《九章算術(shù)》的(ppt幻燈片)

1、第三講,中國古代數(shù)學(xué),概 述,石器時(shí)代（4000BC） —仰韶文化·西安半坡遺址 陶器上的刻劃符號—文字的起源,人面陶盆中的幾何圖案,幾何圖案—對稱,三角形數(shù)？,夏商周：青銅時(shí)代—1600BC,數(shù)字符號的形成 甲骨文 金文,甲骨文中的數(shù)字符號,,伏羲執(zhí)矩，女媧執(zhí)規(guī)：數(shù)學(xué)崇拜？東漢畫像石（山東武梁祠）,“算術(shù)”乃社稷民生

2、之大用！昔者周公問于商高曰：竊聞乎大夫善數(shù)也。請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數(shù)安從出？商高曰：數(shù)之法出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。周公曰：大哉言數(shù)。 ……---《周髀算經(jīng)》,春秋戰(zhàn)國：400BC,“九九口訣”—齊恒公招賢納士《墨經(jīng)》：圜，一

3、中同長也； 平，同高也;《莊子》：“一尺之棰”《考工記》：分?jǐn)?shù)算法,秦漢：221BC-220AD,初等數(shù)學(xué)體系的形成《算數(shù)書》《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》,,,魏晉南北朝：220-588AD,初等數(shù)學(xué)理論的發(fā)展劉徽：《九章算術(shù)注》（264AD）祖沖之：3.1415926<π<3.1415927,劉 徽（造像）,祖沖之（造像）,隋唐:589-960AD,國家數(shù)學(xué)教育

4、 國子監(jiān):明算科 李淳風(fēng):編纂“十部算經(jīng)” 周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng) 綴術(shù)(唐朝佚） 數(shù)術(shù)記遺（南宋補(bǔ)） 孫子算經(jīng)、張丘建算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng) 五曹算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù) 緝古算經(jīng),宋元：960-1368AD,中國古代數(shù)學(xué)的輝煌時(shí)代秦九韶：《數(shù)書九章》1247楊輝： 《楊輝算法》1275李冶： 《測圓海鏡》1248朱世杰：《四元玉鑒》1

5、303,明代：1368-1644AD,吳敬：《九章算法比類大全》1450商業(yè)數(shù)學(xué)—珠算程大位：《算法統(tǒng)宗》1592,西方數(shù)學(xué)的第一次傳入,1607 徐光啟、利瑪竇合譯 《幾何原本》1609 李之藻、利瑪竇合譯 《同文算指》,,徐光啟與利瑪竇,清代：1665-1910AD,中國古典數(shù)學(xué)漸次衰微乾嘉時(shí)期《數(shù)理精蘊(yùn)》100卷梅文鼎年希堯、明安圖、汪萊、李銳、戴煦,西方數(shù)學(xué)的再次傳入,《幾何

6、原本》1857,李善蘭，偉烈亞利 又譯《代數(shù)術(shù)》《代微積拾級》 《代數(shù)術(shù)》《微積溯源》《三角數(shù)理》 1874,華蘅芳，傅蘭雅 《決疑數(shù)學(xué)》1876,華蘅芳，傅蘭雅《形學(xué)備旨》1884,劉永錫、狄考文《代數(shù)備旨》1891，鄒立文、狄考文《八線備旨》1893,謝洪賚、潘慎文,近代數(shù)學(xué)在中國的興起,1912 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系-中國第一個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)系：馮祖荀（日本京都帝國大學(xué)）1920 清華大學(xué)“算學(xué)系”：鄭之蕃（美國康奈爾大

7、學(xué)）1920 南開大學(xué)數(shù)學(xué)系：姜立夫（哈佛大學(xué)）……1928 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系1935 中國數(shù)學(xué)會—上海交大圖書館成立大會,一 算籌與籌算,1 數(shù)字的起源從“數(shù)”談起 數(shù) 數(shù)《易·系辭傳》：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契”鄭玄（東漢）：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡。,,(左)基普（quipu） 南美印加（Inca）部落用來記事的結(jié)繩，秘魯利馬Larco

8、博物館館藏。(右) “基普”上的繩結(jié)，上面一結(jié)5道，表示500；中間的結(jié)8道，表示80；下面的結(jié)為6道，表示6。這樣就表示了586。,甲骨文數(shù)字：十進(jìn)位位值制的萌芽,,,,1983年陜西旬陽出土的西漢象牙算籌,10進(jìn)位位值制記數(shù)法,縱式籌碼橫式籌碼,,,,記數(shù)規(guī)則,“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵；千十相望，萬百相當(dāng)” （《孫子算經(jīng)》）“滿六以上，五在上方，六不積算，五不單張”（《夏侯陽算經(jīng)》）例如：752836

