四元射影空間中的一些特殊曲面.pdf

1、特殊曲面是包括Gauss曲率是常數(shù)和平均曲率為零的曲面.本文主要研究四元數(shù)射影空間中的特殊曲面—極小曲面.
　　極小曲面是平均曲率H=(0)的曲面.最早是由Plateau問題引出的.是數(shù)學(xué)中有悠久歷史的極為重要的課題，是微分幾何中研究得最多的曲面，它與復(fù)解析函數(shù)和偏微分方程有深入的聯(lián)系.它與許多數(shù)學(xué)分支有密切的聯(lián)系，在建筑，航空，輪船制造，生物，計算機圖形等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用.由于其廣泛的應(yīng)用，該問題自十九世紀(jì)二三十年代提出開始便一

2、直吸引著眾多學(xué)者.其中代表人物有Jesse，Douglas，Morse，Couant等.他們對極小曲面是否存在？在什么條件下存在？極小曲面的數(shù)目有多少？等問題深入進行了研究.本文利用前人研究曲面的方法及研究曲面的普遍方法對四元射影中的極小曲面做一研究.
　　研究四元射影空間中的極小曲面，首先要對四元射影空間有很好的了解.四元射影空間是具有常四元截面曲率4的四元凱勒流形.由于四元數(shù)的不可交換性，對于四元射影空間中子流形的幾何的研究有

3、較大困難，因此我們?nèi)缜叭怂鞯哪菢樱瑢⑺脑獢?shù)體H解釋成一個二維復(fù)向量空間C2并帶有一個實線性算子j:C2→C2滿足j2=-1，由此出發(fā)，我們在四元射影空間HPn中引進度量，使其成為具有常四元截面曲率4的四元凱勒流形.
　　李興校，劉西民等人已對曲面在四元射影空間中的極小浸入進行了深入研究，而對于HPn中的曲面，研究結(jié)果不是很多.Salamon研究了四元凱勒流形中可兼的極小曲面，證明了這樣的曲面可提升為(Z)中的極小曲面.Glaze

4、brook研究了曲面到HPn中的迷向調(diào)和映射，證明了線性完滿的迷向調(diào)和映射φ:M→HPn的集合與M×C2n+2的某一類全純子叢的集合一一對應(yīng).Zandi在四元凱勒流形中的極小曲面上定義了光滑的四元Darboux標(biāo)架，此標(biāo)架在退化點處是連續(xù)的，然后定義了一個6次(6，0)型微分式，并證明了在HPn的情形這一微分式是全純的.
　　文章分為四部分:
　　第一章引言主要介紹了極小曲面的歷史起源及本文主要內(nèi)容.
　　第二章是四元

5、數(shù)射影空間.我們介紹了四元線性空間并給出了四元數(shù)射影空間的定義及四元數(shù)射影空間上的聯(lián)絡(luò).
　　第三章利用x:M→ HPn的到S4n+3的局部提升及活動標(biāo)架法研究了四元射影空間中的曲面，給出了四元射影空間中曲面的平均曲率及x:M→HPn是極小曲面的充要條件.
　　第四章中首先給出了四元射影空間中常四元數(shù)角的定義，然后給出了本文中主要定理:設(shè)x:M→HPn是常四元數(shù)角0＜θ＜π/2的極小曲面，則M的高斯曲率K≤1，并且當(dāng)K=1時