泛函分析第七章-習題解答1-25

1、第七章第七章習題解答習題解答1設（設（X，d）為一度量空間，令）為一度量空間，令)(|)()(|)(0000??????????xxdXxxxSxxdXxxxU問的閉包是否等于的閉包是否等于？)(0?xU)(0?xS解不一定。例如離散空間（不一定。例如離散空間（X，d）。=，而，而=X。因此當因此當X多于多于)1(0xU0x)1(0xS兩點時，兩點時，的閉包不等于的閉包不等于。)1(0xU)1(0xS2.設是區(qū)間是區(qū)間上無限次可微函數(shù)的

2、全體，定義上無限次可微函數(shù)的全體，定義][baC?][ba)()(1)()(max21)()()()()(0tgtftgtfgfdrrrrbtarr?????????證明證明按成度量空間。成度量空間。][baC?)(gfd證明證明（1）若）若=0，則，則=0，即，即f=g)(gfd)()(1)()(max)()()()(tgtftgtfrrrrbta?????（2）)()(1)()(max21)()()()()(0tgtftgtfgfd

3、rrrrbtarr?????????)()(1)()()()(1)()(max21)()()()()()()()(0tgthtgthtgtftgtfrrrrrrrrbtarr?????????????)()(1)()(max21)()(1)()(max21)()()()(0)()()()(0tgthtgthtgtftgtfrrrrbtarrrrrrbtarr??????????????????=d（f，g）d（g，h）因此因此按成度量空

4、間。成度量空間。][baC?)(gfd3設B是度量空間是度量空間X中的閉集，證明必有一列開集中的閉集，證明必有一列開集包含包含B，而且，而且??nooo21。Bonn????1證明證明令是開集：設是開集：設，則存在，則存在，使，使nnnonnBxdBoo.211)(?????nox?0Bx?1。設。設則易驗證則易驗證，這就證明了，這就證明了是開集開集nxxd1)(10?0)(110???xxdn?noxU?)(0?no顯然顯然。若。若則

5、對每一個則對每一個n，有，有使，因此，因此Bonn????1nnox????1Bxn?nxxd1)(1?。因。因B是閉集，必有是閉集，必有，所以，所以。)(???????nxxnBx?Bonn????16.設，證明度量空間，證明度量空間中的集中的集f|當tB時f（t）=0為中的閉中的閉][baB?][baC?][baC集，而集集，而集A=f|當tB時，時，|f（t）|〈a（a0）為開集的充要條件是）為開集的充要條件是B為閉集。為閉集。?

6、?證明證明記E=f|當tB時f（t）=0。設。設，按中度量收斂于中度量收斂于f，即在，即在?Efn?nf][baC[a，b]上一致收斂于一致收斂于f（t）。設。設，則，則，所以，所以fE，這就證，這就證)(tfnBt?0)(lim)(?????tftfnn?明了明了E為閉集為閉集充分性。當充分性。當B是閉集時，設是閉集時，設fA。因。因f在B上連續(xù)而上連續(xù)而B是有界閉集，必有是有界閉集，必有，?Bt?0使。設。設。我們證明必有。我們證明

7、必有。設。設)(max)(0tftfBt??0)(0????tfaAfU?)(?，則若，則若，必有，必有，于是，于是)(?fUg?Bt????)()(tgtf，所以，所以，這樣就證明了，這樣就證明了A是開集是開集atftftgtftg??????)(||)(|)()(|)(|0?Ag?必要性。設必要性。設A是開集，要證明是開集，要證明B是閉集，只要證明對任意是閉集，只要證明對任意若.....21??nBtn0ttn??，必有，必有。)(

8、????nBt?0倘若倘若，則定義，則定義。于是對任意。于是對任意，因此因此Bt___0?||)(0ttatfo???Bt?attatfo????||)(0由于由于A是開集，必有是開集，必有，當，當C[a，b]且時，時，。定。定Atfo?)(0???f??)(0ffdAf?義，義，n=1，2。。。。。則。則)(0||)(00???????nttffdnn因此當因此當時，時，。但是。但是，此與，此與的必的必???||0ttnAfn?att

9、ttatfnnn??????||||)(00Afn?要條件：對要條件：對任意任意，有，有矛盾矛盾因此必有因此必有。Bt?atfn?)(Bt?07.設E及F是度量空間中的兩個集，如果是度量空間中的兩個集，如果，證明必有不相交開集，證明必有不相交開集O及GoFEd?)(分別包含分別包含E及F。證明證明設。令。令oFEd???)(2)(|2)(|??????FxdxGExdxo則且，事實上，若，事實上，若，則有，則有，所以存，所以存GFOE?