調(diào)和分析及有關(guān)問(wèn)題的研究.pdf

1、調(diào)和分析作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，有其深厚的歷史背景和豐富完善的理論體系，在數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域如偏微分方程，幾何分析等有著廣泛的應(yīng)用。 本學(xué)位論文將致力于調(diào)和分析及其在偏微分方程，幾何分析的應(yīng)用。全文共分四章：第一章研究一類奇異積分算子在加權(quán)Hardy空間的有界性。第二章考慮Euler方程在Besov空間端點(diǎn)指標(biāo)情形的短時(shí)間解的存在性。第三章得到了Navier-Stokes方程正則性和爆破的判別條件。第四章考慮負(fù)曲率流形上調(diào)和函數(shù)，得

2、到了在Ricci(x)≥-C(1+r2)其中r=ρ(O，x)的負(fù)曲率流形的調(diào)和函數(shù)的存在性。下面分別陳述各章的主要內(nèi)容： 第一章設(shè)ω∈Aq，q≥1，令ψ∈S(Schwartz函數(shù)空間)，∫ψ=1.定義權(quán)為ω的加權(quán)Hardy空間為 HωP={f∈S'；(∫ε＞0sup|ψε*f|pω(x)dx)1/p＜∞}，這里ψε(x)=εnψ(εx)。 由權(quán)函數(shù)的理論知道，當(dāng)ω∈A1，p＞1的時(shí)候，Hωp=Lωp。因此，我們可

3、以把Hωp看成Lωp在p≤1時(shí)候的自然推廣。于是，一個(gè)自然的問(wèn)題是：一些經(jīng)典的算子如Risez變換在Hωp中是否有界?在[28]中，利用Hωp中的原子分解和分子分解，證明了一類算子在Hωp，ω∈A1中的有界性。本章把A1放寬到Aq，q≥1，得到了下面的定理：定理0.1.1[19]設(shè)ω∈Aq，qω是它的權(quán)指數(shù)，rω是它的反H(o)lder指數(shù)，0＜p≤1≤q＜∞，p≠q。假定K∈Lloc(Rn\{0})滿足|DαK(x)|≤C|y||α|

4、/|x|n+|α|，|α|≤s,s＞max{n(qω-1)+nqω[s0rω(rω-1)-1n-1+rω-1]，[nqω/(p-1)]+1}，且T是Lωq有界的。則Tf=K*f是Hωp有界的。由此可以看到，Risez變換是Hωp有界的。第二章本章考慮無(wú)粘性不可壓縮流體的速度所滿足的Euler方程：{υt+υ·▽?duì)?▽p=0,t＞0,x∈Rn,▽·υ=0,t＞0,x∈Rn,υ(0)=υ0(x),(0.2.1)這里υ=(υ1，υ2，…，υn

5、)，υj=υj(x，t)是流體速度。p=p(x，t)是壓力。υ0是初速度，滿足divυ0=0。對(duì)于維數(shù)n＞2的情形，長(zhǎng)時(shí)間解還是一個(gè)公開(kāi)的問(wèn)題。而短時(shí)間解在很多函數(shù)空間中都是存在的。1972年，Kato首先對(duì)υ0∈Hs，s＞n/2+1，在[23]中證明了存在T＞0，有唯一的解u∈C([0，T]；Hm(Rn))，m＞n/2+1。后來(lái)，各種各樣的函數(shù)空間被用來(lái)證明Euler方程的存在性和唯一性。例如，1988年，Kato和Ponce對(duì)于υ0

6、∈Wps，s＞n/p+1，p∈(1，+∞)，在[24]證明了類似的結(jié)論。本章對(duì)于端點(diǎn)情形s=n/p+1，證明了如下的結(jié)論：定理0.2.1[20]設(shè)υ0∈Bp,ln/p+1，p∈(1，+∞)，滿足divυ0=0，則存在T=T(||υ0||Bp,ln/p+1)以及唯一的υ∈L∞([0，T]；Bn/p+1)和對(duì)應(yīng)的滿足▽p=-∑i,j=1n▽△-1()iuj()jui的p滿足Euler方程(0.2.1)。 本章的內(nèi)容已于2004年2月

7、投到《高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》并錄用。需要指出的是，YongZhou于2004年3月在[40]中，用類似的方法給出了類似的結(jié)論，第三章本章考慮Navier-Stokes方程的初值問(wèn)題{ut-△u+u·▽u+▽p=0,t＞0,x∈R3,▽·u=0,t＞0,x∈R3,u(0)=u0(x).(0.3.2)這里u=(u1(x，t)，u2(x，t)，u3(x，t))，p=p(x，t)，x∈R3，t∈(0，T)分別表示未知的速度和壓力。Leray[29]

8、和Hopf[17]構(gòu)造了一類滿足u∈L∞(0，T；L2(R3))∩L2(0，T；H1(R3))的解，稱為L(zhǎng)eray-Hopf弱解。對(duì)于這樣的弱解，在初值是C∞的時(shí)候，我們也不知道解是否會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)奇性。Scheffer在[32]開(kāi)始考慮解的部分正則性。Caffarelli，Kohn和Nirenberg在[6]中把這方面的結(jié)果推進(jìn)了一大步，但是沒(méi)能徹底解決問(wèn)題。那么，換一個(gè)思路看，在什么條件下能夠成為經(jīng)典意義下的解?1962年，S

