張量分析答案完整版

1、黃克智版張量分析課后習題答案完整版第一章1.1 求證： ( ) ( ) ( ) × × = ? ? ? u v w u w v u v w u v w u w v u v w u v w u w v u v w u v w u w v u v w并問： ) ( w w w w v v v v u u u u × × 與 w w w w v v v v u u u u × × ）

2、 （ 是否相等？ w w w w v v v v u u u u 、 、 為矢量證明：因為 u=( , , ) x y z u u u ; v= ( , , ) x y z v v v ; w= ( , , ) x y z w w w ;左邊= ( ) × × u v w u v w u v w u v w = ( , , ) x y z u u u ×[ ( , , ) x y z v v v ×

3、; ( , , ) x y z w w w ]=( , , ) x y z u u u × x y zx y zi j kv v vw w w? ?? ?? ?? ? ? ?=( , , ) x y z u u u ×[ ( ) y z y z v w w v ? ,( ) x z x z w v v w ? ,( x y x y v w w v ? )]=[ ( ) ( ) y x y x y z x z x z

4、u v w w v u w v v w ? ? ? , ( ) ( ) z y z y z x x y x y u v w w v u u w w v ? ? ? ,( ) ( ) x x z x z y y z y z u w v v w u v w w v ? ? ? ]右邊=( ) ( ) ? ? ? u w v u v w u w v u v w u w v u v w u w v u v w=( ) x x y y z z u

5、 w u w u w + + v v v v -( ) x x y y z z u w u w u w + + w w w w=( ) x x y y z z u w u w u w + + ( , , ) x y z v v v -( ) x x y y z z u w u w u w + + ( , , ) x y z w w w=[ ( ) ( ) y x y x y z x z x z u v w w v u w v v w ?

6、 ? ? , ( ) ( ) z y z y z x x y x y u v w w v u u w w v ? ? ? ,( ) ( ) x x z x z y y z y z u w v v w u v w w v ? ? ? ]所以： ( ) ( ) ( ) × × = ? ? ? u v w u w v u v w u v w u w v u v w u v w u w v u v w u v w u w v

7、 u v w同理可證：( ) ( ) ( ) × × = ? ? ? u v w u w v v w u u v w u w v v w u u v w u w v v w u u v w u w v v w u所以 ) ( w w w w v v v v u u u u × × ≠ w w w w v v v v u u u u × × ） （1.11 根據(jù)上題結果驗算公式：

8、 ij ji g = g g g g g g g g由上題結果： ： ： ： 2 = g g g g , , , , 11 ( )2= ? + + g i j k g i j k g i j k g i j k , , , , 21 ( )2= ? + g i j k g i j k g i j k g i j k , , , , 312= g g g g ( ) + ? i j k i j k i j k i j k21rs g r

9、s? = ? ≠ ?當r=s當1 2 3 1 2 311 12 13 2 g g g + + = + + g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = + + -i + j + k i - j + k i + j - k -i + j + k i - j + k i + j - k -i + j + k i - j + k i + j -

10、 k -i + j + k i - j + k i + j - k1 = = j + k g j + k g j + k g j + k g及： ： ： ： 1 2 31 11 12 13 g g g = + + g g g g g g g g g g g g g g g g同理; 1 2 3 1 2 321 22 23 2 g g g + + = + + g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

11、g g g g1 2 1 ( ) ( ) ( )2 2 2= + + -i + j + k i - j + k i + j - k -i + j + k i - j + k i + j - k -i + j + k i - j + k i + j - k -i + j + k i - j + k i + j - k1.31 已知： k v 為一矢量的協(xié)變分量。（根據(jù) P31 頁所講的張量的對稱與反對稱知識來證明這個題目。 重點( . )

12、 ( . ) n m m n T T = ? ）求證：mnnmx x ?? ? ?? ν ν 為一反對稱二階張量的協(xié)變分量。證明：令 mnnmn m x xT?? ??? = ν ν) . (則由 v v v m mmm m xx mm ' ' ' ?? = = β可知: vm n mmnnn mmmnmx xxxxxvxxxv' ' ' ''' ? ?? +???

13、??? =??同理可得： vn n mnmmm nnnmnx xxxxxvxxxv' ' ' ''' ? ?? +?????? =??則 v v n n mnmmm nnnm n mmnnn mmmmnnmn m x xxxxxvxxx xxxxxvxxxvxvT ' ' ' ' ' ' ' '' ''

14、 ' ' ' ) . ( ? ?? ??????? ?? ?? +?????? =?????=由于： v v n n mnm n mmx xxx xx' ' ' ' ? ?? =? ??所以 ) ( ' '' '' ' ' ' ) . ( m nn mnnmmmnnmn m xvxvxxxxxvxvT?? ??????

15、? =?????=即 ) . ( ) . ('''''''' ' ' ) ( n mnnmm mnnm nnmm n m Txvxv T β β β β =?? ??? =所以的證： mnnmn m x x T ?? ? ?? = ν ν) . ( 為二階張量的協(xié)變分量。當 n m = 時恒有 0 ) . ( = n m T又有 ( . ) ( . )m n

16、n m m n n m T Tx xν ν ? ? = ? + = ?? ?綜上可知： mnnmx x ?? ? ?? ν ν為一反對稱二階張量的協(xié)變分量1.41 質量為 m、繞定點 O 以角速度ω ω ω ω 轉動的質點（見圖） ，其動量矩矢量的定義為 m = × L r v L r v L r v L r v ，其中， r r r r為定點 O 至質點的矢徑，v v v v 為質點的線速度。求證： = ? L I L I

17、L I L I ω ω ω ω，式中 I I I I 為慣性矩張量， [( ) ] m = ? ? I r r G rr I r r G rr I r r G rr I r r G rr證明： ( ) m m = × = × × L r v r r L r v r r L r v r r L r v r r ω ω ω ω= [ ( ) ( )] m ? ? ? r r r r r r r r r r r