8,9 知識(shí)小結(jié)(11)

1、1第八、九章第八、九章知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)一內(nèi)積一內(nèi)積１.定義:為上線性空間，上定義運(yùn)算（）:，V@VxyzV??k??@定義（xy），滿足?@（１）對(duì)稱性()()xyyx?（２）線性性，()()()xyzxzyz???()()kxykxy?（３）非負(fù)性，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí).()0xx?0x?稱為內(nèi)積空間當(dāng)時(shí)，稱為歐氏空間歐氏空間VdimVn????以下討論僅限于歐氏空間，即均設(shè)以下討論僅限于歐氏空間，即均設(shè)V為n維歐氏空間維歐氏空間，，

2、.||()xxx?()||dxyxy??()cos||||xyxy??注：在，定義內(nèi)積，即為典型的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積空間.n@()Txyxy?２.幾個(gè)不等式Cauchy－Schwarz不等式：等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)xy線性相關(guān)()||||xyxy?三角不等式：等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)xy夾角為０||||||xyxy???勾股定理：當(dāng)且僅當(dāng)，即xy正交，或xy＂垂222||||||xyxy???()0xy?直＂或時(shí).xy?二正交向量組二正交向量組1.定義：非零向

3、量組，滿足1mV????()0ijij????2.性質(zhì)：是非零正交向量組，必是線性無關(guān)組；反之，任一線性無關(guān)組1m???均可經(jīng)過Scht正交化為與之等價(jià)的正交向量組.三標(biāo)準(zhǔn)正交基三標(biāo)準(zhǔn)正交基１.定義：是一個(gè)基，滿足，1nV????1()0ijij????????ijij??12ijn??２.在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，向量的運(yùn)算被簡(jiǎn)化：11221()()()()nnnxxxxX???????????????3五歐氏空間同構(gòu)五歐氏空間同構(gòu)1.歐氏空間

4、V，W的同構(gòu):存在V，W的可逆線性映射使得對(duì)任意，?xyV?稱V，W歐氏空間同構(gòu)，為歐氏空間的同構(gòu)映射(()())()xyxy????2.等價(jià)命題：V，W為n維歐氏空間，.下列命題等價(jià)：()LVW??(1)保持內(nèi)積?(2)保持長(zhǎng)度；?(3)保持距離；?(4)是歐氏空間同構(gòu)；?(5)將V的任一標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)閃的標(biāo)準(zhǔn)正交基；?(6)將V的某一標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)閃的標(biāo)準(zhǔn)正交基；?(7)在VW的任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的表示矩陣為正交陣?(8)在VW的某一

5、標(biāo)準(zhǔn)正交基下的表示矩陣為正交陣?３.歐氏空間VW同構(gòu).（與內(nèi)積定義無關(guān)）?dimdimVW?４.＂模型＂:任一n維歐氏空間V必同構(gòu)于標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積空間.n@六正交變換與正交陣六正交變換與正交陣1.定義：若則稱為的正交變換()LV??xyV??(()())()xyxy????V若或則稱為正交陣nnQ??@TQQE?1TQQ??Q２.矩陣刻畫:是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則為1n???11()()nnQ????????Q正交陣因此，任一正交陣Q可視為某一正