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文檔簡介
1、本文借助于向量場的小擾動和定性分析的方法討論了幾類Hamiltion系統(tǒng)(主要為三次哈密頓系,等變系統(tǒng)以及一類Lienard系統(tǒng))在多項(xiàng)式擾動下的極限環(huán)分支問題。對于等變系統(tǒng)的奇閉軌線的穩(wěn)定性和分支理論進(jìn)行系統(tǒng)的研究,給出了一類等變系統(tǒng)中復(fù)眼環(huán)的穩(wěn)定性的判據(jù),討論了這類系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題;發(fā)展了利用同宿(或者異宿、雙同宿)軌線穩(wěn)定性的改變產(chǎn)生極限環(huán)的辦法,并用來討論了三次哈密頓系統(tǒng)的擾動分支問題,得到了三次系統(tǒng)具有11個極限環(huán)的3種新
2、的分布;給出了四次系統(tǒng)的Hilbert數(shù)以及一類Lienard系統(tǒng)的Abel積分的零點(diǎn)個數(shù)的線性估計(jì)。 第一章討論了一類具有復(fù)眼環(huán)的Zq等變系統(tǒng)的復(fù)眼的穩(wěn)定性問題和復(fù)眼環(huán)的分支問題。首先建立了后繼函數(shù),然后通過對后繼函數(shù)的討論給出了復(fù)眼環(huán)的穩(wěn)定性的判定量,借助于復(fù)眼環(huán)穩(wěn)定性的改變和分支理論討論了這類系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題。作為定理的應(yīng)用,在本章的最后討論了一類Z3等變哈密頓系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題。 第二章討論了一類具有9個有
3、限遠(yuǎn)奇點(diǎn),而無無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的系統(tǒng)在三次多項(xiàng)式小擾動下的極限環(huán)分支問題。借助于計(jì)算Melnikov(又稱為Abel積分)的簡單零點(diǎn)的個數(shù),李繼彬等得到這類系統(tǒng)可以產(chǎn)生11個極限環(huán)并且給出了他們的一種分布。在本章中,我們首先利用隱函數(shù)定理給出了這些系統(tǒng)在小擾動下奇閉軌(同宿軌或者異宿軌)存在的條件,然后討論了他們的穩(wěn)定性問題,并借助于符號運(yùn)算系統(tǒng)計(jì)算出了決定奇閉軌穩(wěn)定性的判定量(鞍點(diǎn)的發(fā)散量、發(fā)散量積分),接著利用定性分析的辦法得到包圍所有奇
4、點(diǎn)的大極限環(huán),最后利用定性分析和分支理論的技巧,通過改變這些奇閉軌線的穩(wěn)定性產(chǎn)生極限環(huán)的辦法給出11個極限環(huán)以及它們的兩種分布,其中一種和李繼彬得到的分布相同(不考慮與奇點(diǎn)的位置關(guān)系的意義下),另外一種分布為新的。 第三章討論了一類具有7個有限遠(yuǎn)奇點(diǎn),而無無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的系統(tǒng)在三次多項(xiàng)式小擾動下的極限環(huán)分支問題。利用和前一章類似的方法得到這類系統(tǒng)有11個極限環(huán)以及它們的兩種分布,其中一種和李繼彬得到的分布相同,另外一種分布為新的。
5、 在前面的幾章中,我們討論的是關(guān)于原點(diǎn)(包括關(guān)于x,y軸)對稱的三次哈密頓系統(tǒng)在擾動下的分支問題。在第四章中,我們利用在前面章節(jié)里發(fā)展起來的方法討論了一類只關(guān)于x軸對稱的哈密頓系統(tǒng)的三次擾動分支問題。發(fā)現(xiàn)這類系統(tǒng)當(dāng)產(chǎn)生11個極限環(huán)時(shí)具有更多種形式的分布(共三種分布,其中兩種為新的)。 如果令H(n)為n次系統(tǒng)的Hilbert數(shù)(即n次系統(tǒng)可出現(xiàn)的極限環(huán)的最大個數(shù)),則我們可知H(n)是有限的,且由李繼彬的綜述性文章可知:H
6、(2)≥4,H(3)≥11,H(5)≥24,最近韓茂安和YUPei給出了三次系統(tǒng)出現(xiàn)12個極限環(huán)的例子,從而使得H(3)≥12.但是,當(dāng)n=4時(shí),情況如何?本文的第五章中,我們給出了H(4)≥15. 第六章中,我們討論了一類Lienard系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動下的Abel積分的零點(diǎn)個數(shù)問題。在該章的前四節(jié)里,我們首先給出了Picard-Fuchs方程和Ricatti方程;借助于它們討論了(P(h),Q(h))曲線和(w(h),v(h)
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