數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想

1、第三節(jié) 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美,第四節(jié) 數(shù)學(xué)美在中國的源頭,一、美觀---外在的美,二、美好---內(nèi)在的美,三、美妙---快樂的美,四、完美--- 至善至美,一、太極八卦---中國象數(shù)學(xué)的美,二、河圖洛書—數(shù)學(xué)形式美的雛形,第一節(jié) 數(shù)學(xué)美的涵義,一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美,古希臘的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯(Proelus)斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”,古希臘著名學(xué)者畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)對數(shù)學(xué)有很深的造詣，其中畢氏定理(勾股定理)就

2、是他的杰作, 他認(rèn)為“萬物最基本的元素是數(shù)，數(shù)的和諧---這就是美。”,返回,龐加萊：“數(shù)學(xué)家們十分重視他們的方法和理論是否十分優(yōu)美，這并非華而不實(shí)的作風(fēng)，那么到底是什么使我們感到一個(gè)解答、一個(gè)證明優(yōu)美呢？那就是各個(gè)部分之間的和諧、對稱、恰到好處的平穩(wěn)?！?克萊因：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類靈魂最獨(dú)特的創(chuàng)造。音樂能激發(fā)或撓慰情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切

3、?！?高 斯：“去尋求一種最美和最簡潔的證明，乃是吸引我研究的主要?jiǎng)恿??！?返回,數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性和理性的顯現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。它是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心。,二、數(shù)學(xué)美的涵義,返回,第二節(jié) 數(shù)學(xué)美的特征,一、 簡單美,簡單是指數(shù)學(xué)語言、符號、方法、邏輯結(jié)構(gòu)和理論體系的簡單。,1. 符號簡單符號是書寫數(shù)學(xué)語言的文字，大數(shù)學(xué)家克萊因說：“符號常常比發(fā)明它們的數(shù)學(xué)家更能推理”, 人們

4、總是探索用簡單的符號去表現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)內(nèi)容。,例如，微積分學(xué)中的常用符號：,返回,又如，哈密頓微分算子符號,向量場函數(shù)v = v1i + v2j + v3k, (vi是x,y,z的函數(shù)) ▽v = ( )(v1i + v2j + v3k),返回,數(shù)量場函數(shù)u(x,y,z)時(shí)，產(chǎn)生梯度,拉普拉斯方程:,若用哈密頓算子表示，也十分漂亮、利落:

5、 ▽u·▽u = 0,返回,在線性方程組,表示為 AX = B,返回,在埃及出土的三千六百年前的萊因特紙草上有下面一串符號,用今天的符號表示即：,宋、元時(shí)期我國也開始了相當(dāng)于現(xiàn)在“方程論” 的研究，當(dāng)時(shí)記數(shù)使用的是“算籌”，的記號來表示二次三項(xiàng)式 412x2－x +136其中x系數(shù)旁邊注以“元”字，常數(shù)項(xiàng)注以“太”字，籌上畫斜線表示

6、“負(fù)數(shù)”。,返回,16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家卡當(dāng)、韋達(dá)等人對方程符號有了改進(jìn)，直到笛卡爾才第一個(gè)倡用x, y, z表示未知數(shù)。 他曾用 xxx－9xx +26－24∝0表示方程 x3－9x2 +26－24 = 0 這個(gè)演變過程就是對簡單美的追求過程。,返回,如果要具體寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能，然而用數(shù)學(xué)符號卻能精確地表示它們。,有些數(shù)及其運(yùn)算只有用符號表示，才能更精確、更完

7、美。 例如，圓周率是一個(gè)常數(shù)，1737年歐拉首先倡導(dǎo)用希臘字母π來表示它，且通用全世界； 也是歐拉用e表示特殊的無理常數(shù)─歐拉常數(shù),返回,2. 形式簡單,藝術(shù)家們追求的美中，形式美是其中特別重要的內(nèi)容，他們在渲染美時(shí)，常常運(yùn)用不同形式，如泰山的雄偉，華山的險(xiǎn)峻，黃山的奇特，峨眉的秀麗，青海的幽深，滇池的開闊等。,數(shù)學(xué)家們也十分注重?cái)?shù)學(xué)的形式美，美國數(shù)學(xué)家柏克提出了一個(gè)公式

