有限元 位移約束條件的引入

1、用虛功原理確定等效節(jié)點力 若三角形單元上作用有集中力g、分布力q(力/面積)和體積力p(力/體積)，則根據(jù)靜力等效原理，節(jié)點力所做的虛功等于三種力所做的虛功。,第四章 平面問題的有限元分析,§4-4 等效節(jié)點力的計算,計算等效節(jié)點力,代入上式，得,由此可知,由體積力引起的等效節(jié)點力,由表面力引起的等效節(jié)點力,由集中力引起的等效節(jié)點力,集中力的等效節(jié)點力計算,由于,表面分布力的等效節(jié)點力,由于,體積力的

2、等效節(jié)點力,由于,形成載荷列陣{F},把各單元上的等效節(jié)點力{R}e根據(jù)單元的編號迭加到載荷列陣{F}對應(yīng)行中,{F0} 表示作用在各節(jié)點上的集中力,{R } e = {F} e +{Q} e +{P} e,§4-5 邊界條件的處理和整體剛度矩陣的修正，計算實例,整體剛度矩陣[K]是奇異陣，必須考慮邊界約束條件，排除彈性體的剛體位移。消除了整體剛度矩陣的奇異性之后，才能從方程組

3、中求解節(jié)點位移。 一般情況下，所考慮問題的邊界往往已有一定的位移約束條件，排除了剛體運動的可能性。否則，應(yīng)當適當指定某些節(jié)點的位移值，以避免出現(xiàn)剛體運動。在引用這些邊界條件以后，待求節(jié)點未知量的數(shù)目和方程的數(shù)目便可相應(yīng)地減少。 但是在編制程序時，為了避免計算機存儲作大的變動，應(yīng)保持方程原有的數(shù)目不變。這時，須引入已知的節(jié)點位移。一般有兩種方法：劃行劃列方法及乘大數(shù)方法。,若結(jié)構(gòu)物劃分為n個節(jié)點，它的剛

4、度矩陣為2n行2n列,采用劃行劃列的方法,根據(jù)約束情況若在第一點的水平位移為: u1= β1，在第二節(jié)點的水平位移為: u2 = β3，把節(jié)點所對應(yīng)剛度矩陣的行和列第一行和第一列及第三行和第三列, 除主對角元改成1，其余的元素都改成零，同時把左端的{F}載荷列陣中對應(yīng)的行改為己知位移值β1,β3 ，其余的行都減去節(jié)點位移值與原來剛度矩陣該行的相應(yīng)列元素的乘積。,乘大數(shù)的方法,把指定位移所對應(yīng)的主對角元乘大數(shù)，一般取1015，把對應(yīng)的載

5、荷列陣中的載荷改為指定位移值乘對應(yīng)的主對角元再乘大數(shù)。 若u1= ß1，u2 = ß3 u1所對應(yīng) [K]中的主對角元 k11乘大數(shù)1015，對應(yīng)載荷列陣{F}中的載荷改為 ß1*k11*1015 u2所對應(yīng) [K]中的主對角元 k33乘大數(shù)1015，對應(yīng)載荷列陣{F}中的載荷改為 ß3*k33*1015。,同理可得,其他方程不變?yōu)榇宋覀兙徒⒘?/p>

6、新的方程,由于某些項乘上大數(shù)，沒有乘大數(shù)的項可以忽略。,§4-6 有限元分析的實施步驟,根據(jù)前面的討論，現(xiàn)以三角形常應(yīng)變單元為例來說明應(yīng)用有限元法求解彈性力學平面問題的具體步驟。,①力學模型的確定根據(jù)工程實際情況確定問題的力學模型，并按一定比例繪制結(jié)構(gòu)圖、注明尺寸、載荷和約束情況等。,②將計算對象進行離散化，即彈性體劃分為許多三角形單元，并對節(jié)點進行編號。確定全部節(jié)點的坐標值，對單元進行編號，并列出各單元三個節(jié)點的節(jié)點號。

7、,③ 計算載荷的等效節(jié)點力（要求的輸入信息）。,④ 由各單元的常數(shù)bi 、ci 、bj 、cj 、bm 、cm 及行列式2 ?，計算單元剛度矩陣。,返回,平面問題的有限單元法,,,,⑦ 求解線性方程組，得到節(jié)點位移。,⑧ 計算應(yīng)力矩陣，求得單元應(yīng)力，并根據(jù)需要計算主應(yīng)力和主方向。,⑨ 整理計算結(jié)果（后處理部分）。,為了提高有限元分析計算的效率、達到一定的精度，應(yīng)該注意以下幾個方面。,一. 對稱性的利用,在劃分單元之前，有必要先研究一下

8、計算對象的對稱或反對稱的情況，以便確定是取整個物體，還是部分物體作為計算模型。,返回,⑤ 組集整體剛度矩陣，即形成總剛的非零子矩陣。,⑥ 處理約束，消除剛體位移。,例如，圖4-11(a)所示受純彎曲的梁，其結(jié)構(gòu)對于x、y軸都是幾何對稱的，而所受的載荷則是對于x軸對稱，對于x軸反對稱?？芍?，梁的應(yīng)力和變形也將具有同樣的對稱特性，所以只需取1/4梁進行計算即可。取分離體如圖4-11(b)所示，對于其它部分結(jié)構(gòu)對此分離體的影響，可以作相應(yīng)的處

