2019年沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)考研專業(yè)課考試大綱_j640泛函分析

1、碩士研究生入學(xué)考試大綱碩士研究生入學(xué)考試大綱考試科目名稱考試科目名稱:泛函分析泛函分析一、援引教材一、援引教材《泛函分析》第二版高等教育出版社江澤堅(jiān)孫善利編二、考試要求二、考試要求要求考生全面系統(tǒng)地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能靈活運(yùn)用，具備較強(qiáng)的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。三、考試內(nèi)容三、考試內(nèi)容（一）距離線性空間（一）距離線性空間1距離線性空間的定義，常見(jiàn)的距離線性空間的距離定義及其性質(zhì)。2距離空間中的拓?fù)浜x，可分空間。3

2、Cauchy序列的性質(zhì)，距離空間的完備性。4列緊集，完全有界集的定義及它們之間的關(guān)系。5賦范線性空間定義；范數(shù)與距離的關(guān)系；有限維賦范線性空間的結(jié)構(gòu)。6賦范線性空間上的線性算子及有界線性算子的定義、性質(zhì)與計(jì)算方法。7常見(jiàn)空間以及等空間中距離與范數(shù)之間的定義及關(guān)系。][][baLlbaCpp)()()(cms掌握這些空間的可分性，完備性及拓?fù)湫再|(zhì)。8壓縮映射定義，掌握壓縮映象原理，并能熟練的應(yīng)用定理解決問(wèn)題。了解壓縮映象原理在理論上的典型

3、應(yīng)用。（二）（二）HilbertHilbert空間空間1內(nèi)積空間的定義，性質(zhì)；內(nèi)積與范數(shù)、距離之間的關(guān)系。2賦范線性空間成為內(nèi)積空間的條件，常見(jiàn)賦范線性空間是否成為內(nèi)積空間的判別。3掌握內(nèi)積空間的定義及其性質(zhì)。][22baLl4Hilbert空間的定義；Hilbert空間上的正規(guī)正交基，正規(guī)正交分解；5掌握并熟練運(yùn)用Bessel不等式、Schwarz不等式及Parseval公式。6掌握可分Hilbert空間的結(jié)構(gòu)。7掌握射影定理，理解其

4、涵義，并能加以應(yīng)用；掌握表現(xiàn)定理，RieszcheteFr?Hilbert空間上的線性泛函的表示。8Hilbert共軛算子的定義、性質(zhì)及其表示；可分Hilbert空間上有界線性算子的矩陣表達(dá)式。（三）（三）BanachBanach空間及空間及BanachBanach空間上的有界線性算子空間上的有界線性算子1.Banach空間上的有界線性算子定義；算子范數(shù)的計(jì)算；范數(shù)的比較。2.有界線性算子空間的性質(zhì)。)(YXL3.算子的逆，逆算子存在、

5、連續(xù)的條件；利用逆算子解決一些積分方程等方面的實(shí)際問(wèn)題。4.HahnBanach定理；擴(kuò)張定理的幾種表現(xiàn)形式，如Banach擴(kuò)張定理、BohnenblustSobczyk定理等。5.HahnBanach定理的一些推論，體現(xiàn)的不同側(cè)面的HahnBanach定理的具體表現(xiàn)形式；HahnBanach定理的幾何形式。HahnBanach定理在理論及實(shí)際上的應(yīng)用。6.分離定理，及其與HahnBanach定理之間的關(guān)系。7.Baire綱定理；第一綱

6、集、第二綱集的定義與分類。8.一致有界原理（共鳴定理）；開(kāi)映射定理；Banach逆算子定理；閉圖形定理以及它們的應(yīng)用。9.對(duì)偶空間的定義，幾個(gè)具體空間上的對(duì)偶空間及它們的連續(xù)泛函形式，如等。][)1]([][)1(1bacpbaLbaLpllpp??????10.二次對(duì)偶、典型映射、自反空間的定義；有限維賦范線性空間、、)1]([???pbaLpHilbert空間的自反性質(zhì)。了解常見(jiàn)的不是自反空間的例子。11.Banach共軛算子的定義

7、、性質(zhì)及其矩陣表示。12.算子的值域、零空間、商空間的定義與它們之間的關(guān)系。（四）有界線性算子譜論（四）有界線性算子譜論1.有界線性算子的預(yù)解式與譜的定義及其計(jì)算。2.掌握譜半徑公式，應(yīng)用公式解決問(wèn)題。3.射影算子的定義；有界線性算子的不變子空間與約化子空間；F.Riesz空間分解定理。4.緊算子的定義及其性質(zhì)；緊算子的實(shí)例；緊算子與理想的關(guān)系。5.RieszSchauder理論：F.Riesz定理；兩擇一定理；Fredholm交替定理