9、用空位符號“□”表示零，后演變?yōu)椤啊稹薄?,最初籌碼中沒有“零”的符號，先是用空位表示，后來為了避免運(yùn)算過程中出錯(cuò)，借用古書缺字符號“□”，而“□”的書寫很自然的演化為○，這一記號在宋元算書的演算中廣泛使用。,意義,“用十個(gè)記號來表示一切的數(shù)，每個(gè)記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計(jì)算都提供了極大的方便

10、，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當(dāng)我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了。”——拉普拉斯,2 籌算,“運(yùn)籌于帷幄之中，決勝于千里之外”“籌”——籌策，小竹棍；“算籌”（counting rods）——用于計(jì)算的小竹棍，算器記數(shù)規(guī)則：縱式籌碼，橫式籌碼空位：□ 〇 0,,敦煌紙卷中的“九九表”（AD900）,三 《九章算術(shù)》與劉徽,琢磨推敲細(xì)思量，

11、說方道圓話短長。若把《原本》比《算術(shù)》，此中翹楚是《九章》。 ——嚴(yán)敦杰,1 《九章算術(shù)》,成書年代“往者暴秦焚書，經(jīng)術(shù)散壞。自時(shí)厥后，漢北平侯張蒼、大司農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補(bǔ)。故校其目與古或異，所論者多近語也。”——?jiǎng)⒒眨骸毒耪滤阈g(shù)注》張蒼，北平侯，250—152BC，秦漢兩朝官員耿壽昌，大司農(nóng)，73BC，由此推測《九章算術(shù)》初成于秦

12、，修訂于漢。,方田 與田畝丈量有關(guān)的面積、分?jǐn)?shù)問題；粟米 以谷物交換為例的各類比例問題；衰分 按比例分配和等差數(shù)列問題；少廣 由田畝計(jì)算引出的分?jǐn)?shù)、開方問題；商功 與土方工程有關(guān)的體積問題；均輸 與攤派勞役和稅收有關(guān)的比例問題；盈不足 由兩次假設(shè)求解復(fù)雜算術(shù)問題的特殊算法；“方程” 一次線性方程組問題； 勾股 勾股定理及其應(yīng)用。,2    注釋者,劉徽，魏晉間人，263

13、AD年注釋《九章算術(shù)》“徽幼習(xí)《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術(shù)之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。”——?jiǎng)⒒眨骸毒耪滤阈g(shù)注》,祖沖之，祖暅:南北朝，圓周率，球體體積公式    李淳風(fēng)：唐朝，“十部算經(jīng)”國子監(jiān)教科書    楊輝：南宋，《詳解九章算法》    吳敬：明，《九章算

14、法比類大全》    李潢：清，《九章算術(shù)細(xì)草圖說》    現(xiàn)代：錢寶琮校點(diǎn)《算經(jīng)十書》 白尚恕《〈九章算術(shù)〉注釋》《〈九章算術(shù)〉今譯》 李繼閔《〈九章算術(shù)〉與劉徽注研究》《〈九章算術(shù)〉校證》 《〈九章算術(shù)〉導(dǎo)讀與譯注》 郭書春：匯?！毒耪滤阈g(shù)》 沈康身：《〈九章算術(shù)〉導(dǎo)讀》,3《九章算術(shù)》在國外,英國 李約瑟

15、（Joseph Needham）Science and Civilization in China(1959)俄國 尤什凱維奇，《中國學(xué)者在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的成就》（1955）別列茲金娜，《九章算術(shù)》俄文譯本（1957）德國 伍哥爾，《九章算術(shù)》德文譯本（1968）載入《東方世界自然科學(xué)經(jīng)典叢書》（慕尼黑，1968）丹麥 瓦格那，《〈九章算術(shù)〉中最有趣的問題》（英文，1978）日本 川原秀城 《九章算術(shù)》日文譯本（198

16、0）法國 林力娜，《九章算術(shù)》法文譯本（2005）捷克 胡吉瑞，《九章算術(shù)》捷克文譯本沈康身（杭州大學(xué)）John N.Crossley & Anthony Lun (Monash University , Australia)The Nine Chapters on the Mathematical Art（Companion & commentary）,四 中算家怎樣認(rèn)識實(shí)數(shù)系,實(shí)數(shù)系： 自然數(shù)

