鉤子與Auslander-Reiten分支的截面.pdf

1、代數(shù)表示論是上世紀(jì)70年代初興起的代數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支，它的基本內(nèi)容是研究環(huán)與代數(shù)的結(jié)構(gòu)。在近三十年的時(shí)間里這一理論有了異常迅猛的發(fā)展并逐步趨于完善。它主要研究一個(gè)給定的Artin代數(shù)是有限型還是無(wú)限型，若是無(wú)限型，給出模的分布情況，若是有限型，確定其全體不可分解模，通過(guò)研究不可分解模之間的關(guān)系并結(jié)合A-R箭圖，對(duì)代數(shù)進(jìn)行分類(lèi)。 近幾年，尤其是對(duì)有限維代數(shù)的研究取得了一系列較好的結(jié)果。1982年，D.H-appel和C.Ring

2、el在遺傳代數(shù)(herditary algebras)的基礎(chǔ)上定義了傾斜代數(shù)(tilted algebras)，使傾斜代數(shù)成為代數(shù)表示論中非常重要的一種代數(shù)類(lèi)型，而通過(guò)對(duì)已知代數(shù)類(lèi)型進(jìn)行擴(kuò)展研究以發(fā)現(xiàn)更一般的代數(shù)類(lèi)型也成為了一種很有效的方法。1996年，傾斜代數(shù)被一般化為擬傾斜代數(shù)。擬傾斜代數(shù)有許多良好的性質(zhì)，我們感興趣的是：Artin代數(shù)Λ是擬傾斜代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)任何一條從不可分解內(nèi)射Λ-模到不可分解投射Λ-模的路(簡(jiǎn)稱(chēng)IP路)能被加細(xì)成

3、一條既約映射路，且這條路是section路。1999年，擬傾斜代數(shù)更一般化為shod代數(shù)。和擬傾斜代數(shù)類(lèi)似，Ar-tin代數(shù)Λ是shod代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)任何一條IP路能被加細(xì)成一條既約映射路，且任何這樣的加細(xì)至多有兩個(gè)鉤子，如果有兩個(gè)的話(huà)，它們是連續(xù)的。 由文獻(xiàn)，shod代數(shù)的賦值箭圖無(wú)有向循環(huán)，因此它在本文的研究范圍之內(nèi)。所謂嚴(yán)格shod代數(shù)，就是整體維數(shù)等于3的shod代數(shù)，因此嚴(yán)格shod代數(shù)除了具有shod代數(shù)的一切特性外，

4、還應(yīng)具有某些特殊的性質(zhì)。第三章定理3.3.2證明了嚴(yán)格shod代數(shù)中一定存在這樣的既約映射IP路：使得P∈C<,Λ>，且這樣的路至少帶有一個(gè)鉤子，但至多帶有兩個(gè)鉤子，這兩個(gè)鉤子(如果存在的話(huà))是連續(xù)的。本文第四章討論不包含有向循環(huán)的A-R分支的嵌入，先討論正則分支與(非)半正則分支、hip-bounded分支等，然后利用李定理，給出幾種滿(mǎn)足一定條件的A-R分支的嵌入，同時(shí)還給出截面(section)的一類(lèi)性質(zhì)[4.3.10]：令Λ是一個(gè)