有限元 位移約束條件的引入

1、用虛功原理確定等效節(jié)點(diǎn)力 若三角形單元上作用有集中力g、分布力q(力/面積)和體積力p(力/體積)，則根據(jù)靜力等效原理，節(jié)點(diǎn)力所做的虛功等于三種力所做的虛功。,第四章 平面問題的有限元分析,§4-4 等效節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算,計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力,代入上式，得,由此可知,由體積力引起的等效節(jié)點(diǎn)力,由表面力引起的等效節(jié)點(diǎn)力,由集中力引起的等效節(jié)點(diǎn)力,集中力的等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算,由于,表面分布力的等效節(jié)點(diǎn)力,由于,體積力的

2、等效節(jié)點(diǎn)力,由于,形成載荷列陣{F},把各單元上的等效節(jié)點(diǎn)力{R}e根據(jù)單元的編號(hào)迭加到載荷列陣{F}對(duì)應(yīng)行中,{F0} 表示作用在各節(jié)點(diǎn)上的集中力,{R } e = {F} e +{Q} e +{P} e,§4-5 邊界條件的處理和整體剛度矩陣的修正，計(jì)算實(shí)例,整體剛度矩陣[K]是奇異陣，必須考慮邊界約束條件，排除彈性體的剛體位移。消除了整體剛度矩陣的奇異性之后，才能從方程組

3、中求解節(jié)點(diǎn)位移。 一般情況下，所考慮問題的邊界往往已有一定的位移約束條件，排除了剛體運(yùn)動(dòng)的可能性。否則，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)指定某些節(jié)點(diǎn)的位移值，以避免出現(xiàn)剛體運(yùn)動(dòng)。在引用這些邊界條件以后，待求節(jié)點(diǎn)未知量的數(shù)目和方程的數(shù)目便可相應(yīng)地減少。 但是在編制程序時(shí)，為了避免計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)作大的變動(dòng)，應(yīng)保持方程原有的數(shù)目不變。這時(shí)，須引入已知的節(jié)點(diǎn)位移。一般有兩種方法：劃行劃列方法及乘大數(shù)方法。,若結(jié)構(gòu)物劃分為n個(gè)節(jié)點(diǎn)，它的剛

4、度矩陣為2n行2n列,采用劃行劃列的方法,根據(jù)約束情況若在第一點(diǎn)的水平位移為: u1= β1，在第二節(jié)點(diǎn)的水平位移為: u2 = β3，把節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)剛度矩陣的行和列第一行和第一列及第三行和第三列, 除主對(duì)角元改成1，其余的元素都改成零，同時(shí)把左端的{F}載荷列陣中對(duì)應(yīng)的行改為己知位移值β1,β3 ，其余的行都減去節(jié)點(diǎn)位移值與原來剛度矩陣該行的相應(yīng)列元素的乘積。,乘大數(shù)的方法,把指定位移所對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元乘大數(shù)，一般取1015，把對(duì)應(yīng)的載

5、荷列陣中的載荷改為指定位移值乘對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元再乘大數(shù)。 若u1= ß1，u2 = ß3 u1所對(duì)應(yīng) [K]中的主對(duì)角元 k11乘大數(shù)1015，對(duì)應(yīng)載荷列陣{F}中的載荷改為 ß1*k11*1015 u2所對(duì)應(yīng) [K]中的主對(duì)角元 k33乘大數(shù)1015，對(duì)應(yīng)載荷列陣{F}中的載荷改為 ß3*k33*1015。,同理可得,其他方程不變?yōu)榇宋覀兙徒⒘?/p>

6、新的方程,由于某些項(xiàng)乘上大數(shù)，沒有乘大數(shù)的項(xiàng)可以忽略。,§4-6 有限元分析的實(shí)施步驟,根據(jù)前面的討論，現(xiàn)以三角形常應(yīng)變單元為例來說明應(yīng)用有限元法求解彈性力學(xué)平面問題的具體步驟。,①力學(xué)模型的確定根據(jù)工程實(shí)際情況確定問題的力學(xué)模型，并按一定比例繪制結(jié)構(gòu)圖、注明尺寸、載荷和約束情況等。,②將計(jì)算對(duì)象進(jìn)行離散化，即彈性體劃分為許多三角形單元，并對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。確定全部節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值，對(duì)單元進(jìn)行編號(hào)，并列出各單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)號(hào)。

