集值優(yōu)化最優(yōu)性條件與穩(wěn)定性問題的研究.pdf

1、集值優(yōu)化理論在不動點、變分學(xué)、微分包含、最優(yōu)控制、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是目前應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中備受關(guān)注的熱點之一.對這一問題的研究涉及到集值分析、凸分析、線性與非線性分析、非光滑分析、拓?fù)湎蛄扛瘛⑵蚶碚摰葦?shù)學(xué)分支，有重要的學(xué)術(shù)價值和相當(dāng)?shù)碾y度. 集值優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件和穩(wěn)定性在集值優(yōu)化理論中占有重要的地位.最優(yōu)性條件是建立現(xiàn)代優(yōu)化算法的重要基礎(chǔ)；穩(wěn)定性是優(yōu)化理論的重要組成部分，向量優(yōu)化的穩(wěn)定性通過研究各種適定性取得了

2、豐富的結(jié)果.但是，關(guān)于研究集值優(yōu)化問題的穩(wěn)定性的文獻(xiàn)很少見到(HuangX.X.僅研究無約束參數(shù)集值優(yōu)化問題在上半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性).本文主要對集值優(yōu)化問題的各種有效性的最優(yōu)性條件及集值優(yōu)化問題的有效解集和有效點集的穩(wěn)定性進(jìn)行了較為深入的研究.文章通過集值映射的導(dǎo)數(shù)、廣義梯度及集值優(yōu)化問題的鞍點刻畫集值優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件；并且集中研究集值優(yōu)化問題的有效解集在各種上半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性及有效點集在次微分意義下的穩(wěn)定性.具體內(nèi)容如下：●

3、一方面，在賦范空間中，討論集值優(yōu)化問題的有效元的導(dǎo)數(shù)型最優(yōu)性條件.給出了可微Γ-擬凸集值映射的概念.當(dāng)目標(biāo)映射和約束映射的下方向?qū)?shù)存在時，在近似錐次類凸假設(shè)下利用有效點的性質(zhì)和凸集分離定理得到了集值優(yōu)化問題有效元的導(dǎo)數(shù)型Kuhn-Tucker必要條件；在可微Γ-擬凸性的假設(shè)下得到Kuhn-Tucker最優(yōu)性充分條件；此外利用集值映射沿弱方向錐的導(dǎo)數(shù)特性給出有效解最優(yōu)性的另一種刻畫.另一方面，在局部凸拓?fù)湎蛄靠臻g，利用DinhT.L.給

4、出的集值映射的下半可微性定義了集值映射的導(dǎo)數(shù).在凸性及擬凸性的假設(shè)下，利用凸集分離定理得到了集值優(yōu)化問題的超有效元導(dǎo)數(shù)型Kuhn-Tucker最優(yōu)性充分和必要條件. ●在局部凸拓?fù)湎蛄靠臻g中，利用強(qiáng)鞍點和嚴(yán)鞍點刻畫了集值優(yōu)化問題的強(qiáng)有效元與嚴(yán)有效元的最優(yōu)性條件.首次定義了集值優(yōu)化問題的強(qiáng)鞍點和嚴(yán)鞍點，給出了強(qiáng)鞍點和嚴(yán)鞍點的等價刻畫；在一定凸性條件下，通過凸集分離定理及強(qiáng)鞍點、嚴(yán)鞍點的性質(zhì)分別得到了強(qiáng)鞍點和嚴(yán)鞍點的最優(yōu)性條件；考慮

5、了Lagrange型對偶問題，分別給出了強(qiáng)有效、嚴(yán)有效意義下的弱對偶、逆對偶、強(qiáng)對偶定理，并得到了分別由強(qiáng)鞍點、嚴(yán)鞍點刻畫的強(qiáng)有效元、嚴(yán)有效元的最優(yōu)性條件. ●在錐偏序的Banach空間中，討論由廣義梯度刻畫的集值優(yōu)化問題嚴(yán)有效元、超有效元的最優(yōu)性條件.應(yīng)用上圖Contingent導(dǎo)數(shù)，對集值映射分別引入在嚴(yán)有效和超有效意義下的廣義梯度.在一定的條件下，借助錐分離定理分別證明了嚴(yán)有效意義下的廣義梯度和超有效意義下的廣義梯度的存在

6、性，并且給出了嚴(yán)有效意義下廣義梯度的性質(zhì)，得到了由廣義梯度刻畫的集值優(yōu)化問題的嚴(yán)有效解和超有效解的最優(yōu)性條件. ●討論集值優(yōu)化問題的適定性及該問題的有效解集在半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性.在度量空間中，首次提出集值優(yōu)化問題點態(tài)適定的概念，給出集值優(yōu)化問題點態(tài)適定的等價刻畫，并驗證一類集值優(yōu)化問題是點態(tài)適定的，得到集值映射的Ekeland變分原理；同時提出集值優(yōu)化問題B-適定的概念，利用漸近極小序列刻畫了B-適定性，證明一個B-適定的集值

7、優(yōu)化問題的任意極小集序列在定義域空間的投影收斂到該問題的有效解集，最后得到參數(shù)集值優(yōu)化問題在上Hausdoff半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性. ●在賦范空間中討論集值優(yōu)化問題在半連續(xù)及錐次微分意義下的穩(wěn)定性.分別在超有效和嚴(yán)有效意義下定義了集值映射的次微分，在一定的條件下，利用錐分離定理證明次微分的存在性及其性質(zhì)；考慮控制錐擾動以及控制錐、約束集、目標(biāo)映射三者同時擾動時，集值優(yōu)化問題在錐超次微分意義下的穩(wěn)定性及在上半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性；給