第二章 管井出水量計算

1、第二章 管井出水量計算§2－1 預備知識§2－2 單井出水量的穩(wěn)定流計算§2－3 單井出水量的非穩(wěn)定流計算§2－4　計算實例,§2－1 預備知識一、水井的類型水井是最為常見的集水（地下水）建筑物。①根據井徑的大小和開鑿方法的不同，分為筒井和管井。②按含水層埋藏條件分為：潛水井和承壓水井。③按水井進入含水層的深度分為完整井和不完整井。,a-潛水井；b-承壓水井,二、水

2、井周圍的水位降深從水井中抽水時，水井周圍含水層中的地下水流入井中，將引起地下水位的下降，水位的下降值稱為降深(s)。井附近的不同地點，s值不同。井中心最大，離井越遠，s值越小。抽水時，水井附近的水位總體上形成漏斗狀的水頭下降區(qū)，被稱為降落漏斗。潛水井抽水后的水位下降意味著含水層被疏干后變薄，稱為重力釋放；而承壓水井抽水后的水位降低不產生含水層疏干，稱為彈性釋放。,三、地下水向水井的運動方式水井抽水時，在水井周圍形成降落漏斗，隨

3、抽水時間的延長，漏斗不斷向外擴展。如達到一定程度后降落漏斗不再向外擴展，水位也不再下降，這時就達到了穩(wěn)定，稱為穩(wěn)定運動。其實質是含水層接受了外界的水量補給。這種情況一般很難遇到，我們一般是將當抽水進行很長時間后，地下水的水位降深很小，在短時間內幾乎觀測不到時近似地看做穩(wěn)定運動。地下水向水井的運動絕大多數是非穩(wěn)定運動。,四、井損和有效井徑1.井損井損是指地下水由含水層流至水泵吸水口過程中的水頭損失，包括過濾器損失和管內損失。因此

4、，井管外面的水位要高于井管內部的水位。2.有效井徑是由井軸到井管外某一點的水平距離。在該點，理論計算的s值正好等于實際降深。本章中后面的內容中均不考慮井損和有效井徑問題。,a-裸井；b-下過濾器的井；c-填礫的井,§2－2 單井出水量的穩(wěn)定流計算一、承壓完整井的出水量計算1863年法國水力學家裘布依(Dupuit)首先應用直線滲透定律研究了地下水向完整井的穩(wěn)定運動規(guī)律，推導出了著名的裘布依(Dupuit)公式。1

5、.公式推導時的假定條件① 地下水運動為穩(wěn)定流，符合達西定律，即：Q＝KFI；② 含水層均質、等厚，各向同性；③ 含水層的隔水底板水平，天然水力坡度為零；④ 邊界條件為環(huán)形補給邊界(半徑為R)；⑤ 抽水井流量穩(wěn)定不變。,2.推導過程① 地下水流向為指向水井中心的放射狀直線，等水位線為以水井為中心的同心圓柱面，且：Qr1=Qr2=…=Q② 根據達西（Darcy）定律，式中，T=KM 分離變量并移項：,,,積分得：代入定

6、解條件：得： 移項得： 　　　寫成常用對數形式：,,,,,3. Thiem(蒂姆)公式如果在抽水井附近有觀測孔，可推導出如下公式： (兩個觀測孔) 　 　 (一個觀測孔)上述兩式叫做Thie

7、m(蒂姆)公式。,,,二、潛水完整井的裘布依公式1.公式推導時的假定條件與承壓水井時的條件完全相同。① 地下水運動為穩(wěn)定流，符合達西定律，即：Q＝KFI；② 含水層均質、等厚，各向同性；③ 含水層的隔水底板水平，天然水力坡度為零；④ 邊界條件為環(huán)形補給邊界（半徑為R）；⑤ 抽水井流量穩(wěn)定不變。,2.推導過程地下水流向為指向水井中心的放射狀直線，等水位線為以水井為中心的同心圓柱面，且：Qr1=Qr2=…=Q根據達西（Da

8、rcy）定律，有：分離變量并移項：積分得：,,,,代入定解條件：得：二式相減：移項： 　 　或寫成常用對數形式：,,,,,,還可寫成降深形式：∵∴以上就是裘布依(Dupuit)公式的三種形式。3. Thiem(蒂姆)公式　　　　　　　　　　　　　(兩個觀測孔) 　　　　

