離心率專項練習(xí)

1、離心率專項練習(xí) 1、 如圖， F1， F2 是橢圓 C1： x24＋y2＝1 與雙曲線 C2 的公共焦點， A，B 分別是 C1，C2 在第二、四象限的公共點．若四邊形 AF1BF2 為矩形，則 C2 的離心率是_____________． 【解析】本題考查橢圓、雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，簡單幾何性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、 數(shù)形結(jié)合思想、 函數(shù)與方程思想以及運算求解能力． 設(shè)雙曲線方程為x2a2－y2b2＝1(a>0，b&

2、gt;0)①，點 A 的坐標為(x0，y0)． 由題意得 a2＋b2＝3＝c2②，則|OA|＝c＝ 3， 所以? ? ? ? ?x20＋y20＝3，x20＋4y20＝4， 解得 x20＝83，y20＝13，又點 A 在雙曲線上，代入①得，83b2－13a2＝a2b2③，聯(lián)立②③解得 a＝ 2，所以 e＝ca＝ 62 ． 2、 設(shè)雙曲線 C 的中心為點 O，若有且只有一對相交于點 O，所成的角為 60° 的直線 A1B1和 A2

3、B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中 A1，B1 和 A2，B2 分別是這對直線與雙曲線 C 的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是__________． 【解析】本題主要考查雙曲線的離心率、直線與曲線的位置關(guān)系、不等式的性質(zhì)．設(shè)雙曲線的焦點在 x 軸上，則由題意知該雙曲線的一條漸近線的斜率 k(k>0)必須滿足 33b>0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，P 是 C 上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30

4、6; ，則 C 的離心率為____________． 【解析】本題主要考查橢圓離心率的計算，涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)等知識，意在考查考生的運算求解能力． 法一：由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ 3m，故離心率 e＝ca＝2c2a＝ |F1F2||PF1|＋|PF2|＝ 3m2m＋m＝ 33 . 法二：由 PF2⊥F1F2 可知 P 點的橫坐標為 c，將 x＝c 代入橢圓方程可解得 y＝

5、7; b2a ，所以|PF2|＝b2a .又由∠PF1F2＝30° 可得|F1F2|＝ 3|PF2|，故 2c＝ 3· b2a ，變形可得 3(a2－c2)＝【解析】設(shè)焦點為 F(± c,0)，雙曲線的實半軸長為 a，則雙曲線的離心率 e1＝ca，橢圓的離心率 e2＝ c2a，所以e1e2＝2. 9、 設(shè) F1，F(xiàn)2 是橢圓 E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點，P 為直線 x＝

6、3a2 上一點，△F2PF1 是底角為 30° 的等腰三角形，則 E 的離心率為__________． 【解析】由題意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2(32a－c)＝2c，∴3a＝4c，∴e＝34. 10、 設(shè)直線 l 過雙曲線 C 的一個焦點，且與 C 的一條對稱軸垂直，l 與 C 交于 A，B 兩點，|AB|為 C 的實軸長的 2 倍，則 C 的離心率為__________． 【解析】設(shè)雙曲線 C 的方程為x2a2－y2

7、b2＝1，焦點 F(－c,0)，將 x＝－c 代入x2a2－y2b2＝1 可得y2＝b4a2，所以|AB|＝2×b2a ＝2×2a.∴b2＝2a2.c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝ 3. 11、 設(shè)圓錐曲線 T 的兩個焦點分別為 F1，F(xiàn)2.若曲線 T 上存在點 P 滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線 T 的離心率等于____________． 【解析】設(shè)圓錐曲線的離心率為 e，因|P

8、F1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則①若圓錐曲線為橢圓，由橢圓的定義，則有 e＝ |F1F2||PF1|＋|PF2|＝ 34＋2＝12；②若圓錐曲線為雙曲線，由雙曲線的定義，則有 e＝ |F1F2||PF1|－|PF2|＝ 34－2＝32；綜上，所求的離心率為12或32. 12、 設(shè)雙曲線的一個焦點為 F ， 虛軸的一個端點為 B ,如果直線 FB 與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為___________．

9、【解析】不妨設(shè)雙曲線的焦點在 x 軸上，設(shè)其方程為：2 22 2 1( 0, 0) x y a b a b ? ? ? ? ，則一個焦點為 ( ,0), (0, ) F c B b ,一條漸近線斜率為：ba， 直線 FB 的斜率為： bc ? ， ( ) 1 b ba c ? ? ? ? ? ，2 b ac ? ? , 2 2 0 c a ac ? ? ? ，解得 5 12c e a? ? ? . 13、 橢圓2 22 2 1( ) x