塑性力學(xué)-應(yīng)力狀態(tài)

1、塑性力學(xué),,第1章 應(yīng)力分析,應(yīng)力狀態(tài)三維應(yīng)力狀態(tài)分析三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力最大剪應(yīng)力等傾面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力應(yīng)力羅德參數(shù)與應(yīng)力羅德角應(yīng)力張量的分解平衡微分方程,1. 外力,體力、面力,(1) 體力,—— 彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力,—— 體力分布集度,（矢量）,X、Y、Z為體力矢量在坐標(biāo)軸上的投影,單位：,N/m3,kN/m3,說明：,(1) F 是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) F 的加載方式是任意的 (如：

2、重力，磁場力、慣性力等),(3) X、Y、Z 的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定。,,1－1 應(yīng)力狀態(tài),(2) 面力,—— 作用于物體表面單位面積上的外力,—— 面力分布集度（矢量）,—— 面力矢量在坐標(biāo)軸上投影,單位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),說明：,(1) F 是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) F 的加載方式是任意的;,,(3) 的正負(fù)號由

3、坐標(biāo)方向確定。,2. 應(yīng)力,(1) 一點應(yīng)力的概念,內(nèi)力,,(1) 物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;,(2) 由于外力作用引起的相互作用力.,(不考慮),M,,(1) M點的內(nèi)力面分布集度,(2) 應(yīng)力矢量,----M點的應(yīng)力,的極限方向,由外力引起的在 P點的某一面上內(nèi)力分布集度,應(yīng)力分量,,應(yīng)力的法向分量,—— 正應(yīng)力,應(yīng)力的切向分量,—— 剪應(yīng)力,單位:,與面力相同,MPa (兆帕),應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布的,,斜截面上的應(yīng)力,

4、斜截面上的總應(yīng)力斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力,平面應(yīng)力狀態(tài),主應(yīng)力與應(yīng)力主向最大剪應(yīng)力,,,,,摩爾應(yīng)力圓,x面的應(yīng)力：,y面的應(yīng)力：,z面的應(yīng)力：,1－2 三維應(yīng)力狀態(tài),用矩陣表示：,其中，只有6個量獨立。,,剪應(yīng)力互等定理,應(yīng)力符號的意義：,,第1個下標(biāo) x 表示τ所在面的法線方向；,第2個下標(biāo) y 表示τ的方向.,應(yīng)力正負(fù)號的規(guī)定：,,正應(yīng)力—— 拉為正，壓為負(fù)。,剪應(yīng)力—— 坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時為正；,坐標(biāo)

5、負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時為正。,與材力中剪應(yīng)力τ正負(fù)號規(guī)定的區(qū)別：,,規(guī)定使得單元體順時轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力τ為正，反之為負(fù)。,在用應(yīng)力莫爾圓時必須用此規(guī)定求解問題,四面體受力圖,在某點處取出一無限小四面體。它的三個面分別與x、y、z三個軸相垂直。另一面即為任意傾斜面，其法線為v，其方向余弦為l、m、n。,,pv,,利用力的平衡條件，可得任意斜截面上的應(yīng)力pv作用于任一斜截面上的應(yīng)力向量分量可以用作用在與坐標(biāo)軸垂直的三個面上的應(yīng)力向量

6、分量來表示。上式可作為力的邊界條件的表達(dá)式。,,,1－3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力,在過任一點所作任意方向的單元面積上都有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。如果在某一方向剪應(yīng)力為零，則此方向即稱為主方向（應(yīng)力主向），而這時在該面上的正應(yīng)力便稱為主應(yīng)力。如果v方向為主應(yīng)力平面的方向，則有pvx = ?x l，pvy ＝?y m，pvz = ?z n，則得 幾何關(guān)系,l,m,n不能同時為零，因此前式為包括三個未知量l,m,n的線性齊次方程。若有

7、非零解，則此方程組的系數(shù)行列式應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹?，即展開行列式得到 其中,,,,,I1、I2、I3不隨坐標(biāo)方向不同而變，稱為應(yīng)力張量不變量，分別稱為應(yīng)力張量第一（一次）不變量、第二（二次）不變量與第三（三次）不變量。 解一元三次方程，得三個主應(yīng)力?1, ?2, ?3。 I1、I2、I3可用主應(yīng)力表示如下：求解主應(yīng)力時，先求出各應(yīng)力張量不變量，再解一元三次方程。,,【例】已知一點的應(yīng)力狀態(tài)由如下應(yīng)力分量確定，即試求主

8、應(yīng)力的值?！窘狻壳蟾鲬?yīng)力張量不變量，I1 = 3，I2= -6，I3 = -8，代入一元三次方程得解得,,,,斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力,設(shè)斜截面上的正應(yīng)力為?v , 則由投影可得若三個坐標(biāo)軸的方向為主方向，且主應(yīng)力大小順序按x, y, z排列，則總應(yīng)力為斜截面上的剪應(yīng)力為,,,,,,三維應(yīng)力圓,三維應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，在以三個主應(yīng)力組成的應(yīng)力圓所圍成的陰影的范圍之內(nèi)。最大剪應(yīng)力等于最大和最小

