lti系統(tǒng)的頻域分析

1、4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,系統(tǒng)的激勵與響應在頻域中的關(guān)系,,頻域系統(tǒng)函數(shù)（頻率響應）,時域：,頻域（傅里葉變換）：,傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。,對周期信號：,對非周期信號：,其基本信號為,說明： 頻域分析中，信號的定義域為(–∞，∞)，而t = – ∞總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應指零狀態(tài)響應，常寫為y(t)。,一、基本信號 作用于LTI系統(tǒng)的響應,設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應為

2、h(t)，當激勵是角頻率ω的基本信號 時，其響應,而上式積分 正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j ?)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)。,反映了響應y(t)的幅度和相位。,二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應,,H(j ?) ej ?t,,F(j ?)H(j ?) ej ?t d ?,齊次性,,可加性,‖,f(t),‖,,頻率響應H(j?)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的傅里葉變換Y(j?)與激勵f(t)的傅里葉

3、變換F(j?)之比，即,頻域分析法步驟：,傅里葉變換法,----幅頻特性（或幅頻響應）,關(guān)于?的偶函數(shù) ----相頻特性（或相頻響應）,關(guān)于?的奇函數(shù),對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。,周期信號,若,則可推導出,例：某LTI系統(tǒng)的?H(j?)?和θ(?)如圖，若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應。,y(t) = F-1[Y(j?) ]= 2 + 2sin(5t),解法一：

4、用傅里葉變換,解法二：用三角傅里葉級數(shù),f(t)的基波角頻率Ω=5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(Ωt) + 4cos(2Ωt),H(0) =1， H(jΩ) = 0.5e-j0.5π， H(j2Ω) = 0,y(t) = 2 + 4×0.5cos(Ωt – 0.5π) = 2 + 2sin(5t),三、頻率響應H(j?)的求法,1.,2.,由微分方程求，對微分方程兩 邊取傅里葉變換。(2)由電

5、路直接求出。,例1：某系統(tǒng)的微分方程為 y´(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-tε(t)時的響應y(t)。,解：微分方程兩邊取傅里葉變換,j?Y(j?) + 2Y(j?) = F(j?),f(t) = e-tε(t)←→,Y(j?) = H(j?)F(j?),y(t) = (e-t – e-2t )ε(t),例2：如圖電路，R=1Ω

6、，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。,解：畫電路頻域模型,h(t)= e-t ε(t),四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波,系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類： 一類是信號的傳輸， 一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。,1、無失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即,輸入信號為

7、f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒獮?其頻譜關(guān)系為,系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j?)的要求是： (a)對h(t)的要求： h(t)=K?(t–td) (b)對H(j?)的要求： H(j?)=Y(j?)/F(j?)=Ke-j?td即,上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當傳輸有限帶寬的信號，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。,(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：,例：系統(tǒng)的幅頻

8、特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是,(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t),2、理想低通濾波器,具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。?c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應可寫為：,(1)

9、沖激響應,可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。,,(2)階躍響應,g(t)=h(t)*?(t)=,經(jīng)推導，可得,稱為正弦積分,特點：有明顯失真，只要?c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。,gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895,3、物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件,就時域特性而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應在t<0時必須為0，即 h(t)=0 ,t<0, 即

10、, 響應不應在激勵作用之前出現(xiàn)。,并且,結(jié)論:對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為0。,就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足,稱為佩利-維納準則。（必要條件）,4.9 取樣定理,取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。 這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復原信號。,時域取樣:

11、 理想抽樣---沖激抽樣 實際抽樣---矩形抽樣,取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。,時域抽樣等效為頻域周期重復 頻域抽樣等效為時域周期重復,意義：,一、信號的取樣,所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。 這樣得到的離散信號稱為取樣信號。,信號取樣原理：,取樣周期,取樣頻率：fs =1/ Ts

12、ωs = 2πfs = 2π/ Ts,實際取樣矩形取樣,1. 沖激取樣,如果f(t)是帶限信號[即f(t)的頻譜在（- ?m，?m)為有限值，而其余區(qū)間為0]。,設(shè)f(t)←→F(j?)，取樣信號fS(t)的頻譜函數(shù),×,=,,,,*,=,在畫取樣信號fS(t)的頻譜時，設(shè)定ωS ≥2ωm ,這時其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j?)中取出F(j?)，即從fS(t)中恢復原信號f(t)。否則將發(fā)生

13、混疊，而無法恢復原信號。,二、時域取樣定理,由于,H(j?) ←→ h(t) =,為方便，選ωC = 0.5ωS ,則TsωC /π=1,當 時，將取樣信號通過低通濾波器,其截止角頻率 。即可恢復原信號。,所以,根據(jù)f(t)=fS(t)*h(t) ，有,只要已知各取樣值f(nTs),就出唯一地確定出原信號f(t)。,取樣信號的恢復,時域取樣定理：,一個頻譜在區(qū)間（-?m，?

14、m)以外為0的帶限信號f(t),可唯一地由其在均勻間隔Ts [Ts<1/(2fm)] 上的樣值點f(nTs)確定。,注意：為恢復原信號，必須滿足兩個條件： （1）f(t)必須是帶限信號； （2）取樣頻率不能太低，必須fs>2fm， 否則將發(fā)生混疊。,奈奎斯特（Nyquist)頻率：fs=2fm奈奎斯特間隔：Ts=1/(2fm) 。,三 頻域取樣,×,=,=,*,頻域抽樣等效