有限驗(yàn)證法證明超幾何恒等式.pdf

1、本文主要研究了證明超幾何恒等式的有限驗(yàn)證法，并給出了所需驗(yàn)證項(xiàng)數(shù)較小的估計(jì)。 通過驗(yàn)證有限項(xiàng)來證明超幾何恒等式這種思想最早是由D.Zeilberger提出的。他指出，給定恒等式∑kF(n，k)=f(n)，n≥n0，其中F(n，k)和f(n)都是超幾何函數(shù)，則存在可以直接由F(n，k)和f(n)得到的整數(shù)n1，使得若∑kF(n，k)=f(n)對n=n0，n0+1，...，n1成立，則它對所有的n≥n0都成立。 1993年，

2、L.Yen在其博士論文中首次實(shí)現(xiàn)了這一思想，對超幾何恒等式估計(jì)出了n1，她估計(jì)n1的方法是：估計(jì)出證明恒等式兩邊滿足相同的遞歸關(guān)系所需驗(yàn)證的項(xiàng)數(shù)nf，和該遞歸關(guān)系的階數(shù)J，以及na，滿足當(dāng)n≥na時(shí)，遞歸關(guān)系的首項(xiàng)系數(shù)恒不為零，則取n1=max{n′a-1，nf}即可，其中n′a=max{na，n0+J}。但Yen得到的估計(jì)非常大，無法用于實(shí)際證明。例如對恒等式∑k(nk)=2n估計(jì)出的n1為1011，而對恒等式∑k(nk)2=(2nn

3、)，這一估計(jì)更是達(dá)到10115。1996年Yen還進(jìn)一步對q-超幾何恒等式得到了n1更小的估計(jì)。2003年，張寶印利用吳消元法，進(jìn)一步減小了對q-超幾何恒等式n1的估計(jì)。 上述方法所需估計(jì)的三個(gè)數(shù)值中，最難估計(jì)的是na，它一般情況下也是三者中最大的。為了進(jìn)一步挖掘求和項(xiàng)所蘊(yùn)含的信息以減小對na的估計(jì)，本文引入了多項(xiàng)式的次數(shù)高度對(DH對)的概念，進(jìn)而定義了DH向量和DH矩陣以及它們之間的運(yùn)算法則，并研究了DH對、DH向量、DH矩

4、陣以及它們之間的運(yùn)算所滿足的一些性質(zhì)。 基于Cramer法則和Yen給出的形式地求齊次線性方程組多項(xiàng)式解的算法，我們給出了求齊次線性方程組多項(xiàng)式解的DH對上界的算法。利用SisterCeline算法和新Zeilberger算法可以得到關(guān)于遞歸關(guān)系多項(xiàng)式系數(shù)的方程組，對此方程組利用上述求DH對上界的算法，我們可以估計(jì)出遞歸關(guān)系系數(shù)多項(xiàng)式的DH對上界，從而得出na和n1的估計(jì)。 實(shí)例表明，本文的結(jié)果改進(jìn)了對n1的估計(jì)。例如對

5、一般的超幾何恒等式，我們對恒等式∑k(nk)=2n，利用SisterCeline算法得到n1=16，利用新Zeilberger算法得到n1=4。對恒等式∑k(nk)2=(2nn)，利用SisterCeline算法得到n1=2.52×1025，利用新Zeilberger算法得到n1=24700。對q-超幾何恒等式，我們利用新q-Zeilberger算法對Jacobi三重積恒等式的一種有限形式得到n1=9，對q-Vandermonde-Ch