17、—分?jǐn)?shù)—有理數(shù)—無理數(shù)—負(fù)數(shù)中算家認(rèn)識實(shí)數(shù)系的四個(gè)重要標(biāo)志：     十進(jìn)位位值制  分?jǐn)?shù)--有理數(shù)     不盡方根--無理數(shù)      負(fù)數(shù),分?jǐn)?shù)何為“分?jǐn)?shù)”？“分”——從八從刀，以刀分別物（《說文·八部》） 《九章算術(shù)》：實(shí)如法而一

18、。不滿法者，以法命之。釋意：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義為分?jǐn)?shù)。,分?jǐn)?shù)算法,合分術(shù)（加法）：母互乘子，并以為實(shí)；母相乘為法，實(shí)如法而一。減分術(shù)（減法）：母互乘子，以少減多，余為實(shí)；母相乘為法，實(shí)如法而一。乘分術(shù)（乘分）：母相乘為法，子相乘為實(shí)，實(shí)如法而一。經(jīng)分術(shù)（除法）：重有分者，同而通之。（法分母乘實(shí)，實(shí)分母乘法）約分術(shù)：可半者半之。不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。,評述,1.巴

19、比倫：60進(jìn)位的分?jǐn)?shù)2.埃及：單位分?jǐn)?shù)3.阿拉伯：主分?jǐn)?shù)，單位分?jǐn)?shù)——都未能給出行之有效的分?jǐn)?shù)算法,中算分?jǐn)?shù)算法的特點(diǎn).,1.   除法運(yùn)算定義分?jǐn)?shù)2.   分?jǐn)?shù)概念的兩重性 運(yùn)算結(jié)果：獨(dú)立的數(shù)； 運(yùn)算過程：母與子3 .基本性質(zhì) 分子、分母同乘不為零的數(shù)，其值不變。4. 通分——“齊同術(shù)”

20、 母互乘子謂之齊，母相乘謂之同,籌算開方,開方術(shù)曰：置積為實(shí)。借一算，步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其復(fù)除，折法而下。復(fù)置借算，步之如初，以復(fù)議一乘之。所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復(fù)除，折下如前。若開之不盡者，為不可開，當(dāng)以面命之。若實(shí)有分者，通分納子為定實(shí)，乃開之。訖，開其母，報(bào)除。若母不可開者，有以母乘定實(shí)，乃開之。訖，令如母而一?！毒耪滤阈g(shù)》少廣章,置積

21、（55225）為實(shí)。借一算，步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除，除已，倍法為定法。其復(fù)除，折法而下。復(fù)置借算步之如初，以復(fù)議一乘之。所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復(fù)除折下如前。,,商 實(shí)法 副借算,,,2 0 01 5 2 2 5 2 1,,2 3 01 5 2 2 5 4 3 0

22、 3 1,,2 3 5 2 3 2 5 4 6 5 5 1,例子：計(jì)算55225的平方根,,,若開之不盡者為不可開，當(dāng)以面命之。若實(shí)有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。乃開之，訖，開其母報(bào)除。若母不可開者，又以母乘定實(shí)，乃開之，訖，令如母而一。面積為五的正方形：方五之面實(shí)有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)，乃開之，訖，開其母報(bào)除：若母不可開者，又以

23、母乘定實(shí)，乃開之，訖，令如母而一,劉徽的貢獻(xiàn)——求其微數(shù),不以面命之，加定法如前，求其微數(shù)。微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細(xì)。則朱冪雖有所棄之?dāng)?shù)，不足言之也。（1）十進(jìn)分?jǐn)?shù) （2）極限概念 （3）以有理數(shù)逼近無理數(shù),無理數(shù),希臘：√A≠ n/m ——認(rèn)識了“不可比”數(shù)中國：√A=a. a1a2a3——認(rèn)識了“不可開”數(shù),負(fù)數(shù)是怎樣進(jìn)入數(shù)學(xué)的？,盈余與不足、收入與支出、增加與減少

24、是負(fù)數(shù)概念在生活中的實(shí)例，教科書在向?qū)W生講授負(fù)數(shù)是也多循此途。這就產(chǎn)生一種誤解：似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認(rèn)識而引進(jìn)了負(fù)數(shù)的。問題：那個(gè)文明最早使用負(fù)數(shù)？,歷史事實(shí)表明：負(fù)數(shù)最早為中算家所引進(jìn)，這是由中國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)高度發(fā)達(dá)算法和籌算機(jī)械化的特點(diǎn)所決定的。,《九章算術(shù)》的“方程術(shù)”,“方程”章第3問：今有上禾二秉、中禾三秉、下禾四秉，實(shí)皆不滿斗，上取中、中取下、下取上各一秉而實(shí)滿斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何。 上