8、 審美度=即人們對數(shù)學(xué)的審美感受程度，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的秩序成正比，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的復(fù)雜性成反比。 因此，按審美度要求，數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式越簡單就越美。,返回,格林公式,斯托克斯公式,返回,空間解析幾何中,橢 球,橢圓拋物面,它們不僅便于記憶，而且具有形式美。,返回,3. 語言簡單,數(shù)學(xué)的簡單美表現(xiàn)在語言上使人回味無窮。,如 “負(fù)負(fù)得正”；“對頂角相等”；“實(shí)數(shù)集不可數(shù)”； “角、邊、角”；“邊、角

9、、邊” 等 。,數(shù)列極限,函數(shù)極限,導(dǎo)數(shù)概念,返回,4. 方法簡單,數(shù)學(xué)中的許多簡單有效的判定定理，形式優(yōu)美的表達(dá)方式，并不是原本固有的，而是經(jīng)過人們長期比較、篩選的結(jié)果。,例如，對于正項(xiàng)級數(shù)的收斂性判別，達(dá)朗貝爾判別法(比值法)與柯西判別法(根式法)都是十分簡單有效的判別法, 然而它們都有一個(gè)共同的不足 ，就是不能判別當(dāng)極限值時(shí)級數(shù)的斂散性，于是人們不斷地給出了許多其他形式的判別法。,比達(dá)朗貝爾判別法更精細(xì)的是拉貝(L

10、aber)判別法,返回,返回,,凡是用達(dá)氏法能判別的級數(shù)斂散性，用拉貝法也能判別，因此，拉貝法比達(dá)氏法更精細(xì)。,返回,比拉貝判別法更精細(xì)的是庫麥爾(Kummer)判別法,,其中{Cn}適合條件: 級數(shù) 發(fā)散。,設(shè),則當(dāng)k>0時(shí), 級數(shù) 收斂; 當(dāng)k<0時(shí)，級數(shù) 發(fā)散。,返回,拉格朗日型余項(xiàng)簡單整齊，易于記憶，使用方便。從審美度而言拉格朗日型余項(xiàng)是最美的，因此受到人們的青睞。,然而，人們在應(yīng)用

11、泰勒公式時(shí)，最習(xí)慣使用的還是拉格朗日型余項(xiàng),其中 在x與x0 之間。,返回,又如，泰勒公式的余項(xiàng)，局部性的有皮亞諾(Peano)余項(xiàng)，整體性的有施諾米爾奇(Schlomilch)─羅赫(Roche)余項(xiàng)，柯西余項(xiàng)和拉格朗日余項(xiàng)等。 在整體性余項(xiàng)中，后兩種余項(xiàng)僅是前一種余項(xiàng)的特例。因而，從整體性考慮，前一種余項(xiàng)更完美。,二、 對稱美,對稱是指圖形或數(shù)式的對稱，概念、命題、法則或結(jié)構(gòu)的對偶、對應(yīng)、對逆等。,1. 形式

12、對稱,解析幾何中的標(biāo)準(zhǔn)圖形,返回,代數(shù)中的二項(xiàng)式定理：,對稱行列式:,對稱矩陣 ：,返回,微積分中空間曲線L：x = x(t), y = y(t), z = z(t) 的切線方程,空間曲面S ：F(x, y, z) = 0的法線方程,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,返回,2. 關(guān)系對稱,運(yùn)算的對稱：加與減、乘與除、乘方與開方、指數(shù)與對數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等；,概念的對稱：函數(shù)與反函數(shù)、奇與偶、單增與單減、連續(xù)與間斷、收級與發(fā)散等；,命題的對

