解析幾何第四版呂林根-期末復習-課后習題(重點)詳解

1、第一章 第一章 矢量與坐標 矢量與坐標§1.3 數(shù)量乘矢量 數(shù)量乘矢量4、 設 ， ， ，證明： 、 、 三點共線．? ? ?? ? b a AB 5? ? ?? ? ? b a BC 8 2 ) ( 3? ? ?? ? b a CD A B D證明 ∵? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB b a b a b a CD BC BD 5 ) ( 3 8 2∴ 與 共線，又∵ 為

2、公共點，從而 、 、 三點共線．? AB? BD B A B D6、 設 L、M、N 分別是ΔABC 的三邊 BC、CA、AB 的中點，證明：三中線矢量 , , AL BM可 以構成一個三角形. CN證明： ) ( 21 AC AB AL ? ? ?) ( 21 BC BA BM ? ?) ( 21 CB CA CN ? ?0 ) ( 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? CB CA BC BA AC A

3、B CN BM AL7.、設 L、M、N 是△ABC 的三邊的中點，O 是任意一點，證明+ = + + . OB OA ? OC OL OM ON[證明] LA OL OA ? ? ?MB OM OB ? ?NC ON OC ? ?) ( NC MB LA ON OM OL OC OB OA ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ) ( CN BM AL ON OM OL ? ? ? ? ?由上題結論知： 0 ? ? ? CN BM

4、ALON OM OL OC OB OA ? ? ? ? ? ?從而三中線矢量 構成一個三角形。 CN BM AL , ,8.、如圖 1-5，設 M 是平行四邊形 ABCD 的中心，O 是任意一點，證明+ + + ＝4 . OA OB OC OD OM[證明]：因為 ＝ ( + OM 21 OA), ＝ ( + ), OC OM 21 OB OD所以 2 ＝ ( OM 21 OA+ + + ) OB OC OD所以+ +

5、+ ＝4 . OA OB OC OD OM10、 用矢量法證明梯形兩腰中點連續(xù)平行于上、下兩底邊且等于它們長度和的一半．圖 1-5解： 是 的重心。 連接 并延長與 BC 交于 P G ? ABC ? ? AG? ? ? ? ? ? AC AB AC AB AP AG AC AB AP ? ? ? ? ? ? ? ? 31213232 , 21 ?同理C O ? ? ? ? CB CA CG BC BA BG ? ?

6、 ? ? 31 , 31（1） G P ? ? BC AB OA AG OA OG ? ? ? ? ? ? 31（2） A B ? ? BC BA OB BG OB OG ? ? ? ? ? 31（3） （圖 1） ? ? CB CA OC CG OC OG ? ? ? ? ? 31由（1） （2） （3）得

7、? ? ? ? CB CA BC BA AC AB OC OB OA OG ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3131 3OC OB OA ? ? ?6．用矢量法證明以下各題（1）三角形三中線共點證明：設 BC，CA，AB 中，點分別為 L，M，N。AL 與 BM 交于 ，AL 于 CN 交于 1 P 2 PBM 于 CN 交于 ，取空間任一點 O，則 A 3 P?

8、 ? BC BA OB BM OB BP OB OP ? ? ? ? ? ? ? 31321 1A ? ? ? ? OC OB OA OB OC OB OA OB ? ? ? ? ? ? ? ? 3131同理N M ? ? OC OB OA OP ? ? ? 312B L C ? ? OC OB OA OP ? ? ? 313三點重合

9、 O 3 2 1 , , P P P ?三角形三中線共點 （圖 2） ?即 ? ? OC OB OA OG ? ? ? 31§1.5 標架與坐標 標架與坐標9. 已知線段 AB 被點 C(2,0,2)和 D(5,-2,0)三等分,試求這個線段兩端點 A 與 B 的坐標.答 A(-1,2,4),B(8,-4