25、禾 1 0 2 2 0 中禾 0 3 1 0 -1（“正無入負(fù)之”） 下禾 4 1 0 8 8 實(shí) 1 1 1 2 1

26、 （3） （2） （1） 2×（3 ） 2（3）-（1）,今有上禾五秉，損實(shí)一斗一升，當(dāng)下禾七秉；上禾七秉，損實(shí)二斗五升，當(dāng)下禾五秉。問上、下禾實(shí)一秉各幾何？《九章算術(shù)》給出的算法是： 上禾五秉正，下禾七秉負(fù)，損實(shí)一斗一升正； 上禾七秉正，下禾五秉負(fù)，損實(shí)二斗五升正。擺在籌算板上就是：

27、 上禾 7 5 下禾 - 5 - 7 實(shí) 25 11這樣就必須以“負(fù)數(shù)”給出區(qū)別。,方程章第4問,“同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之?！?

28、 ----《九章算術(shù)》這里的“同名”、“異名”即同號、異號；“相益”、“相除”指二數(shù)絕對值相加、相減。若設(shè)a>b>0，則上述正負(fù)術(shù)相當(dāng)于減法法則（前四句）： (±a)－（±b）=±（a－b）, (±b)－（±a）=（a－b） (±a)－（b）=±（a＋b）； 0－a = －a; 0－(－a) = a.加法法則

29、（后四句）： (±a)＋（b）=±（a—b），(±b) +（a）=（a—b）； (±a)＋（±b）=±（a＋b）； 0 ＋a = a; 0 ＋（—a）= —a.,劉徽《九章算術(shù)》注,“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。正算赤，負(fù)算黑，否則以斜正為異。方程自有赤黑相取，左右數(shù)相推求之術(shù)。而其并減之勢不得廣通，故使赤黑相消奪之。……故赤黑相雜足以定

30、上下之程，減益雖殊足以通左右之?dāng)?shù)，差實(shí)雖分足以應(yīng)同異之率。然則其正無入負(fù)之，負(fù)無入正之，其率不妄也。”,負(fù)數(shù)運(yùn)算法則,減法：同名相除，異名相益；正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。加法：異名相除，同名相益；正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。若a>b>0±a-(±b)=±(a-b)，（同名相除）±a-(-b)=±(a+b)，（異名相益）0-(a)=－a; 0-(－a)=a；（無入：空位）

31、,評價(jià),負(fù)量及負(fù)量的運(yùn)算法則的發(fā)明是大約生活在二千年以前或更早的中國學(xué)者的最偉大的成就。這是第一次超越了正數(shù)的范圍。中國數(shù)學(xué)家在這一點(diǎn)上超出了其他國家的科學(xué)幾世紀(jì)之久?！仁矂P維奇《中國學(xué)者在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的成就》,負(fù)數(shù)雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀(jì)和17世紀(jì)的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)它們是數(shù)，或者即使承認(rèn)了也并不認(rèn)為它們是方程的根。如丘凱（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂費(fèi)爾（Stifel ,1

32、486-1567） 都把負(fù)數(shù)說成是荒謬的數(shù)，是“無稽之零下”。無法解釋：1:-1=-1:1； “較大數(shù):較小數(shù)=較小數(shù):較大數(shù)” ?卡丹(Cardan,1501- 1576) 把負(fù)數(shù)作為方程的根，但認(rèn)為它們是不可能的解，僅僅是一些記號；他把負(fù)根稱作是虛有的。韋達(dá)(Vieta, 1540- 1630) 完全不要負(fù)數(shù)，巴斯卡（Pascal,1623- 1662） 則認(rèn)為從0減去4純粹是胡說。,西方的困

33、惑,五 劉徽論圓和球,《九章》“方田”章： 半周半徑相乘得積步 周徑相乘，四而一又中國古代取“周三徑一”，故有： 徑自相乘，三之，四而一 周自相乘，十二而一,,,,半徑,半周,劉徽“割圓術(shù)注”,按半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步。假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數(shù)均等。合徑率一而觚周率三也。又按為圖，以六觚之一面乘半徑，（四分?。┒?，因而六之，得十二觚之冪。

34、若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，四分取四，因而六之，則得二十四觚之冪。割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！?,12觚面積= 半徑×6觚周長/224觚面積= 半徑×12觚周長/248觚面積= 半徑×24觚周長/2…… 圓面積=半徑×半周,,割圓,拼方,6觚周長之半,半徑,,,,,,6觚求12觚，AB=1股（OG） =?1-0.25

35、 =?0.75=0.8660254余徑（CG）=1-股 =1-0.8660254 = 0.1339746---小勾小弦冪（CB）=小勾方+小股方 =0.267949193445 開方即得12觚之一面（CB）,S96= 48觚之一面×1×24=3.13+ 0.00 584/625S192=96觚之一面×1×48=3.14+0.00 64/