13、稱：,嚴(yán)格單減。,返回,“共軛”關(guān)系對稱性：,共軛無理數(shù),共軛矩陣,共軛積分,返回,“對偶”關(guān)系對稱性：,集合中的對偶關(guān)系,線性規(guī)劃中的對偶關(guān)系,返回,由對偶定理知，若線性規(guī)劃問題(*)有最優(yōu)解，則其對偶規(guī)劃問題(**)也有最優(yōu)解, 且兩問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等。反之也成立。,返回,返回,3. 對稱美方法的運(yùn)用,對稱美方法是數(shù)學(xué)中的銳利武器, 數(shù)學(xué)家們利用它揭示和發(fā)現(xiàn)了很多數(shù)學(xué)中的奧秘，其中最典型的有麥克斯韋方程、笛沙格定理和伽羅瓦群等

14、，它被著名數(shù)學(xué)家狄拉克(Dirac)稱為“自然科學(xué)時(shí)代新方法的精華”。 下面僅以求積分為例，來說明它的妙用。,(1) 利用積分區(qū)間的對稱性,利用積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，簡化定積分的計(jì)算，是積分運(yùn)算中最常用的一種方法。,若積分區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對稱，或積分區(qū)間雖然關(guān)于原點(diǎn)對稱，但被積函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，有時(shí)通過適當(dāng)?shù)膿Q元或拆項(xiàng)等方法也可轉(zhuǎn)化為對稱區(qū)間上的積分問題。,返回,例1 求

15、 ( n為自然數(shù))。,令, 則可將積分化為對稱區(qū)間。,返回,(2) 利用函數(shù)圖象的對稱性,借助積分中函數(shù)圖象的對稱性，獲得簡捷的解題途徑，這是對稱美方法的又一妙用。,例2 設(shè)C為對稱于坐標(biāo)軸的平面光滑閉曲線，證明,易知積分與路徑無關(guān)。 設(shè)D為曲線C圍成的平面閉區(qū)域, 則由格林公式,返回,因?yàn)榉e分域D關(guān)于x軸對稱，又y3 是奇函數(shù)，,(3) 利用輪換對稱性,根據(jù)研究問題中解析式

16、結(jié)構(gòu)的對稱性，由一個(gè)結(jié)論迅速地得出相似結(jié)論，這不僅能縮減冗長繁瑣的計(jì)算或證明過程，而且給人以對稱美的享受。,例3 計(jì)算,橢球的外表面。,返回,作廣義極坐標(biāo)變換 , 則,返回,用輪換對稱法，即得,于是,返回,(4) 挖掘潛在的對稱關(guān)系,有的問題從表面上看，似乎與對稱無關(guān)。 但如果仔細(xì)分析，尋找潛在的對稱關(guān)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為對稱問題，就能很快找到突破口,

17、 使問題迎刃而解。,例4 計(jì)算,若直接 令, 則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。,因?yàn)?f(x) = 在[0, ]上的原函數(shù)不是初等函數(shù)，,所以不能用一般定積分的方法來計(jì)算。,返回,于是尋找有無對稱點(diǎn), 容易發(fā)現(xiàn),即在區(qū)間[0, ]上橫坐標(biāo)關(guān)于 的任意兩個(gè)對稱點(diǎn)x與 相應(yīng)的函數(shù)值關(guān)于 也對稱，,故,返回,(5) 構(gòu)造對稱關(guān)系,有些數(shù)學(xué)問題，

18、原來并不具有對稱性，在解題過程中，如果善于根據(jù)問題的特點(diǎn)，構(gòu)造出某種對稱關(guān)系，便能使問題很快得到解決。,積分區(qū)域不具有對稱性，作曲線, 將D分成D1, D2兩部分,,返回,于是D1與D2 分別關(guān)于y軸和x軸對稱。,又因?yàn)槭莤或y的奇函數(shù), 所以,=0,從上述解題過程中都放射出對稱美思想的光芒，正如德國數(shù)學(xué)家外爾(Weyl)所說：“美和對稱緊密相關(guān)”。,返回,三、和諧美,數(shù)學(xué)中的和諧美是指數(shù)學(xué)

