線性空間-知識點及其注釋

1、鄭業(yè)龍編 第五章 線性空間-知識點及其注釋 1 / 6第五章 第五章 線性空間 線性空間-知識點及其注釋 知識點及其注釋知識點： 知識點：n 維數(shù)組向量，向量空 向量，向量空間，線性空 性空間，線性組合， 合，線性表示， 性表示，向量 向量組等價， 等價，線性相關(guān)， 性相關(guān)，線性無關(guān)，極大無關(guān) 性無關(guān)，極大無關(guān)組，秩，生成子空 ，秩，生成子空間，子

2、，子空間，基， ，基，維數(shù)，坐 數(shù)，坐標(biāo)，基 ，基變換 變換，坐 ，坐標(biāo)變換 標(biāo)變換，同構(gòu)，交子空 ，同構(gòu)，交子空間，和子空 ，和子空間，直和， ，直和，線性方程 性方程組的解空 的解空間，基 ，基礎(chǔ)解系，特解，通解。 解系，特解，通解。#n 維數(shù)組向量 維數(shù)組向量#簡稱為 n 維向量 維向量，是指由數(shù)域 中 個數(shù) 組 F n n a a a , , , 2 1 ?成的 n 元有序數(shù)組，常記為 或 ，又稱為 n 元（數(shù) 元（數(shù) 1 2

3、( , , , )Tn a a a ? ) , , , ( 2 1 n a a a ?組）向量 組）向量。由數(shù)域 上所有 n 維數(shù)組向量所構(gòu)成的線性 線性空間 空間稱為 n 維 F（元） （元） （數(shù)組）向量空間 （數(shù)組）向量空間，記為 。 n F#線性組合 線性組合#表達(dá)式 稱為向量組 的系數(shù)分別 1 1 2 2 s s k k k ? ? ? ? ? ? ? s ? ? ? , , , 2 1 ?為 的線性 線性組合 組合， 稱為線

4、性組合系數(shù)。 1 2 , , , ( ) s k k k F ? ? s k k k , , , 2 1 ?#線性表示 線性表示#向量 可由向量組 線性 線性表示 表示(出)是指存在數(shù)域 ? s ? ? ? , , , 2 1 ? F中的數(shù) ,使 。 s k k k , , , 2 1 ? 1 1 2 2 s s k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ?向量組 可由向量組 線性 線性表示 表示是指每個 （ s ? ? ? , ,

5、, 2 1 ? 1 2 , , , t ? ? ? ? i ?）都可由向量組 線性 線性表示 表示。顯然，向量組的線性 線性表示 表示 1,2,..., i s ? 1 2 , , , t ? ? ? ?具有傳遞性 傳遞性。在 中，向量 可由向量組 線性 線性表示 表示 線性方程組 n F ? s ? ? ? , , , 2 1 ? ?有解 有解。 1 1 2 2 s s x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1

6、2 ( , , , , ) ( , , , ) s s rank rank ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?#向量組等價 向量組等價#向量組 與向量組 等價 等價是指向量組 s ? ? ? , , , 2 1 ? 1 2 , , , t ? ? ? ?與向量組 可以相互線性 相互線性表示 表示。顯然，向量組等價 向量組等價是 s ? ? ? , , , 2 1 ? 1 2 , , , t ? ? ? ?等價關(guān)系 等價關(guān)系，即具有自

7、反性 自反性、對稱性 對稱性和傳遞性 傳遞性。鄭業(yè)龍編 第五章 線性空間-知識點及其注釋 3 / 6若向量組 可由向量組 線性 線性表示 表示,且 s>t，則 s ? ? ? , , , 2 1 ? 1 2 , , , t ? ? ? ?線性相關(guān) 線性相關(guān)；若向量組 可由向量組 線性 線性表 s ? ? ? , , , 2 1 ? s ? ?

8、? , , , 2 1 ? 1 2 , , , t ? ? ? ?示,且 線性無關(guān) 線性無關(guān)，則 ；向量組 與向量組 s ? ? ? , , , 2 1 ? s t ? s ? ? ? , , , 2 1 ?等價 等價,且都線性無關(guān)，則 s=t。 1 2 , , , t ? ? ? ?#極大線性無關(guān)向量組 極大線性無關(guān)向量組#簡稱極大無關(guān)組 極大無關(guān)組，是指向量組(A)的一個部分向量組 ,其本身線性無關(guān),但從(A)中任意添加一個向量(如

9、果還有的 1 2 , ,..., r ? ? ?話) ,則 都線性相關(guān)。一個向量組與其任一極大無關(guān)組等 1 r ? ? 1 2 1 , ,..., , r r ? ? ? ? ?價；一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價，從而所含向量的個數(shù)相等。#秩#向量組(A)的秩是指其任一極大無關(guān)組所含向量的個數(shù) 極大無關(guān)組所含向量的個數(shù);記為 rank(A)。矩陣的行（向量組的）秩，等于其列（向量組的）秩，也等于其秩（最高階非零子式的階） 。#線性

10、 線性空間 空間#又稱向量空間 向量空間,是指數(shù)域 上一非空集合 非空集合 ,連同其中定義 F V的兩個滿足以下八條法則的 八條法則的運算(分別稱為加法 加法和數(shù)乘 數(shù)乘, 記為+和 ， ?統(tǒng)稱為線性運算)，記為 ，其中的元素稱為向量 向量： ； ( ) V F ? ? ? ? ? ? ?； 中存在零元素 ，即對 中任一元素 ，有 ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? V ? V ?； 中每個元素 都有負(fù)元 ,

11、即 ； ； ? ? ? ? ? V ? ? ? ( ) ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ?； ； ，其中 ( ) ( ) k l k l ? ? ? ? ? ? ? ( ) k l k l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 , , , , V k l F ? ? ? ? ? ?#子空間 子空間#是指線性空間 的一非空子集 非空子集 ，其對 的加法 加法和數(shù)乘封 數(shù)乘