9、 (一個觀測孔),,,,三、Dupuit公式的應用1. 解正問題已知含水層的參數，包括M，K，R。求Q或s；2 .解逆問題根據抽水試驗獲取的數據(M,s,Q等)，求水文地質參數(K或T)。注意：參數要盡量用Thiem公式來求,因為R不好確定。此外，觀測孔不能距抽水井太遠；抽水時間也不能太短。,四、Dupuit公式的討論1. Q-s的關系承壓水：

10、 令則有：為一條過坐標原點的直線。潛水：為一條過坐標原點的二次拋物線。,,,需要說明的是：利用dupuit公式計算的降深值與抽水井中測得的降深值是不一致的，主要有以下原因造成。①含水層釋放水量引起的地下水位下降，這是Dupuit公式的計算值；② 施工質量問題造成水頭損失：如洗井不徹底；③ 過濾器損失；④ 管內損失。后兩項統(tǒng)稱為井損。計算中要想辦法消除上述影響。但有些是無法準確計算的，因此實際工作中經常用Q-

11、s關系的經驗公式來計算涌水量。,,2.井徑與出水量的關系抽水井流量和井徑的關系,到目前為止還沒有統(tǒng)一的認識和公認的公式。但有一點是接受的，即Dupuit公式中井徑與流量的關系不符合實際情況。在Dupuit公式中,井徑是以對數形式出現的，因此對流量的影響不大。如井徑增大1倍，而流量只增加10%；井徑增大10倍，流量只增加40%，但實際情況遠非如此。,3.水躍及其影響當潛水流入水井時,井壁水位高于井中水位(水躍)。產生原因有二：①井

12、附近地下水的流線為曲線，等水頭面為曲面，只有井壁和井中有水位差時，水才能進入井中。②水躍的存在，保證了水井有適當的過水斷面，有足夠的流量進入水井中。根據對水躍的研究，原來認為降深為含水層厚度的一半時，水井的涌水量最大是錯誤的?，F在一般是認為降深為含水層厚度的80%時，最為合理。,4.影響半徑問題該問題歷來是水文地質工作者所討論和關心的問題。R于1870年由德國工程師Thiem首先提出。多年來，各國科學家提出了很多經驗公式，現在看

13、來均有局限性。計算影響半徑應分兩種情況：①在無限含水層中,可根據非穩(wěn)定流理論,推導出公式為：②含水層有補給源時，可用引用影響半徑代替。,,五、直線邊界附近的井流計算前面學習的地下水向井的運動，都是在無限含水層中，下面討論邊界附近井的地下水運動。在解析解中，我們只能將邊界概化為；補給邊界(供水邊界)和隔水邊界(不透水邊界)。 (一)映射法原理沒有邊界時，抽水井的水位線為最下邊的漏斗線；在補給邊界附近時，水頭線為中間的線，

14、相當于在補給邊界的另一側有一注水井，然后進行疊加的結果,因此，邊界的影響可用虛井的影響代替，把實際上有界的滲流區(qū)化為虛構的無限滲流區(qū)，把求解邊界附近的單井抽水問題，化為求解無限含水層中實井和虛井同時抽(注)水問題，利用疊加原理求解。 映射后虛井應具有的特征： ?虛井和實井的位置對于邊界是對稱的； ?虛井的流量與實井相等； ?虛井的性質取決于邊界性質，對于定水頭補給邊界，虛井性質和實井相反；如實井為抽水井，則虛井為注水井；虛井和實

15、井性質相同，都是抽水井； ?虛井的工作時間和實井相同。,(二)直線補給邊界附近的井流計算1. 承壓井 設抽水井的流量為Q，井中心至邊界的垂直距離為a，由于邊界為補給邊界，在邊界另一側的虛擬井為注水井，其流量為-Q。 由實井產生的降深： 由虛井產生的降深： 由疊加原理，P點的總降深為：,2.潛水井Dupuit公式為： 是非線性的，不能直接進行疊加，所以設u=H02-h2，方程變?yōu)椋?實井產生的 影響為