7、,③ 計(jì)算載荷的等效節(jié)點(diǎn)力（要求的輸入信息）。,④ 由各單元的常數(shù)bi 、ci 、bj 、cj 、bm 、cm 及行列式2 ?，計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒?返回,平面問題的有限單元法,,,,⑦ 求解線性方程組，得到節(jié)點(diǎn)位移。,⑧ 計(jì)算應(yīng)力矩陣，求得單元應(yīng)力，并根據(jù)需要計(jì)算主應(yīng)力和主方向。,⑨ 整理計(jì)算結(jié)果（后處理部分）。,為了提高有限元分析計(jì)算的效率、達(dá)到一定的精度，應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面。,一. 對(duì)稱性的利用,在劃分單元之前，有必要先研究一下

8、計(jì)算對(duì)象的對(duì)稱或反對(duì)稱的情況，以便確定是取整個(gè)物體，還是部分物體作為計(jì)算模型。,返回,⑤ 組集整體剛度矩陣，即形成總剛的非零子矩陣。,⑥ 處理約束，消除剛體位移。,例如，圖4-11(a)所示受純彎曲的梁，其結(jié)構(gòu)對(duì)于x、y軸都是幾何對(duì)稱的，而所受的載荷則是對(duì)于x軸對(duì)稱，對(duì)于x軸反對(duì)稱?？芍?，梁的應(yīng)力和變形也將具有同樣的對(duì)稱特性，所以只需取1/4梁進(jìn)行計(jì)算即可。取分離體如圖4-11(b)所示，對(duì)于其它部分結(jié)構(gòu)對(duì)此分離體的影響，可以作相應(yīng)的處

9、理，即對(duì)處于y軸對(duì)稱面內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的x方向位移都設(shè)置為零，而對(duì)于在x軸反對(duì)稱面上的各節(jié)點(diǎn)的x方向位移也都設(shè)置為零。這些條件就等價(jià)于在圖4-11(b)中相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位置處施加約束，圖中o點(diǎn)y方向施加的約束是為了消除剛體位移。,返回,圖4-11,節(jié)點(diǎn)的多少及其分布的疏密程度（即單元的大?。?，一般要根據(jù)所要求的計(jì)算精度等方面來綜合考慮。從計(jì)算結(jié)果的精度上講，當(dāng)然是單元越小越好，但計(jì)算所需要的時(shí)間也要大大增加。另外，在微機(jī)上進(jìn)行有限元分析時(shí)，還要考慮計(jì)

10、算機(jī)的容量。因此，在保證計(jì)算精度的前提下，應(yīng)力求采用較少的單元。為了減少單元，在劃分單元時(shí)，對(duì)于應(yīng)力變化梯度較大的部位單元可小一些，而在應(yīng)力變化比較平緩的區(qū)域可以劃分得粗一些。,節(jié)點(diǎn)的布置是與單元的劃分互相聯(lián)系的。通常，集中載荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突變點(diǎn)，分布載荷與自由邊界的分界點(diǎn)、支承點(diǎn)等都應(yīng)該取為節(jié)點(diǎn)。并且，當(dāng)物體是由不同的材料組成時(shí)，厚度不同或材料不同的部分，也應(yīng)該劃分為不同的單元。,二. 節(jié)點(diǎn)的選擇及單元的劃分,節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，

