2016年華南理工大學(xué)研究生入學(xué)考試專(zhuān)業(yè)課真題864_高等代數(shù)

1、864華南理工大學(xué)2016年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷（請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上做答，試卷上做答無(wú)效，試后本卷必須與答題紙一同交回）科目名稱(chēng)：高等代數(shù)適用專(zhuān)業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)運(yùn)籌學(xué)與控制論共2頁(yè)1.(15分)設(shè)f(x)和g(x)都是數(shù)域P上的次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式.證明:(f(x)g(x))=1當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的多項(xiàng)式u(x)v(x)∈P[x]使得u(x)f(x)v(x)g(x)=1這里?(u(x))?(g(x))且?(

2、v(x))?(f(x)).2.(15分)設(shè)f(x)=a1a2xanxn?1ε0ε1...εn的n次單位根證明:?1為全部D==n?1ni=0f(εi).3.(20分)設(shè)A為n階方陣滿(mǎn)足A2=A.證明：(1)r(A)r(A?E)=n(2)r(Ak)r(A?E)l=n這里k￡為任意自然數(shù).4.(15分)設(shè)￡i=ci1x1ci2x2cinxni=12...pq這里cij∈R.試證明實(shí)二次型f(x1x2...xn)=￡2￡2￡2?￡2??￡21

3、2的正慣性指數(shù)≤p負(fù)慣性指數(shù)≤q.pp1pq第1頁(yè)a1anan?1a2a1ana3a2a1an?1an?2an?3anan?1an?2a3a4a5a1a2a2a3a4ana15.(15分)對(duì)λ的不同的值判斷下述方程組是否有解？當(dāng)有解時(shí)求出全部的解.?(3?2λ)x1????(2?λ)x2(2?λ)x1(2?λ)x2x1x2x3x3(2?λ)x3?=λ=1=1.??6.(15分)設(shè)矩陣A=???????2?1310130?12?1400?

4、??求A2016.?1???1?7.(20分)設(shè)V=Rn[x]若f(x)=)ni=0aixig(x)=)nbixi∈Vi=0規(guī)定內(nèi)積(f(x)g(x))=)ni=0aibi貝V為歐氏空間.令W=f(x)∈V|f(1)=0.(1)證明W為V的子空間決定其維數(shù)并舉出它的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基(2)舉出W⊥的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.8.(20分)設(shè)R2中的線(xiàn)性變換A在基ε1=(12)ε2=(21)下的矩陣為??12?23?線(xiàn)性變換B在基η1=(11)η2=(