16、： 虛井產生的 影響為：,疊加后，得：如果P點位于抽水井井壁上時，這時r1=rw，r2=2a，代入上式得： 承壓水： 潛水：,(二) 直線隔水邊界附近的井流隔水邊界，虛井為抽水井。 承壓水井： 潛水井：,如果P點位于抽水井井壁上時，r1=rw，r2=2a，代入上式得： 承壓水： 潛水：,六、干擾井群的出水量計算(一) 干擾井群 干擾井群：無論供水或排水,均利用井群抽水。一般為了便于管理井間距不宜太

17、大。當井間距小于影響半徑時，彼此間的降深和流量會發(fā)生干擾。 干擾作用：若保持流量不變，干擾情況下，井的降深比不干擾時要大；若保持降深不變，干擾情況下，井的流量比不干擾時要小。 干擾的影響因素：含水層的性質（K的大小，M的大小）補給和排泄條件等；井的數量、間距和布井方式等。,(二)、干擾井群問題的解算方法解干擾井群問題可用疊加原理來求解。例如：在某含水層中有兩眼開采井同時抽水，則該問題的解可用如下的方法求得。將該問題的解分解為以下

18、二個模型。第一個模型：P1井流量為A,P2井流量為0,解得降深s1(x,y)；第二模型：P1井流量為0，P2井流量為B，解得降深s2(x,y)。二個降深疊加就得到邊界條件和抽水井共同作用下的總降深。,(三) 干擾井群的計算 1. 任意布置的干擾井群 ?承壓水 假設有n口干擾井，其抽水量分別為Q1、Q2、…、Qn，抽水達到穩(wěn)定后，第j口抽水井單獨抽水對任一點i產生的降深為：n口井抽水時i點產生的總降深為：,當i點落在各井井

19、壁處時，即干擾井群對各抽水井產生的降深：,當各井的抽水量和影響半徑均相等時，即： Q1=Q2=…=Qn=Q R1=R2=…=Rn=R i點的降深為：,?潛水井 Dupuit公式為：令 則Dupuit公式可表示為：j井單井抽水對i點產生影響為：,線性化后疊加。 n口井抽水時對i產生的影響為：求得ui后，可解得hi。當各井的抽水量和影響半徑均相等時，即：

20、 Q1=Q2=…=Qn=Q R1=R2=…=Rn=R i點的水位為：,,2. 按一定的幾何形狀布置的干擾井群?相距為L的兩口井承壓水井： 潛水井：,?布置在正方形的四個頂點上的四口井 承壓水井： 潛水井：,?按半徑為r的圓周均勻布置n口井 幾何關系為：承壓井： 潛水井：,§2－3 單井出水量的非穩(wěn)定流計算一、承壓含水層的非穩(wěn)定流計算－ Theis公式

21、(一) 假定條件 ?含水層均質各向同性、等厚，側向無限延伸，產狀水平； ?抽水前天然狀態(tài)下水力坡度為零； ?完整井定流量抽水,井徑無限小； ?含水層中水流服從Darcy定律； ?水頭下降引起的地下水從貯存量中的釋放是瞬時完成的。,(二)教學模型的建立和求解抽水形成以井軸為對稱軸的下降漏斗，將坐標原點放在含水層底板抽水井的井軸處，井軸為z軸，建立坐標系。則以降深表示的微分方程為：教學模型為：,1935年，美國人C.V

22、.Theis(泰斯) 借用熱傳導方程求出了上述數學模型的解析解。其解為：,式中：s—任一點任一時刻的水位降深； Q—抽水井的流量； T—導水系數； t—自抽水開始導計算時刻的時間； r—計算點到抽水井的距離； μ*—含水層的貯水系數。 W(u) —為負指數積分函數，展開后為一收斂

23、級數，難予計算。為便于人們利用Theis公式，1962年由Wenzel(費里斯)等人制成了專門的井函數表(P90)。利用Theis計算時，首先由 計算出u値，然后查表得相應的W(u)，再求r處的s值。,(三) Theis公式的近似表達式Theis公式的井函數為： 當u足夠小時，可用前兩項代替。即：所以Theis公式的近似表達式為： 該式叫Jacob公式。利用Jacob公式計算，當u&l