9、理，即對處于y軸對稱面內(nèi)各節(jié)點的x方向位移都設(shè)置為零，而對于在x軸反對稱面上的各節(jié)點的x方向位移也都設(shè)置為零。這些條件就等價于在圖4-11(b)中相應(yīng)節(jié)點位置處施加約束，圖中o點y方向施加的約束是為了消除剛體位移。,返回,圖4-11,節(jié)點的多少及其分布的疏密程度（即單元的大小），一般要根據(jù)所要求的計算精度等方面來綜合考慮。從計算結(jié)果的精度上講，當然是單元越小越好，但計算所需要的時間也要大大增加。另外，在微機上進行有限元分析時，還要考慮計

10、算機的容量。因此，在保證計算精度的前提下，應(yīng)力求采用較少的單元。為了減少單元，在劃分單元時，對于應(yīng)力變化梯度較大的部位單元可小一些，而在應(yīng)力變化比較平緩的區(qū)域可以劃分得粗一些。,節(jié)點的布置是與單元的劃分互相聯(lián)系的。通常，集中載荷的作用點、分布載荷強度的突變點，分布載荷與自由邊界的分界點、支承點等都應(yīng)該取為節(jié)點。并且，當物體是由不同的材料組成時，厚度不同或材料不同的部分，也應(yīng)該劃分為不同的單元。,二. 節(jié)點的選擇及單元的劃分,節(jié)點編號時，

11、應(yīng)該注意要盡量使同一單元的相鄰節(jié)點的號碼差盡可能地小，以便最大限度地縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)省存儲、提高計算效率。 平面問題的半帶寬為B =2 (d+1),,還有一點值得注意的是，單元各邊的長度不要相差太大，以免出現(xiàn)過大的計算誤差或出現(xiàn)病態(tài)矩陣。例如，圖4-12所示的(a)、(b)兩種單元劃分，雖然都是同樣的四個節(jié)點，但(a)的劃分方式顯然要比(b)的方式好。,三. 節(jié)點的編號,(a)

12、 (b)圖4-12,平面問題的有限單元法,,,,若采取帶寬壓縮存儲，則整體剛度矩陣的存儲量N 最多為 N =2nB = 4n (d+1) 其中 d為相鄰節(jié)點的最大差值，n為節(jié)點總數(shù)。,例如在圖4-13中，(a)與(b)的單元劃分相同，且節(jié)點總數(shù)都等于14，但兩者的節(jié)點編號方式卻完全不同。(a)是按長邊進行編號，d =7，N =488；而(b)是按短邊進行編號，

13、d =2，N =168。顯然(b)的編號方式可比(a)的編號方式節(jié)省280個存儲單元。,(a) (b)圖4-13,平面問題的有限單元法,,,,四. 單元節(jié)點i、j、m的次序,為了在計算中保證單元的面積 ?不會出現(xiàn)負值，節(jié)點i、j、m的編號次序必須是逆時針方向。事實上，節(jié)點i、j、m的編號次序是可以任意安排的，只要在計算剛度矩陣

14、的各元素時，對?取絕對值，即可得到正確的計算結(jié)果。,五. 邊界條件的處理及整體剛度矩陣的修正,整體剛度矩陣的奇異性可以通過考慮邊界約束條件來排除彈性體的剛體位移，以達到求解的目的。,返回,平面問題的有限單元法,,,,一般情況下，求解的問題的邊界往往已有一點的位移約束條件，本身已排除了剛體運動的可能性。否則的話，就必須適當指定某些節(jié)點的位移值，以避免出現(xiàn)剛體位移。這里介紹兩種比較簡單的引入已知節(jié)點位移的方法，這兩種方法都可保持原[K]矩陣

15、的稀疏、帶狀和對稱等特性。,下面我們來實際考察一個只有四個方程的簡單例子。,⒈ 保持方程組為2n×2n系統(tǒng)，僅對[K]和{R}進行修正。例如，若指定節(jié)點i在方向y的位移為vi ，則令[K]中的元素k2i, 2i 為1，而第2i行和第2i列的其余元素都為零。{R}中的第2i個元素則用位移vi 的已知值代入，{R}中的其它各行元素均減去已知節(jié)點位移的指定值和原來[K]中該行的相應(yīng)列元素的乘積。,返回,平面問題的有限單元法,,,

16、,假定該系統(tǒng)中節(jié)點位移u1 和u2分別被指定為,當引入這些節(jié)點的已知位移之后，方程(a)就變成,然后，就用這組維數(shù)不變的方程來求解所有的節(jié)點位移。顯然，其解答仍為原方程(a)的解答。,u1 = ?1 ， u2 = ?2,平面問題的有限單元法,,,,⒉ 將[K]中與指定的節(jié)點位移有關(guān)的主對角元素乘上一個大數(shù)，如1015，同時將{R}中的對應(yīng)元素換成指定的節(jié)點位移值與該大數(shù)的乘積。實際上，這種方法就是使[K]中相應(yīng)行的修正項遠大于非