19、內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、部分與整體之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系或共同規(guī)律，從而形成本質(zhì)上的嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一。,和諧指事物之間具有勻稱、有序、明確的變化規(guī)律。,1. 嚴(yán)謹(jǐn)是和諧的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)自然顯現(xiàn)出它的和諧。為了追求嚴(yán)謹(jǐn)，消除數(shù)學(xué)中的不和諧因素，數(shù)學(xué)家們一直在努力。,數(shù)學(xué)史上所謂的“數(shù)學(xué)危機(jī)”正是某些數(shù)學(xué)理論不和諧所致。,返回,第一次危機(jī)---無理數(shù)的誕生。,第二次危機(jī)------實(shí)數(shù)理論得以建立, 導(dǎo)致集合論的誕生。,第三次數(shù)學(xué)危機(jī)--

20、----“羅素悖論”和其它悖論的產(chǎn)生，為了避免悖論，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一種公理系統(tǒng)，后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel)在1921年加以改進(jìn)，形成了目前公認(rèn)的彼此無矛盾的公理系統(tǒng)，簡稱ZF公理系統(tǒng)。,函數(shù)的連續(xù)性，是當(dāng)今數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要基本概念，然而它的現(xiàn)代定義的形成，也經(jīng)歷了一個(gè)從不和諧到和諧的漫長過程。,18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為，由一個(gè)單獨(dú)表達(dá)式給出的函數(shù)是連續(xù)的，而由幾個(gè)表達(dá)式給出的函數(shù)是不連續(xù)的。例如, 歐拉

21、函數(shù),返回,是不連續(xù)的，而由兩個(gè)分支組成的雙曲線(反比例函數(shù))，因?yàn)樗怯梢粋€(gè)表達(dá)式 給出的，就認(rèn)為它是連續(xù)的。,19世紀(jì)，傅立葉證明：定義在某個(gè)區(qū)間上的任意函數(shù)可表示成該區(qū)間上的正弦與余弦的無窮級數(shù)。 比如，,返回,可表示為,這樣一來，上述函數(shù)依照歐拉的見解既不是連續(xù)的，同時(shí)又是連續(xù)的。,1821年，柯西對“連續(xù)”概念重新敘述，直至1850年魏爾斯特拉斯給出“”形式的定義，才使得“連續(xù)”這一概念有了新的解釋

22、。,2. 統(tǒng)一是和諧的標(biāo)志,統(tǒng)一是指數(shù)學(xué)中內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、章節(jié)與章節(jié)之間客觀存在的相互聯(lián)系。,返回,解析幾何中, 引入極坐標(biāo)之后，橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式,平面上的二次曲線方程,由于系數(shù)A, B, C, …, F不同，其形態(tài)萬千，但是歐拉通過坐標(biāo)變換，將它們化為下面九種標(biāo)準(zhǔn)形狀:,返回,(雙曲線),(兩虛直線相交),(虛橢圓),(橢圓),返回,(兩重合直線),(兩平行虛直線),(兩平行直線),(拋物線),(兩相交直

23、線),返回,在積分學(xué)中，不定積分與定積分是兩個(gè)切然不同的概念，但在微積分基本公式,之中得到和諧統(tǒng)一, 從而極大地推動(dòng)了微積分的應(yīng)用與發(fā)展。,定積分、重積分、曲線積分和曲面積分，它們表述的實(shí)際意義各不相同，但卻都統(tǒng)一于黎曼積分之中。,各類積分之間都有著內(nèi)在聯(lián)系 ：,返回,返回,四、奇異美,奇異指數(shù)學(xué)中的方法、結(jié)論或有關(guān)發(fā)展出乎意料，使人既驚奇又贊賞與折服。,徐利治先生說：“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美。”,在數(shù)學(xué)史上曾吸引人們廣泛關(guān)

24、注的有“蝴蝶定理”。,1815年，數(shù)學(xué)家奧納首先解決了這個(gè)問題的證明。但由于它優(yōu)美的外形及包含的深刻內(nèi)涵，引起了人們廣泛的興趣，100多年來研究者眾多，給出了不少初等與高等的證明，其中被公認(rèn)為最奇妙的證明是1973年由斯特溫等人給出的。,返回,證明：由圖所示，圓內(nèi)共有四對相等的角 。,設(shè) PM = x , MQ = y, AM = MB = a, 則有,化簡得,返回,由相交弦定理知,故有,因x, y都大于0, 上式