11、應(yīng)該注意要盡量使同一單元的相鄰節(jié)點(diǎn)的號(hào)碼差盡可能地小，以便最大限度地縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)省存儲(chǔ)、提高計(jì)算效率。 平面問題的半帶寬為B =2 (d+1),,還有一點(diǎn)值得注意的是，單元各邊的長(zhǎng)度不要相差太大，以免出現(xiàn)過大的計(jì)算誤差或出現(xiàn)病態(tài)矩陣。例如，圖4-12所示的(a)、(b)兩種單元?jiǎng)澐郑m然都是同樣的四個(gè)節(jié)點(diǎn)，但(a)的劃分方式顯然要比(b)的方式好。,三. 節(jié)點(diǎn)的編號(hào),(a)

12、 (b)圖4-12,平面問題的有限單元法,,,,若采取帶寬壓縮存儲(chǔ)，則整體剛度矩陣的存儲(chǔ)量N 最多為 N =2nB = 4n (d+1) 其中 d為相鄰節(jié)點(diǎn)的最大差值，n為節(jié)點(diǎn)總數(shù)。,例如在圖4-13中，(a)與(b)的單元?jiǎng)澐窒嗤?，且?jié)點(diǎn)總數(shù)都等于14，但兩者的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方式卻完全不同。(a)是按長(zhǎng)邊進(jìn)行編號(hào)，d =7，N =488；而(b)是按短邊進(jìn)行編號(hào)，

13、d =2，N =168。顯然(b)的編號(hào)方式可比(a)的編號(hào)方式節(jié)省280個(gè)存儲(chǔ)單元。,(a) (b)圖4-13,平面問題的有限單元法,,,,四. 單元節(jié)點(diǎn)i、j、m的次序,為了在計(jì)算中保證單元的面積 ?不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，節(jié)點(diǎn)i、j、m的編號(hào)次序必須是逆時(shí)針方向。事實(shí)上，節(jié)點(diǎn)i、j、m的編號(hào)次序是可以任意安排的，只要在計(jì)算剛度矩陣

14、的各元素時(shí)，對(duì)?取絕對(duì)值，即可得到正確的計(jì)算結(jié)果。,五. 邊界條件的處理及整體剛度矩陣的修正,整體剛度矩陣的奇異性可以通過考慮邊界約束條件來排除彈性體的剛體位移，以達(dá)到求解的目的。,返回,平面問題的有限單元法,,,,一般情況下，求解的問題的邊界往往已有一點(diǎn)的位移約束條件，本身已排除了剛體運(yùn)動(dòng)的可能性。否則的話，就必須適當(dāng)指定某些節(jié)點(diǎn)的位移值，以避免出現(xiàn)剛體位移。這里介紹兩種比較簡(jiǎn)單的引入已知節(jié)點(diǎn)位移的方法，這兩種方法都可保持原[K]矩陣

15、的稀疏、帶狀和對(duì)稱等特性。,下面我們來實(shí)際考察一個(gè)只有四個(gè)方程的簡(jiǎn)單例子。,⒈ 保持方程組為2n×2n系統(tǒng)，僅對(duì)[K]和{R}進(jìn)行修正。例如，若指定節(jié)點(diǎn)i在方向y的位移為vi ，則令[K]中的元素k2i, 2i 為1，而第2i行和第2i列的其余元素都為零。{R}中的第2i個(gè)元素則用位移vi 的已知值代入，{R}中的其它各行元素均減去已知節(jié)點(diǎn)位移的指定值和原來[K]中該行的相應(yīng)列元素的乘積。,返回,平面問題的有限單元法,,,

16、,假定該系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)位移u1 和u2分別被指定為,當(dāng)引入這些節(jié)點(diǎn)的已知位移之后，方程(a)就變成,然后，就用這組維數(shù)不變的方程來求解所有的節(jié)點(diǎn)位移。顯然，其解答仍為原方程(a)的解答。,u1 = ?1 ， u2 = ?2,平面問題的有限單元法,,,,⒉ 將[K]中與指定的節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)的主對(duì)角元素乘上一個(gè)大數(shù)，如1015，同時(shí)將{R}中的對(duì)應(yīng)元素?fù)Q成指定的節(jié)點(diǎn)位移值與該大數(shù)的乘積。實(shí)際上，這種方法就是使[K]中相應(yīng)行的修正項(xiàng)遠(yuǎn)大于非