9、errin[34]首先指出，當(dāng)解u∈Lp(0，T；Lq(R3))，2/p+3/q＜1，2＜p＜∞，3＜q＜∞的時(shí)候，弱解就是經(jīng)典意義下的解，也就是弱解有正則性。眾所周知，如果(u，p)是Navier-Stokes方程的解，則(uλ，pλ)也是方程的解，這里uλ(x，t)=λu(λx，λ2t)，pλ(x，t)=λ2p(λx，λ2t)。注意到Serrin的條件是尺度不變的，也即當(dāng)2/p+3/q=1時(shí)，‖u‖Lp(0，T；Lq)=‖uλ‖Lp

10、(0,T；Lq)。后來(lái)，一大批的作者做了后續(xù)的工作，如W.vonWahl在[39]和Giga在[16]分別證明了，如果u∈C([0，T)；L3)，則解是正則的。Kozono和Sohr在[25]中給出，只要關(guān)于L3模左連續(xù)就行。Kozono和Taniuchi在[26]證明，加上條件：u∈L2((0，T)；BMO)，解u也是正則的，這里BMO是指平均振蕩函數(shù)空間。那些條件也是尺度不變的。注意到當(dāng)2/p+3/q=2時(shí)，‖▽u‖p(0,T；Lq

11、)和‖p‖Lp(0,T；Lq)也是尺度不變的。于是，H.BeiraodaVeiga[5]證明了，如果▽u∈Lp(0，T；Lq(R3))，2/p+3/q=2，3/2＜q＜∞，解是正則的。ChengHe[18]考慮了加權(quán)的情形，此時(shí)不再是尺度不變的。他給出條件當(dāng)參數(shù)滿足2/s+3/q=1-α，α+1≥0，-1＜α+3/q＜1時(shí)，且∫0T(supx0∈R3∫R3(|x--x0|αu)qdx)s/qdt＜∞.解u是光滑的。受[18]的啟發(fā)，我們

12、得到下面的定理。定理0.3.1[21]設(shè)u0∈Lσ2(R3).ω=curlu,ω0=curlu0.滿足‖|x-x0|-1/2ω0||L2＜∞，∫0R∫R3(|x-x0|αω)q)s/qdt＜∞，這里x0是R3中的某一點(diǎn)。2/s+3/q=2-α，q＞1，1＜α+3/q＜2，則解u是正則的，且有估計(jì)：sup0≤t≤T‖|x-x0|-1/2ω‖22+∫0T∫R3|x-x0|-1/2|▽?duì)貄2dxdt+4π∫0Tω(x0，t)2dt≤‖|x-x

13、0|-1/2ω0‖22exp(C∫0T‖|x-x0|‖sLqdt).Navier-Stokes方程的解u是否會(huì)長(zhǎng)時(shí)間存在，或者說(shuō)會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)爆破?Ladyzenskaya[27]，Giga[16]指出，當(dāng)u∈Lp(0，T；Lq(R3))，2/p+3/q≤1時(shí)，存在T1＞T，使得u∈C∞((0，T1]×R3).Beale-Kato-Majda[4]給出條件，當(dāng)ω∈L1(0，T；L∞(R3)時(shí)，解可以延拓出去。Kozono-Taniuc

14、hi[26]把條件中的L∞換為BMO時(shí)，結(jié)論也成立。本文給出了加權(quán)情形的爆破判別準(zhǔn)則。定理0.3.2[21]如定理0.3.1所設(shè)，則有(i)存在T1＞T，使得u∈C∞((0，T1]×R3)。(ii)若解在T*＞T處爆破，則有∫0T*‖|x-x0|αω||sLqdt=∞.第四章由Liouville定理知道，Rn上沒(méi)有非常數(shù)的有界調(diào)和函數(shù)。丘成桐證明了，對(duì)于任意完備黎曼流形，1＜p＜∞，沒(méi)有屬于Lp的非常數(shù)的調(diào)和函數(shù)。那么，是否有有界的非常

15、數(shù)的調(diào)和函數(shù)呢?當(dāng)Ricci曲率大于零的時(shí)候，沒(méi)有有界的非常數(shù)的調(diào)和函數(shù)，見(jiàn)[33]。設(shè)M是一完備的單連通的黎曼流形，其截面曲率滿足：KM≤-a2＜0，則M可以通過(guò)賦加一“無(wú)窮遠(yuǎn)邊界”S(∞)而緊致化(見(jiàn)[3]或[33])。當(dāng)-b2≤KM≤-a2＜0時(shí)，Anderson[2]和Sullivan[38]幾乎同時(shí)證明了，預(yù)先給定在S(∞)上的連續(xù)函數(shù)，則關(guān)于調(diào)和函數(shù)的Dirichlet問(wèn)題可解。Anderson和Schoen在[3]中把這個(gè)