25、僅在x = y, 即PM = MQ時(shí)成立。,上述證明中沒有添加任何輔助線，證明過程簡明、勻稱，好優(yōu)美漂亮！,返回,高等數(shù)學(xué)中這種“離經(jīng)叛道”的奇異現(xiàn)象，隨處可見。,比如，人們長期以為，周期函數(shù)一定存在最小正周期, 然而狄利克雷函數(shù),是周期函數(shù)，但不存在最小正周期。,實(shí)數(shù)軸上的有理點(diǎn)與無理點(diǎn)都是處處稠密的，然而無理點(diǎn)卻比有理點(diǎn)多得多。,洛比達(dá)(L’Hospital)法則是求未定式極限的銳利武器, 但它對極限,返回,卻無能為力。,在不定積

26、分中，有些看上去非常簡單的函數(shù)，卻“積”不出來：,在歐拉公式,代入 , 得,真叫人拍案叫絕, 人們把這5個(gè)常數(shù)戲稱為數(shù)學(xué)中的“五朵金花”。,返回,對于n!, 人們長期認(rèn)為除了表示1, 2, 3 , …, n這n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積外，再?zèng)]有別的意義。但在微積分中根據(jù)嘎瑪函數(shù)Г( )的遞推性質(zhì), 可以得到n! 的分析表達(dá)式,這確實(shí)令人震驚而又感到數(shù)學(xué)魅力無窮。,第二型曲面積分是在雙側(cè)曲面上進(jìn)行的。

27、 那么，單側(cè)曲面又是什么樣子呢？,如果把一條長的矩形紙帶扭轉(zhuǎn)180o 后，再把兩端粘起來，這就成了僅有一個(gè)側(cè)面的曲面, 它通常叫做莫比烏斯帶，它是德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的。,返回,莫比烏斯帶有許多有趣的性質(zhì)，比如用不同方式去剪開它，可有不同的結(jié)果：,如果沿著紙帶中線剪開，它仍是一條莫比烏斯帶, 只是長度增加了一倍；,若沿紙帶寬 處剪開，它卻成了一個(gè) 扭了兩圈的長莫比烏斯帶套上一個(gè)小莫比烏斯帶。,兩位美國學(xué)者在研究

28、莫比烏斯帶制作時(shí)提出過一個(gè)問題：在保證不摺折紙條的前提下，能做成功莫比烏斯帶的紙條的最短長度是多少？,問題看上去似乎很簡單，然而回答起來卻是如此困難。兩位美國人的估計(jì)是：若紙條寬是1, 則能做成莫比烏斯帶的最小長度在 之間。,返回,從圖看出，只要 , 做成功是沒有問題的。,但它并不是的最小估計(jì), 這個(gè)最小估計(jì)至今仍然是一個(gè)未解之“謎”。,有趣的是，這個(gè)在數(shù)學(xué)史上完全由數(shù)學(xué)家構(gòu)想出來的東西，竟進(jìn)入了

29、有機(jī)化學(xué)領(lǐng)域。美國科羅拉多大學(xué)化學(xué)系的沃爾巴、理查茲和霍爾提萬格，在實(shí)驗(yàn)室第一次合成了形狀和莫比烏斯帶一樣的莫比烏斯分子, 他們制造莫比烏斯分子的方法同制作莫比烏斯帶的方法極其相似。,返回,數(shù)學(xué)中的奇異現(xiàn)象還有另一種涵義，當(dāng)人們沒有認(rèn)清它而做出錯(cuò)誤的判斷、結(jié)論或給出不盡完美的方法時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)一些“反例”。,后來又有人發(fā)現(xiàn)，存在著黎曼可積而又具有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)。,連續(xù)函數(shù)是微積分學(xué)的主要研究對象, 起初，數(shù)學(xué)家們以為“連續(xù)函數(shù)至少在

