相鄰點不在任何區(qū)組中出現(xiàn)，而任意兩個不相鄰的點恰出現(xiàn)在λ個區(qū)組中，則稱(X，B)為一個不含鄰點的k長平衡樣本設(shè)計，記為BSEC(v，k，λ). Hedayat，Rao和Stufken(1988年)證明了k=3，4時，如果v≥3k，則存在某個λ使BSEC(v，k，λ)存在.Stufken和Wright(2001年)證明了如果k=5，6，7且k=7時v≠22，BSEC(v，k，λ)對于某個λ存在的充分必要條

4、件是v≥3k+1.但上述結(jié)果中參數(shù)λ的值隨著點數(shù)v的增加增長的很快，而我們一般希望一個設(shè)計的區(qū)組少一些，從而λ小一些.Colbourn和Ling對給定的λ進(jìn)行考慮，分別在1998年和1999年證明了BSEC(v，3，λ)存在的充分必要條件和BSEC(v，4，λ)存在的充分必要條件. Stufken(1993年)將BSEC的概念推廣到鄰近點不出現(xiàn)的平衡設(shè)計(balancedsamplingplantoavoidtheselecti

5、onofadjacentunits簡寫作BSA). 設(shè)X是循環(huán)有序的v元集，B是X的一些k-子集(稱為區(qū)組)構(gòu)成的集合.若二元組(X，B)滿足：任意兩個距離小于等于α的點不在任何區(qū)組中出現(xiàn)，而任意兩個距離大于α的點恰出現(xiàn)在λ個區(qū)組中，則稱(X，B)為一個鄰近點不出現(xiàn)的平衡樣本設(shè)計，記為BSA(v，k，λ；α). 顯見，BSA(v，k，λ；α)在α=1時即為BSEC(v，k，λ). 設(shè)Zv={0，1…，v-1}表示

6、v階循環(huán)群，(X，B)是一個BSEC(v，k，λ)(BSA(v，k，λ；α)).若Zv是BSEC(v，k，λ)(BSA(v，k，λ；α))上的一個自同構(gòu)群，那么我們稱(X，B)是循環(huán)的，記為CBSEC(v，k，λ)(CBSA(v，k，λ；α)). Wei(2002年)得到了λ=1，2時CBSEC(v，3，λ)存在的充分必要條件并且得到了λ=1，2時CBSA(v，3，λ;α)的一些存在結(jié)果. 在本文中，我們證明了CBSEC

7、(v，3，λ)對任意λ存在的充分必要條件，得到了CBSA(v，3，λ；α)和BSA(v，3，λ；α)在α=2，3，4時存在的充分必要條件，并得到了CBSEC(v，4，1)的一些初步的存在結(jié)果.主要結(jié)論如下： (1)CBSEC(v，3，λ)存在的充分必要條件是v∈{1，3}，v≥9且λ(v-3)≡0(mod6)，但當(dāng)λ≡2(mod4)時v(≠)2(mod4). (2)當(dāng)α=2，3，4時，CBSA(v，3，λ；α)存在的充分

8、必要條件是v≥3(2α+1)，λv(v-2α-1)≡0(mod6)，λ(v-2α-1)≡0(mod2)，但當(dāng)λ≡2(mod4)時v(≠)2(mod4)，當(dāng)α=2且λ=1時，v(≠)3(mod6). (3)α=2，3，4時，BSA(v，3，λ；α)存在的充分必要條件是λv(v-2α-1)≡0(mod6)，λ(v-2α-1)≡0(mod2)且v≥3(2α+1). (4)存在一個CBSEC(av，4，1)，這里a∈{3，27，

9、63，99，171，207，243}，v是Q中若干個數(shù)的乘積，Q={p：p≡1(mod4)并且p是素數(shù)}U{q：q≡1，5(mod12)，q≤160}. 全文共分為6章： 第一章在這一章中，我們介紹了相鄰點不出現(xiàn)的平衡設(shè)計用于抽樣調(diào)查的背景，給出了相鄰點不出現(xiàn)的平衡設(shè)計的定義和一些已知結(jié)果. 第二章在這一章中，我們介紹了Langford序列和k-extendedLangford序列，并給出了這些特殊序列的一些性質(zhì)

10、，這在構(gòu)造CBSEC(v，3，λ)和CBSA(v，3，λ；α)時有重要的作用.我們還給了兩個引理，這有利于后面來證明BSA(v，k，λ；α)存在的必要條件. 第三章本章，我們應(yīng)用Langford序列來劃分一個連續(xù)的序列，從而得到一些差三元組.最后我們得到了CBSEC(v，3，λ)存在的充分必要條件. 第四章在這章中，我們利用Langford序列和k-extendedLangford序列來分拆序列，通過適當(dāng)?shù)拇钆涞玫搅艘恍?/p>

11、差三元組，最終得到了當(dāng)α=2，3，4時CBSA(v，3，λ；α)存在的充分必要條件. 第五章我們利用輔助設(shè)計BSA*(g，{2，3}，λ；α，t)，組型為(g，2α+1)u的3-IGDD和一些小階數(shù)的BSA(g+t，3，λ；α)與BSA((2α+1)u，3，λ；α)，得到了對于BSA(gu+t，3，λ；α)的遞歸構(gòu)造.從而得到了當(dāng)α=2，3，4時，BSA(v，3，λ；α)存在的充分必要條件.本章中用到的一些小階數(shù)的BSA(g+t

12、，3，λ；α)，BSA((2α+1)u，3，λ；α)和BSA*(g，{2，3}，λ；α，t)是通過計算機(jī)搜索得到的. 第六章我們介紹了一種所謂的可劃分集合的組合結(jié)構(gòu)，它是階數(shù)是v(≡1(mod4))的阿貝爾群G上的一些無序的對子組成的集合{{ai，bi}：1≤i≤(v-1)/4}滿足：U(v-1)/4i=1){±ai，±bi}=G＼{0}和U(v-1)/4{±(ai+bi)，±(ai-bi)}=G＼{0}.我們利用可劃分集合和差