數(shù)學(xué)物理方法 第四章 留數(shù)定理

1、Laurent 展式中 項(xiàng)的系數(shù),稱作 f (z) 在孤立奇點(diǎn) z0 的留數(shù)(Residue) 。,,,1、 l 內(nèi)有 n 個孤立奇點(diǎn),n 個孤立奇點(diǎn),這里畫了其中4個,,,,,,,,,留數(shù)定理 設(shè)函數(shù) 在回路 l 所圍區(qū)域 B 上除有限個孤立奇點(diǎn) 外解析，在閉區(qū)域 上除 外

2、連續(xù)，則,留數(shù)定理將回路積分歸結(jié)為被積函數(shù)在回路所圍區(qū)域上各奇點(diǎn)的留數(shù)之和。 以上討論都限于有限遠(yuǎn)點(diǎn)，我們還可以將這種討論推廣到無限遠(yuǎn)點(diǎn),計(jì)算繞無窮遠(yuǎn)（路左）的正向積分,將f (z)在無窮遠(yuǎn)鄰域展開,即使無限遠(yuǎn)點(diǎn)不是奇點(diǎn)， 也可以不為零。,?,?,?,+,||,?,?,同一函數(shù)，同一環(huán)路? ?向的兩個積分和為0.,,計(jì)算留數(shù)的公式：一、一階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算：設(shè) z0

3、 是 f (z) 的一階極點(diǎn)， 因此特殊情形：,二、m (m?2)階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算：設(shè) z0 是 f (z) 的 m 階極點(diǎn),兩邊乘 , 得到：,,,函數(shù)極點(diǎn)價數(shù) m 的判據(jù),為了求 a-1, 對上式求 m-1 階導(dǎo)數(shù)：因此, 已知 m 后：,例1：求

4、 在 處的留數(shù)。解：,另解,m ?,例3：求 在其奇點(diǎn)的留數(shù)。解：單極點(diǎn) 2i, 三階極點(diǎn)0,例2：求 在其奇點(diǎn) 的留數(shù)。解：一價極點(diǎn) z=n?,例4：求積分解：,14,§4.2

5、 應(yīng)用留數(shù)理論計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分實(shí)變函數(shù)積分?復(fù)變函數(shù)的回路積分基本思想: 將在區(qū)間 l1=[a, b] 的實(shí)變函數(shù)積分與復(fù)平面上的回路積分聯(lián)系起來, 可以看做復(fù)變函數(shù)線積分的特例, 即是復(fù)變函數(shù)在實(shí)軸上的線積分。因此，可把上述實(shí)數(shù)積分與復(fù)變函數(shù)積分聯(lián)系起來。,方法：如果 補(bǔ)充線段 l2, 并且延拓函數(shù)到整個復(fù)平面，可構(gòu)成圍路積分：左邊積分和右邊第二個積分則可以利用復(fù)變函數(shù)理論求出, 然后再求出 I

6、。,,,x,y,o,,,,,a,b,l1,l2,l =l1 + l2,,,,,,b1,b3,b2,bm,bk,l,類型一：其中：（1） R(cosx, sin x) 是 sin x, cos x 的有理式；（2）積分區(qū)間是 [0, 2?]； (3) 在區(qū)間[0, 2?]內(nèi)，無奇點(diǎn)。,如果令 z =1· eix=cos x+i sin x, 則積分路徑變成單位圓的圍路積分。因?yàn)?dz = d(eix)=i eix

7、 dx= i z dx,,,y,,原積分變成,,x,o,,0 2? x,z平面,,,(1,0),,映射,例題 1 計(jì)算積分解：,例題 2 計(jì)算積分,dz = i z dx1/i=-i,z = eix,,被積函數(shù)有單極點(diǎn)由留數(shù)定理得,類型二： 其中：(1) 積分區(qū)間是 (-?, +? );

8、 (2) 復(fù)變函數(shù) f (z) 在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上 半平面除有限個奇點(diǎn)（b1, b2…bn) 外解析； (3) 當(dāng) z 在上半平面和實(shí)軸上??時，一致 的 | z f (z)|?0； 如果 f (x) 是有理分式 ， 則分母在實(shí)軸無零點(diǎn)，且分母的次數(shù)高于分子次數(shù)至少二次。,積分主值