30、某點(diǎn)處可微”, 然而魏爾斯特拉斯卻找到了一個(gè)“處處連續(xù)但處處不可微”的例子。,返回,第三節(jié) 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美,如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠感受和欣賞數(shù)學(xué)美，張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的美學(xué)教育有以下4個(gè)層次：,美觀、美好、美妙、完美。,返回,一、美觀---外在的美,這主要是數(shù)學(xué)對象以形式上的對稱、和諧、簡潔，給人的感官帶來美麗、漂亮的感受。,幾何學(xué)常常帶給人們直觀的美學(xué)形象,,,返回,2000年，在東京召開的

31、國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，日本教師一堂公開課的題目:,在一塊矩形場地上筑一花壇，使其面積為場地的一半，要求設(shè)計(jì)美觀。,美國教師要求學(xué)生用二次曲線畫“米老鼠”或其它畫作，發(fā)揮學(xué)生用幾何曲線(寫出方程)進(jìn)行美術(shù)創(chuàng)作的想象力。,上海進(jìn)才中學(xué)教研組，他們在進(jìn)行立體幾何教學(xué)時(shí)，要求學(xué)生以“柱體”、“臺體”、“錐體”、“球體”、“圓柱”、“圓錐”等3維幾何圖形，制作一座運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)杯，并要求學(xué)生寫出每個(gè)部件的方程式。,返回,二、美好---內(nèi)在的美,數(shù)學(xué)上的

32、許多東西，只有認(rèn)識到它的正確性，才能感覺其“美好”。,“美觀”的數(shù)學(xué)對象, 也必須進(jìn)到“美好”的層次。,“圓”從結(jié)構(gòu)上看是極其美觀的。從性質(zhì)上看它也十分美好。任何圓的周長與直徑之比總是一個(gè)常數(shù)π。π既非有理數(shù)又非代數(shù)數(shù)，是超越數(shù)。這種內(nèi)在的數(shù)學(xué)價(jià)值，展現(xiàn)了“圓”的魅力，引無數(shù)英雄盡折腰。從祖沖之的計(jì)算到今天用計(jì)算機(jī)算到60億位小數(shù)，對它的研究尚未完結(jié)。,返回,不美觀的數(shù)學(xué)對象是很多的。一個(gè)突出的例子是一元二次方程的求根公式：,這一公式無

33、論從哪方面看都不對稱、不和諧、不美觀。,但是，當(dāng)我們了解它、運(yùn)用它，就會(huì)感到它的價(jià)值，它的“內(nèi)秀”。這一公式會(huì)告訴我們許多信息：“士”表示它有2個(gè)根；“a≠0, △=b2一4ac”會(huì)顯示根的數(shù)目及方程的性質(zhì)……, 所以，當(dāng)你和它熟悉了，就會(huì)覺得它形式上雖難看，本質(zhì)卻是美好的。正如《巴黎圣母院》中的卡西摩多，外表丑陋而內(nèi)心美好。,返回,三、美妙---快樂的美,教師要給學(xué)生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)真理的快樂。,美妙的感覺需要

34、培養(yǎng),例如，三角形的3條高、3條中線、3條內(nèi)角平分線都交于一點(diǎn), 這是很美麗、十分美好，同時(shí)令人驚奇的結(jié)論。發(fā)現(xiàn)它會(huì)使人覺得數(shù)學(xué)妙不可言，特別是幾何學(xué)妙極了。那么在教學(xué)時(shí)，先不告訴學(xué)生結(jié)果, 讓學(xué)生自己親手作圖，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些一下子看不出來的“真理”?？梢韵胍?，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)真理該會(huì)是何等的驚喜。一旦體會(huì)到數(shù)學(xué)的“美妙”, 對數(shù)學(xué)產(chǎn)生由衷的興趣，也就是順理成章的事了。,返回,每個(gè)喜歡數(shù)字的人，都曾感受到那樣的時(shí)刻：,一條輔助線

