第二章--塞瓦定理及應(yīng)用

1、第二章 第二章 塞瓦定理及應(yīng)用 塞瓦定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】塞瓦定理 設(shè) ， ， 分別是 的三邊 ， ， 或其延長線上的點，若 ， ， A? B? C? △ ABC BC CA AB AA? BB?三線平行或共點，則 ． ① CC? 1 BA CB ACA C B A C B? ? ? ? ? ? ? ? ?證明 如圖 2-1（ ） 、 （ ） ，若 ， ， 交于一點 ，則過 作 的平行線，分別交 ， b c AA? BB? CC?

2、 P A BC BB?的延長線于 ， ，得 ． CC? D E , CB BC AC EAB A AD C B BC? ? ? ? ? ?A′B'C'AB CPPC BAA′B' C'D EC BAA′B'C'D E(c) (b) (a)圖 2?1又由 ，有 ． BA A P A CAD PA EA? ? ? ? ? BA ADA C EA? ? ?從而 ． 1 BA CB AC AD B

3、C EAA C B A C B EA AD BC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若 ， ， 三線平行，可類似證明（略） ． AA? BB? CC?注 （1）對于圖 2-1（ ） 、 （ ）也有如下面積證法： b c由： ，即證． 1 PAB PBC PCAPCA PAB PBCS S S BA CB ACA C B A C B S S S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?△△△△△△（2）點 常稱為塞瓦點．

4、P（3）共點情形的塞瓦定理與梅涅勞斯定理可以互相推證．首先，由梅涅勞斯定理推證共點情形的塞瓦定理．如圖 2-1（ ） 、 （ ） ，分別對 及截線 ，對 及截線 應(yīng)用梅涅勞斯定理有 b c △ ABA? C PC ? △ AA C ? B PB ?， ． 1 BC A P ACCA PA C B? ? ? ? ? ? ? 1 A B CB APBC B A PA? ? ? ? ? ? ?上述兩式相乘，得 ． 1 BA CB ACA

5、C B A C B? ? ? ? ? ? ? ? ?其次，由共點情形的塞瓦定理推證梅涅勞斯定理．如圖 2-2，設(shè) ， ， 分別為 的三邊 ， ， 所在直線上的點，且 ， ， 三 A? B? C? △ ABC BC CA AB A? B? C?點共線．令直線 與 交于點 ，直線 與 交于點 ，直線 與 交于點 ． BB? CC? X C C ? AA? Y AA? BB? Z則三直線 ， ， 平行或共點的充要條件是 AA? BB? CC?

6、． ④ sin sin sin 1 sin sin sinBAA ACC CBBA AC C CB B BA? ? ? ? ? ? ? ? ?∠∠∠∠∠∠證明 由 ， ， ，三式相 sinsinABAAA CS BA AB BAAA C S AC A AC??? ? ? ? ? ? ? ?△△∠∠sinsinCB BC CBBB A AB B BA? ? ? ? ? ? ?∠∠sinsinAC AC ACCC B BC C CB?

7、? ? ? ? ? ?∠∠乘，再運用塞瓦定理及其逆定理，知結(jié)論成立．第二角元形的塞瓦定理 設(shè) ， ， 分別 的三邊 ， ， 所在直線上的點， 是 A? B? C? △ ABC BC CA AB O不在 的三邊所在直線上的點，則 ， ， 平行或共點的充要條件是 △ ABC AA? BB? CC?． ⑤ sin sin sin 1 sin sin sinBOA AOC COBA OC C OB B OA? ? ? ? ? ? ? ? ?

8、∠∠∠∠∠∠證明 注意到塞瓦定理及其逆定理，有1 BOA COB AOCA OC B OA C OBS S S BA CB ACA C B A C B S S S? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?△△△△△△． sin sin sinsin sin sinBO BOA CO COB AO AOCCO A OC AO B OA BO C OB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∠∠∠

9、∠∠∠由此即證得結(jié)論．注 在上述各定理中，若采用有向線段或有向角，則①、②、③、④、⑤式的右端仍為 1．特別要注意的是三邊所在直線上的點或者兩點在邊的延長線上，或者沒有點在邊的延長線上．④、⑤式中的角也可按①式的對應(yīng)線段記憶．推論 設(shè) ， ， ，分別是 的外接圓三段弧 ， ， 上的點，則 ， ， 1 A 1 B 1 C △ ABC A BC A CA A AB 1 AA 1 BB 1 CC共點的充要條件是． 1 1 11 1 1

10、1 BA CB ACAC B A C B ? ? ?證明 如圖 2-3，設(shè) 的外接圓半徑為 ， 交 于 ， 交 于 ， 交 于 △ ABC R 1 AA BC A? 1 BB CA B? 1 CC AB C?．由 ， ， ， ， ， 六點共圓及正弦定理，有 ． A 1 C B 1 A C 1 B 1 11 12 sin sin2 sin sinBA R BAA BAAAC R A AC A AC? ? ? ? ? ?∠ ∠∠∠A1B