盧同善實(shí)變函數(shù)青島海洋大學(xué)出版社第二章習(xí)題答案

1、第二章習(xí)題答案第二章習(xí)題答案1.若，則.yyxxmm??且()()mmxyxy???特別的若，則xxm?()().mxyxy???證明證明：這實(shí)際上是表明是上的連續(xù)函數(shù).()xy?nnRR?利用三角不等式得到.()()()()()()()()0)mmmmmmmmxyxyxyxyxyxyxxyym??????????????????(2.證明：若，則，使得.???01xOx?????1??????011xOxO?證明：實(shí)際上取即可，因?yàn)榇?/p>

2、時(shí)對(duì)任意的，有)(0101xx????????11?xOx?，即.???????????)()()()(0110110xxxxxxxx??0xOx??3.證明以下三條等價(jià)：(1).(2).的任意鄰域中都有中的點(diǎn)；(3).存在中0xE?0xEE的點(diǎn)列收斂到.進(jìn)而，若，則存在，使得.??nx0x0xE?0??0()OxE????證明：注意到.（i）.若（1）成立，則或.若前者成立，顯EEE??0xE?0xE?然（2）成立；若后者成立，由極限

3、點(diǎn)的定義也有（2）成立.總之，由（1）推出0xE?（2）.(ii).若（2）成立，則對(duì)任意的，有，在其中任選一點(diǎn)記為.這樣n10()nOxE???nx就得到點(diǎn)列，使得，即（3）成立.??nxE?10()nnxx??(iii).設(shè)（3）成立.若存在某個(gè)使得，當(dāng)然有；若對(duì)任意的n0nxx?0nxxEE???n，都有，則根據(jù)極限點(diǎn)的性質(zhì)知.總之，（1）成立.0nxx?0xEE??5.證明：.ABAB???證明：因?yàn)?，所以??ABAB???.

4、????????????ABABABABABAABBAB???????????????6.在中，設(shè)，求.1R[01]EQ??EE解：[01]EE??性知道再由的任意性知道由此知道不是稠密的.Ey?yEryO?)(??cE由這個(gè)命題知道疏朗集的余集是稠密的但稠密集的余集不一定是疏朗的如.Q12.設(shè)，證明：是疏朗集的充要條件是任一閉區(qū)間中均有子閉區(qū)間與不相交.nRE?EE證明：因?yàn)槿我婚]區(qū)間中必含開(kāi)區(qū)間，而任一開(kāi)區(qū)間中也必含閉區(qū)間.13.證

5、明：疏朗集的余集必是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集.證明：由第11題知若是疏朗集，則是稠密集.而由于，故EcE)(EE???ccEE?，從而由是稠密集得到是稠密的.反例：和都是稠密集.cE)(cEQcQ14.構(gòu)造反例說(shuō)明：非稠密集未必是疏朗集，非疏朗集未必是稠密集.反例：]10[15.證明：中的非空閉區(qū)間不能表示成可數(shù)個(gè)疏朗集的并.1R證明：反證法.若否，設(shè)，其中都是疏朗集.利用12題，因疏????1][nnEba??nE1E朗，故

6、中有非空子閉區(qū)間，使且；同][ba][][11baba?111??ab111[]abE???樣，因疏朗，存在，使并且；一直下2E][][1122baba?2122??ab222[]abE???去，得到一列閉區(qū)間套，使得，，且??][nnbanabnn1??][][11nnnnbaba???.由數(shù)學(xué)分析中的閉區(qū)間套定理，存在唯一的含于所有的閉區(qū)[]nnnabE???][bax?間，并且成立，這與矛盾.??][nnba)(nExn?????

7、??1][nnEbax16.孤立集必是至多可數(shù)集.nRE?證明：令，則是有界集列，且，故只需要證明每(0)kEEOk????kE1kkEE????個(gè)是至多可數(shù)集即可.注意到也是孤立集并且有界，方便起見(jiàn)，不妨仍記為.kEkEkEE這樣，問(wèn)題轉(zhuǎn)為證明：有界的孤立集有界的孤立集是至多可數(shù)集是至多可數(shù)集.任取，由孤立性，存在ExE?使得()0x??.??(())OxxEx???（）得到滿足（）式開(kāi)球族.明顯的，和開(kāi)球族對(duì)等.對(duì)中??(()):O