35、使無從著手的幾何題豁然開朗，,一個(gè)技巧使百思不得其解的不等式證明得以通過，,一個(gè)特定的“關(guān)系一映射一反演”方法使原不相干的問題得以解決, 這時(shí)的快樂與興奮真是難以形容，也許只有用一個(gè)“妙”字加以概括。,這種美妙的意境，會(huì)使人感到天地造化數(shù)學(xué)之巧妙, 數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)字之深邃，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快。達(dá)到這一步，學(xué)生才算真正感受到數(shù)學(xué)美的真諦，被數(shù)學(xué)所吸引，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)。,返回,四、完美 -----至善至美,數(shù)學(xué)總是盡力做到至善至美、完美無

36、缺, 這也許是數(shù)學(xué)的最高“品質(zhì)”和最高的精神“境界”。,數(shù)學(xué)家通過300余年的努力來證明費(fèi)馬定理，陳景潤對歌德巴赫猜想的苦苦追求, 都是追求數(shù)學(xué)“完美”的典型事例。,二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，既有圓錐曲線的優(yōu)美，又有數(shù)形結(jié)合的風(fēng)采; 既有啟迪二次型的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)，更有描摹天體運(yùn)動(dòng)的功能, 確實(shí)是一件完美的科學(xué)杰作。,返回,數(shù)學(xué)的美學(xué)風(fēng)格，和藝術(shù)風(fēng)格是一脈相承的。徐利治先生早就把數(shù)學(xué)概念和詩的意境相結(jié)合, 如借“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”來描述極限，更是一種高

37、品位的美學(xué)欣賞。愛舍兒的數(shù)學(xué)畫，顯示出濃厚的哲學(xué)意味，而奇異的數(shù)學(xué)分形藝術(shù)則是20世紀(jì)計(jì)算機(jī)技術(shù)的產(chǎn)物。,欣賞數(shù)學(xué)藝術(shù)，如何在課堂教學(xué)中發(fā)掘數(shù)學(xué)的藝術(shù)魅力，在我國還沒有得到應(yīng)有重視，特別是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中某種過度形式化的趨向，往往掩蓋了數(shù)學(xué)的美麗色彩，遮蔽了數(shù)學(xué)文化光芒，以至喪失了數(shù)學(xué)教學(xué)的美育功能。,把數(shù)學(xué)美的展示真正落實(shí)到課堂上，還有許多工作要做。,返回,第四節(jié) 數(shù)學(xué)美在中國的源頭,數(shù)學(xué)作為一門有組織的、獨(dú)立的、理性的學(xué)科來說，形成于

38、公元前6世紀(jì)至公元前3世紀(jì)的古希臘時(shí)代。,早期的一些古代文明國家，如中國、埃及、印度和巴比倫等，數(shù)學(xué)已有了開端和萌芽, 我們稱公元前6世紀(jì)以前的這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)為早期數(shù)學(xué)，而人類在早期數(shù)學(xué)中，就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一種朦朧而神秘的數(shù)學(xué)美了，這是為考古學(xué)家和數(shù)學(xué)史家的大量發(fā)現(xiàn)和研究成果所證明了的。,人類關(guān)于數(shù)學(xué)美的觀念，對于數(shù)學(xué)美的感受、追求、探索以及研究也早在遙遠(yuǎn)的古代就開始了, 這里介紹數(shù)學(xué)美在中國的源頭。,返回,一、太極八卦---中國象數(shù)學(xué)的美,

39、中國，在古代對于數(shù)學(xué)美的感受與體驗(yàn)，一直可追溯到公元前11世紀(jì)的殷末周初時(shí)期。,傳說“天神”伏羲氏所創(chuàng)造的太極八卦圖，說明我國古代先人對于圓形所呈現(xiàn)的美有著自己獨(dú)特的認(rèn)識。,古希臘的畢達(dá)哥拉斯之所以認(rèn)為“一切平面圖形中最美的是圓形”，其主要原因是由于圓有著無數(shù)條對稱軸， 顯示出一種絕對的對稱與和諧。,返回,中國的太極圖表示出了陰與陽的運(yùn)動(dòng)性質(zhì), 黑色的陰和白色的陽也呈現(xiàn)出一種對稱。,但這種對稱不是以平直單調(diào)的直徑作為對稱軸，而是以一條S

