數(shù)理方程第二版(谷超豪)答案第一章-第三章

1、數(shù)學物理方程答案 數(shù)學物理方程第二版 數(shù)學物理方程第二版答案 答案 第一章． 第一章． 波動方程 波動方程 §1 方程的導出。定解條件 方程的導出。定解條件 1．細桿（或彈簧）受某種外界原因而產生縱向振動，以 u(x,t)表示靜止時在 x 點處的點在時刻 t 離開原來位置的偏移， 假設振動過程發(fā)生的張力服從虎克定律， 試證明 ) , ( t x u 滿足方程 ( ) ? ?? ? ?????? = ? ?? ? ??????x

2、u E x tu x t ρ其中 ρ 為桿的密度， E 為楊氏模量。 證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時的坐標分別為 x 與 + x x ? ?，F(xiàn)在計算這段桿在時刻t 的相對伸長。在時刻t 這段桿兩端的坐標分別為： ) , ( ); , ( t x x u x x t x u x ? + + ? + +其相對伸長等于 ) , ( )] , ( [ )] , ( [ t x x u xx t x u x t x x u x xx

3、? + = ?? ? + ? ? + + ? + θ令 0 → ?x ，取極限得在點 x 的相對伸長為 x u ) , ( t x 。由虎克定律，張力 ) , ( t x T 等于 ) , ( ) ( ) , ( t x u x E t x T x =其中 ) (x E 是在點 x 的楊氏模量。 設桿的橫截面面積為 ), (x S 則作用在桿段 ) , ( x x x ? + 兩端的力分別為 x u x S x E ) ( ) ( x

4、u x x S x x E t x ) ( ) ( ); , ( ? + ? + ). , ( t x x ? +于是得運動方程 tt u x x s x ? ? ? ) ( ) ( ρ x ESu t x = ) , ( x x x x x ESu x x | ) ( | ) ( ? ? + ? +利用微分中值定理，消去 x ? ，再令 0 → ?x 得 tt u x s x ) ( ) ( ρ x ?? = x ESu ( )

5、若 = ) (x s 常量，則得 22 ) ( tu x ?? ρ = ) ) ( ( xu x E x ????即得所證。 2．在桿縱向振動時，假設(1)端點固定，(2)端點自由， (3)端點固定在彈性支承上，試分別導出這三種情況下所對應的邊界條件。 數(shù)學物理方程答案 4. 絕對柔軟逐條而均勻的弦線有一端固定，在它本身重力作用下，此線處于鉛垂平衡位置，試導出此線的微小橫振動方程。 解：如圖 2，設弦長為l ，弦的線密度為 ρ ，則 x

6、 點處的張力 ) (x T 為 ) ( ) ( x l g x T ? = ρ且 ) (x T 的方向總是沿著弦在 x 點處的切線方向。仍以 ) , ( t x u 表示弦上各點在時刻t 沿垂直于 x 軸方向的位移，取弦段 ), , ( x x x ? + 則弦段兩端張力在u 軸方向的投影分別為 ) ( sin )) ( ( ); ( sin ) ( x x x x l g x x l g ? + ? + ? ? θ ρ θ ρ其中 )

7、 (x θ 表示 ) (x T 方向與 x 軸的夾角 又 . sin xu tg ?? = ≈ θ θ于是得運動方程 xu x x l tu x ?? ? + ? = ?? ? )] ( [ 22 ρ ∣ xu x l g x x ?? ? ? ? + ] [ ρ ∣ g x ρ 利用微分中值定理，消去 x ? ，再令 0 → ?x 得 ] ) [( 22xu x l x g tu?? ? ?? = ?? 。 5.

8、驗證 2 2 2 1 ) , , ( y x t t y x u ? ? = 在錐 2 2 2 y x t ? ? >0 中都滿足波動方程 222222yuxutu?? + ?? = ?? 證：函數(shù)2 2 2 1 ) , , ( y x t t y x u ? ? = 在錐 2 2 2 y x t ? ? >0 內對變量t y x , , 有 二階連續(xù)偏導數(shù)。且 t y x t tu ? ? ? ? = ??