24、t;0.01時，相對誤差不超過0.25%；當u<0.05時,相對誤差不超過2%;當u<0.1時,相對誤差不超過5%。,(四) 對Theis公式的討論 1. Theis公式反映的降深變化規(guī)律 ?當t不變時(同一時刻)，徑向距離r增大，1/u減小，W(u)減小，降深s變小，當r→∞時，s→0。 ?當r不變時(同一斷面),s隨t增大而增大，當t=0時，s=0；當t→∞時，1/u→∞，u→無窮小，由表知，W(u)數值比較大，但

25、不趨于∞，說明隨增加，降落漏斗在逐漸擴大。 ?由Theis公式或近似公式可知，同一時刻徑向距離r相同的地點，降深相同。說明抽水后形成的等水頭線是圓心在井軸的同心圓。,2. Theis公式反映的水頭下降速度的變化規(guī)律?在抽水初期，隨r的增大， 值增大，因此，近處水頭下降速度大，遠處下降速度小。?抽水后期，　 基本與r無關。故下降速度變幅，在一定范圍內產生大致等幅下降。,3.關于“影響半

26、徑”的問題在非穩(wěn)定流中,由于抽水影響的范圍隨著抽水時間得增大而增加,所以嚴格地說,不存在“影響半徑”。只能是在某一時刻，抽水影響的范圍。影響范圍的求法 由Jacob 公式： 整理，得：,與穩(wěn)定流Dupuit公式 相比，得： 4.關于假設天然水力坡度為零的問題假設條件中，假設了天然水力坡度為零，這種假設對Theis公式有什么影響？ 一般情況下，地下水的水力坡度均比較

27、小，為千分之幾，所以水力坡度為零的假設，對計算結果影響不大。,二、潛水井出水量的非穩(wěn)定流計算(一)仿泰斯公式由Jacob于1944年提出，當s與含水層厚度H的比值很小且抽水時間t很長時，可用仿泰斯公式計算。分兩種情況：?當s<0.3H時：當u<0.1時，可應用Jacob近似計算公式：?當s＞0.3H時，用博爾頓法或紐曼法求解。(略),三、直線邊界附近的單井非穩(wěn)定流計算(一)直線補給邊界1.承壓完整井

28、同穩(wěn)定流的方法類似,當抽水井位于直線補給邊界附近時,在邊界另一側的虛擬井為注水井，其流量為-Q。利用疊加原理，總降深s為：其中，當ui≤0.1時，可用Jacob式，即,2.潛水完整井當s<0.3H時，同穩(wěn)定流相類似，可得： 當ui≤0.1時，可用Jacob式，得：,(二) 直線隔水邊界隔水邊界時，虛井也為抽水井。則 承壓水井： 當ui＜0.1時：潛水井：當ui＜0.1時：,四、干擾井群的非穩(wěn)定流

29、計算同穩(wěn)定流的計算方法一樣，也是采用疊加原理，首先單獨計算每個井產生的降深，然后再將它們疊加在一起，得出總降深。另外，前邊的計算均是針對完整井的。還有一種類型的水井叫做非完整井，關于非完整井的出水量計算問題就不講了，同學們可參考有關的書籍。,§2－4　計算實例例1 已知某承壓含水層的彈性釋水系數μ*=2.0×10-3，導水系數T=500米2/日，水井半徑r0=0.15米。試求：①穩(wěn)定抽水量Q=1000米3/日

30、，問抽水3天后，井中水位下降多少？②擬抽水40天，使抽水井水位下降不超過10米，抽水量Q大約是多少？,第一種解法，用裘布依公式計算① 依經驗公式： 據裘布依公式 則: ② 則:,,,,,,第二種解法，用泰斯公式計算,① ，查表得： 則: ②

31、 查表得： 則:,,,,,,,第三種解法，用雅各布公式計算,①②,,,例2 如圖所示，在潛水含水層直線補給邊界附近有一眼完整井，涌水量Q=4000米3/日。已知潛水含水層厚度H=20米，滲透系數K=80米/日，給水度μ=0.15，試計算抽水7天后觀測孔的水位降深值。,解：1.用裘布依公式求解2.用仿泰斯公式求解?求u1,u2,,,,?查表?代入仿泰斯公式，得：3.