40、形曲線將大圓均分成兩半。,這一奇妙的分割產(chǎn)生許多意想不到的美的效果：它使得這個(gè)陰與陽之間的對稱不是靜止的，而是若即若離、似合非合，彼此滲透、相互補(bǔ)充。,暗示著無休止的強(qiáng)有力的運(yùn)動(dòng)，并可通過這個(gè)具有動(dòng)態(tài)美的幾何圖形對事物進(jìn)行抽象，給出宇宙萬物對立統(tǒng)一運(yùn)動(dòng)的形象模式，告訴我們宇宙美的一種簡單美妙的組合方式，但又沒有具體指出它們的確切涵義，只道出了一個(gè)“互補(bǔ)性之謎”。其內(nèi)含寓意的深刻，令人贊嘆不已。,返回,“周易”經(jīng)史學(xué)家考證，大約出于公元前

41、11世紀(jì)左右，這是一部具有很強(qiáng)的科學(xué)現(xiàn)實(shí)性和實(shí)用性的古典，是世界公認(rèn)的第一部討論排列組合的著作，可以說是中國象數(shù)學(xué)的起源。,從數(shù)學(xué)角度看，八卦是世界上最早的二進(jìn)制碼，“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”,其中“極、儀、象、卦”和十進(jìn)制中的“個(gè)、十、百、千”一樣可以看作進(jìn)位制的“權(quán)”。,返回,八卦僅用兩種基本符號： 陽爻“—”和陰爻“一一”，這與現(xiàn)代二進(jìn)制數(shù)用“l(fā)”和“0’’兩個(gè)符號來記數(shù)完全一致。,“陽爻”與“陰爻”合稱“

42、兩儀”，如果取兩個(gè)為一卦，則這兩個(gè)符號的排列組合僅有四種，稱為“四象”：太陽、少陰、少陽、太陰。,如果取三個(gè)為一卦，則這兩個(gè)符號的排列組合共有八種，稱為“八卦”：乾、坤、震、艮、離、坎、兌、巽。其中乾、震、艮、坎因是奇數(shù)劃而屬陽，坤、離、兌、巽因是偶數(shù)劃而屬陰。它們分別對應(yīng)自然界中主要的八種事物：天、地、雷、山、火、水、澤和風(fēng)。,返回,二、河圖洛書—數(shù)學(xué)形式美的雛形,《周易》上曾提出一種包含數(shù)學(xué)知識來源于神的說法，原文是“河出圖，洛出書

43、，圣人則之。”其大意是：在伏羲氏時(shí)代，從黃河里跳出一匹龍馬，背著一幅圖，這幅圖隱含了很多天機(jī)，被稱為“河圖”，如圖(a)。在大禹治水時(shí)，洛水出現(xiàn)一只大烏龜，也背著一本包含治理國家的書，被稱為“洛書”，如圖(b)。這圖和書是圣人一切知識的源泉。,返回,我們撇開神話的色彩，其實(shí)河圖是由1到10的十個(gè)自然數(shù)的環(huán)形排列圖，是把l、3、5、7、9五個(gè)奇數(shù)和2、4、6、8、10五個(gè)偶數(shù)按照水(北)、火(南)、木(東)、金(西)、土(中)五行方位排列

44、而成的數(shù)字圈。其構(gòu)圖本身就呈現(xiàn)出一種整齊美。,“洛書”對數(shù)的結(jié)構(gòu)作了巧妙的再安排，僅用1到9這九個(gè)自然數(shù)排列成一個(gè)正方形，構(gòu)成每一行、每一列以及兩條對角線上3個(gè)數(shù)的和都是15。顯然，“洛書”是“河圖”的精簡與升華，由“河圖”到“洛書”標(biāo)志著中華民族古代數(shù)學(xué)文化的飛躍和成熟，是中國的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)美之源。,“洛書”中顯現(xiàn)出一種數(shù)學(xué)形式美的雛形，九個(gè)數(shù)字之間奇偶相異，給人以整齊劃一、均衡對稱之感。,返回,精品課件！,精品課件！,西方古代數(shù)學(xué)家將