36、625“差冪”= S192 -- S96 = 105/625 割圓不等式 S192 < S 圓 < S96 +2ד差冪”故取: S 圓～ S192?3.14 因此，周長= 2圓面積/半徑 =6.28 ，于是， 周：徑= 6.28: 2=157:50 最后，計(jì)算到3072邊形，得圓周率3.1416,祖沖之的圓周率,“宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法。以圓徑一億為

37、丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。又設(shè)開差冪，開差立，兼以正（圓）[負(fù)]參之，指要精密，算氏之最者。所著之書，名為《綴術(shù)》，學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理?！?-- 《隋書·律歷志》,劉徽論球,《九章》：,劉徽：然此意非也。何以驗(yàn)之？取立

38、方棊八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸，規(guī)之為圓囷，徑二寸，高二寸，又復(fù)橫圓之，則其形有似牟合方葢矣。八棊皆然似陽馬，圓然也。按合葢者，方率也。丸居其中，即圓率也。推此言之，謂夫圓囷為方率豈不闕哉？以周三徑一為圓率，則圓冪傷少；令圓囷為方率，則丸積傷多?；ハ嗤ㄑa(bǔ)，是以九與十六之率，偶與實(shí)相近，而丸猶傷多耳。觀立方之內(nèi)，合葢之外，雖衰殺有漸，而多少不掩，判合總結(jié)，方圓相纒，濃纎詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理，敢不闕疑，以俟能言者。,

39、,“互相通補(bǔ)，是以九與十六之率，偶與實(shí)相近，而丸猶傷多耳?！?,,“規(guī)之為圓囷，徑二寸高二寸，又復(fù)橫圓之，則其形有似牟合方葢矣”。,,,,,,,,“牟合方蓋”,,,,,,劉徽：牟合方蓋——正交的相貫圓柱：任一截面，方、圓相切。V球 ：V牟＝S圓 ：S方＝π：4,觀立方之內(nèi)，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結(jié)，方圓相纏，濃釬詭互，欲陋形措意，懼失正理，敢不闕疑，以俟能言者。,祖暅之開立圓術(shù)曰：以二乘積，開立方除之即立圓徑。其意

40、何也？取立方棊一枚，令立樞于左後之下隅，從規(guī)去其右上之亷，又合而橫規(guī)之，去其前上之亷。于是立方之棊，分而為四。規(guī)內(nèi)棊一，謂之內(nèi)棊。規(guī)外棊三，謂之外棊。更合四棊，復(fù)橫斷之。以句股言之，令餘高為句，內(nèi)棊斷上方為股，本方之?dāng)?shù)，其弦也。句股之法，以句冪減弦冪，則餘為股冪；若令餘高自乘，減本方之冪，餘即內(nèi)棊斷上方之冪也。本方之冪，即內(nèi)外四棊之?dāng)嗌蟽?。然則餘高自乘，即外三棊之弦上冪矣。不問高卑，勢皆然也。然固有所歸，同而途殊者耳。而乃控逺以演類，借

41、況以析微。按陽馬方高數(shù)參等者，倒而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪數(shù)亦等焉。夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異。由此觀之，規(guī)之外三棊旁蹙為一，即一陽馬也。三分立方，則陽馬居一，內(nèi)棊居二可知矣。合八小方成一大方，合八內(nèi)棊成一合葢。內(nèi)棊居小方三分之二，則合葢居立方亦三分之二，較然驗(yàn)矣。置三分之二以圓冪率三乘之，如方冪率四而一，約而定之，以為九率。故曰九居立方二分之一也。,,,,外三棋,內(nèi)棋,,,,外三棋斷上冪= 外方– 內(nèi)方 （綠色矩尺

42、形） （黃色） =OS平方—SP平方 =余高（OP）2 =倒立陽馬斷上冪,,,,,,B,所以: 外三棋體積 = 陽馬體積 因此, 牟合方蓋 = 立方—陽馬體積 =2/3 立方

43、 球體體積= 3/4 牟合方蓋 = 1/2 立方 或： =,,夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異。,,,,,,,,,=,祖暅公理：緣冪勢既同，則積不容異,Cavalieri’s principle,卡瓦列利，16世紀(jì)意大利教士，數(shù)學(xué)家,今日論壇,1 你認(rèn)為現(xiàn)實(shí)中“具有相反意義的量”能否導(dǎo)致負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)？2 如何評價(jià)劉徽開方術(shù)注的意義？（不以面命之，加定法如前，求其微