導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考壓軸題

1、導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考壓軸題導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考壓軸題2010年和2011年高考中的全國新課標(biāo)卷中的第21題中的第步，由不等式恒成立來求參數(shù)○2的取值范圍問題，分析難度大，但用洛必達(dá)法則來處理卻可達(dá)到事半功倍的效果。洛必達(dá)法則簡介：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；??lim0xafx????lim0xagx??(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g(x)≠0；(3)，????limxafxl

2、gx????那么=。????limxafxgx?????limxafxlgx????法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；??lim0xfx?????lim0xgx???(2)，f(x)和g(x)在與上可導(dǎo)，且g(x)≠0；0A????A????A??(3)，????limxfxlgx?????那么=。????limxfxgx??????limxfxlgx?????法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；?

3、?limxafx?????limxagx???(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g(x)≠0；(3)，????limxafxlgx????那么=。????limxafxgx?????limxafxlgx????利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：將上面公式中的x→a，x→∞換成x→∞，x→∞，，洛必達(dá)法則也成立?！?xa??xa??洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型?！?00??0??1?0?0

4、0???在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，○300??0??1?0?00???否則濫用洛必達(dá)法則會出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。○4二高考題處理1.(2010年全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)。2()1xfxexax????（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；0a?()fx（2）若當(dāng)時，求的取值范圍0x?()0fx?a原

5、解：原解：（1）時，，.0a?()1xfxex???()1xfxe??當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)減少，(0)x???()0fx?(0)x???()0fx?()fx(0)??在單調(diào)增加(0)??（II）()12xfxeax???由（I）知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故1xex??0x?，()2(12)fxxaxax????從而當(dāng)，即時，，而，120a??12a?()0(0)fxx??(0)0f?于是當(dāng)時，.0x?()0fx?由可得.從而當(dāng)時，1(

6、0)xexx???1(0)xexx????12a?，()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea?????????故當(dāng)時，，而，于是當(dāng)時，.(0ln2)xa?()0fx?(0)0f?(0ln2)xa?()0fx?綜合得的取值范圍為a12????????原解在處理第（原解在處理第（II）時較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：）時較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：另解另解:（II）當(dāng)時，，對任意實數(shù)a均在；0x?()0fx?()

7、0fx?令g(x)=()則，22ln11xxx??01xx????????22221ln121xxxgxx???????再令再令()，則，????221ln1hxxxx????01xx????12lnhxxxxx????，易知在上為增函數(shù)，且；故??212ln1hxxx???????212ln1hxxx???????0????10h???當(dāng)時，，當(dāng)x（1，）時，；(01)x???0hx???????0hx???在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

8、；故=0???hx???01??1????hx???1h?在上為增函數(shù)???hx??0??=0???1h當(dāng)時，，當(dāng)x（1，）時，?(01)x???0hx?????0hx?當(dāng)時，，當(dāng)x（1，）時，?(01)x???0gx??????0gx??在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)???gx??01??1??由洛必達(dá)法則知???2111ln1ln12121210221limlimlimxxxxxxgxxx?????????????????????，即k

9、的取值范圍為（，0]?0k??規(guī)律總結(jié)：規(guī)律總結(jié)：對恒成立問題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來的函數(shù)式的最值有點麻煩，利用洛必達(dá)法則可以較好的處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。自編：若不等式3sinxxax??對于(0)2x??恒成立，求a的取值范圍.解：應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng)(0)2x??時，原不等式等價于3sinxxax??.記3sin()xxfxx??，則43sincos2()xxxxfxx??

10、?.記()3sincos2gxxxxx???，則()2cossin2gxxxx???.因為()cossincos(tan)gxxxxxxx????，()sin0gxxx???，所以()gx在(0)2?上單調(diào)遞減，且()0gx?，所以()gx在(0)2?上單調(diào)遞減，且()0gx?.因此()gx在(0)2?上單調(diào)遞減，且()0gx?，故4()()0gxfxx??，因此3sin()xxfxx??在(0)2?上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則有32000