bezier&ampamp;bspline_曲線

1、1962年法國雷諾(Renault)汽車公司的貝塞爾(P.E.Bezier)構造的一種以逼近為基礎的用控制多邊形定義曲線和曲面的方法； Bezier曲線是由一組多邊折線（特征多邊形）的各頂點唯一定義出來。,Bezier曲線,,Bezier曲線的數(shù)學表達式,,Bernstein基函數(shù)的性質(zhì),,Bezier曲線的性質(zhì)－端點性質(zhì),,Bezier曲線的性質(zhì)－對稱性、凸包性、幾何不變性、變差縮減性,,Bezier曲線的矩陣表示—一次Bezi

2、er曲線,,Bezier曲線的矩陣表示—二次Bezier曲線,,,P,,Bezier曲線的矩陣表示—三次Bezier曲線,,Bezier曲線的矩陣表示—三次Bezier曲線,三次Bezier曲線的基函數(shù),,,t=0.4B1,3B2,3B0,3B3,3,,,,,,,,,,,,,,Bezier曲線的矩陣表示—三次Bezier曲線的Horner格式表示的生成算法,三次Bezier曲線的Horner算法程序,struct point{

3、 float x; float y; }void main(){ point p[10]; float t=0; int i,degree; char fn[20]; point coordinate[21]; printf(“ Input the number of degree\n”); scanf(“%d”,&degree); printf(“ Inpu

4、t data filename\n”); scanf(“%s”,fn); for(i=0;i<=degree;i++) fscanf(“%d,%d”,&p[i].x,&p[i].y); for(i=0;i<=20;i++) { t=i*0.05; coordinate[i]=hornbez(degree,p,t);}},,三次Bezier曲線

5、的Horner算法程序,point hornbez(int degree, point *coeff, float t){ int i, n_choose_i; float fact, tl; point aux; t1=1-t; fact=1.0; n_choose_i=1; aux.x=coeff[0].x*t1; aux.y=coeff[0].y*t1; aux.z=coeff

6、[0].z*t1; for(i=1;i<degree;i++){ fact=fact*t;n_choose_i=n_choose_i*(degree-i+1)/i; aux.x=aux.x+fact*n_choose_i*coeff[i].x)*t1;aux.y=aux.y+fact*n_choose_i*coeff[i].y)*t1;aux.z=aux.z+fact*n_choose_i*coeff[

7、i].z)*t1;} aux.x=aux.x+fact*t*coeff[degree].x; aux.y=aux.y+fact*t*coeff[degree].y;aux.z=aux.z+fact*t*coeff[degree].z; return aux; },,,Bezier曲線的拼接,兩條Bezier曲線連接有一定的條件，如右圖所示，p3與Q0重合，且兩條曲線在連接處二階導數(shù)連續(xù)。,,,,,,,,,,,,B

8、ezier曲線的生成,Bezier曲線的缺點1、特征多邊形的頂點個數(shù)n+1決定了Bezier曲線的階次，即只能生成n次曲線，不靈活。2、當n很大時，曲線的階次很高，多邊形對曲線的控制明顯減弱。3、 由于基函數(shù)在區(qū)間(0,1)上均不為0。因此Bezier曲線上任何一點都受到全部所有控制點的影響。改變?nèi)我豢刂泣c都會對整條曲線產(chǎn)生影響。因而對曲線做局部修改成為不可能。,1972年Gordon、Riesenfeld和Forrest等人拓

9、廣了Bezier曲線，用Ｂ樣條基函數(shù)代替Bernstein基函數(shù)，構造了B樣條曲線。B樣條曲線保留了Bezier曲線的優(yōu)點，克服了Bezier曲線的缺點。是一種分段連續(xù)曲線。,B樣條曲線,B樣條曲線定義：已知n+1個控制點，k次B樣條曲線為：,節(jié)點向量ti =i（0，1，2，…,n+K)均勻： ti+1 -ti =常數(shù)（=1）周期：,C0(u)= p(0)N03+p(1) N13 + p(2)N23 2 <=u<

10、=3,,,,,,,,C1(u)= p(1)N13+p(2) N23 + p(3)N33 3 <=u<=4,N03,N13,N23,N33,N43,均勻周期B樣條曲線,B樣條曲線分類,均勻周期B樣條曲線的數(shù)學表達式,第i個特征多邊形（Pi,Pi+1,…,Pi+n),B樣條曲線示例,一次B樣條曲線,基函數(shù)：n=1，k=0,1,一次B樣條曲線,曲線表達式（代數(shù)形式/矩陣形式）,二次B樣條曲線,基函數(shù)：n=2，k=0,1,2,二

11、次B樣條曲線,曲線表達式（代數(shù)形式/矩陣形式）,二次B樣條曲線,曲線性質(zhì),二次B樣條曲線,曲線性質(zhì),二次B樣條曲線,示例,,,,,,,,,,,,,,,,,,i=0 0 <=t<=1,,,,0,1,2,3,4,i=1 0<=t<=1,1,2,i=2 0 <=t<=1,2,3,二次均勻周期B樣條曲線,三次B樣條曲線,基函數(shù)：n=3，k=0,1,2,3,三次B樣條曲線,曲線表達式（代數(shù)形式/矩陣

12、形式）,三次B樣條曲線,曲線性質(zhì),三次B樣條曲線,曲線性質(zhì),三次B樣條曲線,,,三次B樣條曲線,示例,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B樣條曲線-特技處理,構造直線段(2次三點共線,3次四點共線)和多邊形相切(三點共線/二重節(jié)點)通過指定點(2次二重節(jié)點/3次三重節(jié)點)指定起點約束條件指定兩端點產(chǎn)生封閉曲線( 控制多邊形首尾相接 ),三次B樣條曲線-特技處理,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三次B樣條曲線-特