9、正應(yīng)力值之差的一半。,1－4 最大剪應(yīng)力,主應(yīng)力平面上的剪應(yīng)力為零；最大剪應(yīng)力位于坐標(biāo)軸分角面上，而三個最大剪應(yīng)力分別等于三個主應(yīng)力兩兩之差的一半。,,在主應(yīng)力坐標(biāo)系中（1, 2, 3分別代表?1, ?2, ?3）主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力作用面及其方向余弦,1-5 等傾面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力,等傾面就是和三個主應(yīng)力軸成相同角度（54?44'）的面，等傾面的法線方向也與三個主應(yīng)力軸成相同的角度。法線v為空間對角線，也稱為等傾線。等傾面

10、法線的方向余弦l, m, n可由下式確定則等傾面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力,,,,,,,主應(yīng)力空間：以三個主應(yīng)力為軸而組成的笛卡兒坐標(biāo)系,若將?1, ?2, ?3軸在等傾面上投影，則在等傾面上可以得到互相成120?角的三個坐標(biāo)軸。,,等傾面及其上應(yīng)力,,?,向量 在等傾線上的投影 ?0向量 在等傾面上的投影 ?0?0與軸?1在等傾面上的投影之間的夾角????稱為應(yīng)力狀態(tài)的特征角，cos??為應(yīng)力形式指數(shù)。,等傾面

11、上一點的應(yīng)力狀態(tài),,,,偏平面,如果等傾面上的正應(yīng)力?0= 0，？？如果?0= 0，等傾面過原點，則此等傾面稱為?平面。?平面上沒有正應(yīng)力，只有剪應(yīng)力，只有應(yīng)力偏張量，所以?平面又叫偏平面。,應(yīng)力強(qiáng)度 或廣義剪應(yīng)力,,?0 為平均應(yīng)力或靜水壓力，只引起物體體積的變化，?i 或?0只引起物體形狀的變化，?? 與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。,應(yīng)力偏量分量、主應(yīng)力用應(yīng)力強(qiáng)度、平均應(yīng)力與應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)角表示,應(yīng)力偏量

12、 主應(yīng)力 s1+s2+s3 = 0 ?1+?2+?3 = 3?0,應(yīng)力星圓,應(yīng)力星圓是以距原點O為?0的一點為圓心，以2?i / 3為半徑所畫的圓。由圓心O?點開始作與軸O?成?? 角的直線，則此直線與圓的交點在O? 軸上的投影即為?1。由O?A線順時針旋轉(zhuǎn)120?作一直線，此直線與圓的交點在? 軸上的投影即為?2。而由O?A線順時針旋轉(zhuǎn)240?所

13、作的直線與圓的交點在? 軸上的投影即為?3。,,應(yīng)力星圓,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力星圓,【例】已知應(yīng)力狀態(tài)為：?1=150MPa, ?2=50MPa, ?3= -50MPa，試畫出應(yīng)力星圓?！窘狻??0 = (150+50-50)/3 = 50MPa 故，?? = 30?。,,,應(yīng)力星圓,最大剪應(yīng)力用?i 和??表示,應(yīng)力星圓,剪應(yīng)力?2的絕對值最大。,1-6

14、應(yīng)力羅德參數(shù)與應(yīng)力羅德角,在? 平面上建立直角坐標(biāo)系Oxy，取y軸方向與?2軸在? 平面上投影2? 一致。矢量Op在坐標(biāo)軸1?上的投影長度為O?p1? = ?1，在2?上的投影長度為O?p2?= ?2，在3?上的投影長度為O?p3? = ?3。 矢量Op與x軸夾角為應(yīng)力羅德角??。,,,應(yīng)力羅德參數(shù)與應(yīng)力羅德角和應(yīng)力狀態(tài)特征角的關(guān)系,,,,,??,r?,,r?,應(yīng)力羅德參數(shù)與應(yīng)力羅德角,,,應(yīng)力羅德角

15、,應(yīng)力羅德參數(shù),,??——洛德角，? 平面上的剪應(yīng)力?? 與2?軸的垂線間的夾角；??——洛德參數(shù)， 。,應(yīng)力羅德參數(shù),-30? ? ?? ? 30? -1 ? ?? ? 1,,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力羅德角,【例】已知一點的主應(yīng)力?1 ＝3?2 ＝3?3，試求該點的應(yīng)力形式指數(shù)cos??、應(yīng)力羅德參數(shù)??、應(yīng)力狀態(tài)特征角??、應(yīng)力羅德角??，并在?平面（等傾面）上畫出兩個角度

16、之間的關(guān)系。,,,,,,,,如果?1 ＝3?3，?2 ＝2?3，則,?1 ＝3?2 ＝3?3,1-7 應(yīng)力張量的分解,一點的應(yīng)力狀態(tài)可以用6個應(yīng)力分量來表示，在給定的受力情況下，各應(yīng)力分量的大小與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)，而它們作為一個整體用來表示一點應(yīng)力狀態(tài)的這一物理量（稱為應(yīng)力張量）則與坐標(biāo)的選擇無關(guān)。所謂張量是指在坐標(biāo)變換時，按某種指定形式變化的量。張量的分量隨坐標(biāo)的變換而變化。應(yīng)力張量是二階張量。應(yīng)力張量是二階對稱張量。,,,,,應(yīng)力