有限維可積系統(tǒng)、無窮維孤子系統(tǒng)及其顯式解的代數(shù)幾何構(gòu)造.pdf

1、孤子方程屬于無窮維可積系統(tǒng)，是當(dāng)今非線性科學(xué)研究的主流方向之一。人們驚喜的發(fā)現(xiàn)這些有限維可積系統(tǒng)緊密地聯(lián)系著無窮維可積系統(tǒng)，即大部分已知的有限維可積系統(tǒng)均可由無窮維可積系統(tǒng)在有限維不變子流形上收縮得到。另一方面，人們要很好的理解孤子方程所描述的非線性行為或?qū)嶋H應(yīng)用中的內(nèi)在機(jī)制，對于這些非線性動力系統(tǒng)的可能約化，并獲得其顯式解是十分重要的。本學(xué)位論文正是從以下幾個方面對描述非線性現(xiàn)象的孤子方程進(jìn)行進(jìn)一步的研究和探討： 尋求新的有限

2、維可積系統(tǒng)一一 可積系統(tǒng)中的重要問題之一就是找出盡可能多的新的有限維可積系統(tǒng)。Flaschka曾提出過這樣一條原則：可積系統(tǒng)的約化系統(tǒng)應(yīng)該仍是可積的?；贔laschka的思想和Moser的工作，曹策問教授于1989年首創(chuàng)Lax對非線性化方法用于從無窮維可積系統(tǒng)(孤子方程)生成有限維可積系統(tǒng)。鑒于此，我們結(jié)合Moser約束方法、一般r一矩陣?yán)碚摷癓ax對非線性化，分別由耦合Harry—Dym孤子族和筆者給出的一個孤子族導(dǎo)出兩個新

3、的Neumann型有限維可積系統(tǒng)。此外，結(jié)合母函數(shù)方法，由修正fModified)Jaulent-Miodek孤子族給出了一個新的Bargmann型有限維可積Hamiltonian系統(tǒng)。值得一提的是：在獲得與耦合Harry—Dym孤子族相聯(lián)系的Neumann型有限維可積系統(tǒng)過程中，我們還將用于導(dǎo)出Bargmann型有限維可積Hamiltonian系統(tǒng)所使用的母函數(shù)方法平推到了Neumann型情形。 孤子方程的分解及其在黎曼曲面上

4、的線性約化一～在經(jīng)典力學(xué)中，為揭示無窮維孤子系統(tǒng)的Liouville可積性的基本結(jié)構(gòu)，主要目標(biāo)就是恰當(dāng)選取作用一角變量，利用Liouville—Arnoldl~論在不變環(huán)面上拉直各種流，從而使得有些非線性動力系統(tǒng)被顯式積出，如：牛頓二體問題、Jacobi橢球測地流、球面上的諧振子等。但是，由于孤子系統(tǒng)具有很高的非線性性和顯著的個性差異，我們通常先將孤子方程分解為相容的有限維可積系統(tǒng)，進(jìn)而利用代數(shù)幾何知識對其進(jìn)一步線性約化。這里我們詳細(xì)的

5、討論了L-C-Z孤子族及與其相聯(lián)系的(2+1)一維孤子系統(tǒng)的相容分解，并確定了無窮維孤子系統(tǒng)與有限維可積Hamiltonian系統(tǒng)之間的內(nèi)在聯(lián)系；以及耦合Harry—Dym孤子族的分解和線性約化，從而揭示該孤子族在黎曼曲面上潛在的線性行為。 Neumann型有限維可積系統(tǒng)在求解孤子方程中的應(yīng)用一一眾所周知，Bargmann型有限維可積系統(tǒng)已經(jīng)被成功的應(yīng)用于求解(1+1)一和(2+1)一維非線性發(fā)展方程。一個很自然的想法就是是否能

6、用帶有第二類約束的Neumann型有限維可積系統(tǒng)求解孤子方程?事實上，在這方面已經(jīng)積累了一些工作。首先是Sklyanin教授提出了從r一矩陣關(guān)系定義可分離變量的一般模式。另一方面，周汝光教授闡明了Dirac括號與Neumann型有限維系統(tǒng)的關(guān)系，提出了一個用r一矩陣方法處~Neumann型有限維系統(tǒng)的一般方法，并對已有的Neumann型約束Jaulent—Miodek流和Neumann型約束Tu流進(jìn)行了分離變量和直化。然而，周汝光教授并

7、沒有利用Neumann型有限維可積系統(tǒng)最終給出相應(yīng)孤子方程的顯式解。在本文中，我們進(jìn)一步發(fā)展了他們的方法，結(jié)合Riemann—Jacobi反演技術(shù)，最終寫出了孤子方程在歐氏空間R2N的約束辛子流形上的顯式θ一函數(shù)解。文中以散射長波方程和筆者給出的一個孤子方程為例以解釋具體的求解程序。事實上，這里我們提供了一個新的、可能的途徑用以給出(1+1)一維孤子方程的代數(shù)幾何解。 孤子方程顯式解的代數(shù)幾何構(gòu)造一一 代數(shù)幾何知識的一個

8、基本應(yīng)用就是用于求解可積的非線性發(fā)展方程。對于孤子方程的代數(shù)幾何解，最初是由Novikov，Dubrovin，Matveev，Its，Marchenko等從周期反散射方法在代數(shù)幾何的基礎(chǔ)上獲得。在上個世紀(jì)末，由曹策問教授等將Lax對非線性化方法、Lax方程解矩陣的有限階展開、r一矩陣?yán)碚摷按鷶?shù)幾何知識融為一體再次用于求解(1+1)一維孤子方程和高維孤子方程，從而在國內(nèi)掀起新一輪構(gòu)造孤子方程顯式解(這里系指顯式θ一函數(shù)解)的熱潮。本文以修

9、]t~Kadomtsev-Petviashvili方程為例： 1．將修tKadomtsev-Petviashvili方程分解為修]~Jaulent-Miodek孤子族前兩個非平凡的孤子方程，用以解釋曹策問教授提出的構(gòu)造格式。 2．將修]~Kadomtsev-Petviashvili方程分解為兩個新的孤子方程，以解釋耿獻(xiàn)國教授發(fā)展的求解格式。 3.將修~Kadomtsev-Petviashvili方程分解為散射長波