9、概念：反常積分定義為當(dāng) R1=R2 時， 稱為 I 的積分主值一般，積分主值存在，不一定反常積分存在，反之，如果反常積分存在，積分主值一定存在！,計(jì)算積分主值 補(bǔ)充圍路如圖, 作線積分由留數(shù)定理：當(dāng) R??,左邊的第一個積分即是要求的，第二個積分可證明當(dāng) f (z)滿足條件（3）[z ? ?, | z f (z)| ? 0] 時為零。,,例題3 求積分解：,單極點(diǎn)

10、 只需考慮上半平面極點(diǎn)+i,例題4 求積分,28,-n-(n-2),,,-n-(n-1),,因此積分為例題5 求積分,類型三：,,其中:（1）積分區(qū)間 ； (2) 偶函數(shù) F(z) 和奇函數(shù) G(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個奇點(diǎn)（b1, b2…bn) 外解析； (3) 當(dāng) z 在上半平面和實(shí)軸上 ??時，一致地 F(z), G(z) ?0；,在第二

11、積分中，,同理,偶函數(shù) F(-y)=F(y),,32,奇函數(shù) -G(-y)=G(y) y? x,約當(dāng)引理 如m為正數(shù)， 是以原點(diǎn)為圓心而位于 上半平面得半圓周 ，又設(shè)當(dāng) z 在上半平面及實(shí)軸上??時，f (z)一致地?0, 則,,證：,z ??, F(z) ?0。 約當(dāng)引理要求,右第二項(xiàng)中,,如果 m < 0, 應(yīng)改為下半平面計(jì)算,,38,例題6：求積分,例題7：求積分,類型四：實(shí)軸上

12、有單極點(diǎn)的積分,,其中：(1) 函數(shù) f (z) 在實(shí)軸上有單極點(diǎn) a，上半平面除有限個奇點(diǎn)（b1, b2…bn) 外解析；(2) 當(dāng) z 在上半平面和實(shí)軸上??時，一致地 |z f (z)|?0；或滿足第三類型的條件。,先考慮只有一個單極點(diǎn)(m=1) 由于 的存在，作如圖圍路。在圍路內(nèi)如有有限個奇點(diǎn)，則,,當(dāng)R??時 第 3 部分積分為零。因此問題的關(guān)鍵是求實(shí)軸上單極點(diǎn)處的積分。,?,,,,,?,C?,

13、?,x,事實(shí)上,注意：如果是二階以上的極點(diǎn)，第一項(xiàng)當(dāng)??0時，發(fā)散！,,44,媽媽開了個淘寶店，歡迎前來捧場 媽媽的淘寶點(diǎn)開了快半年了，主要賣的是毛絨玩具、坐墊、抱枕之類的，感覺媽媽還是很用心的，花了不少功夫，所以我也來出自己的一份力，幫忙宣傳一下。 并且媽媽總是去五亭龍?zhí)糇詈玫耐婢哒怼l(fā)貨，質(zhì)量絕對有保證。 另外我家就在揚(yáng)州五亭龍玩具城旁邊，貨源豐富，質(zhì)量可靠，價格便宜。

14、 歡迎大家來逛逛【揚(yáng)州五亭龍玩具總動員】 99toy.taobao.com,個人小廣告：,因此原積分為如果實(shí)軸上有多個單極點(diǎn)。,注意：實(shí)軸上的奇點(diǎn)只能是單極點(diǎn)，不能是二階或二階以上極點(diǎn)，更不能是本性奇點(diǎn)。否則，積分??（極點(diǎn)情形）或不存在（本性奇點(diǎn)情形）。,例題8：求積分 解：利用函數(shù)的奇偶性，原積分可化成 被積函數(shù)僅僅在實(shí)軸上

15、 有單極點(diǎn) z=0, 因此據(jù),由此還可以推論， 對于正的m, 對于負(fù)的m,,*§4.3 計(jì)算定積分的補(bǔ)充例題,例1,49,,,,,,,,,,,,x,y,C?,CR,,,l2,l1,=0,=0,50,51,,52,,,,,,,,,,,x,y,C?,CR,,,K2,K1,,,,+1,,半徑?,,例2,“-”的由來同上一例題,53,54,,55

16、,例3,56,,a+i2?,,,x,y,,,i?,i3?,-a+i2?,-a,a,,,,,,l1,l2,l3,l4,57,58,59,例4 計(jì)算菲涅耳積分,,,x,y,o,,,,l,R,CR,,?/4,60,,,61,62,本章基本要求： 1. 了解留數(shù)的意義。 2．熟練掌握求留數(shù)的方法。 3．熟練掌握利用留數(shù)定理計(jì)算 實(shí)變函數(shù)定積分的方法。,作業(yè)§4.1. 1(1)(5)(6)