01 第一節(jié) 中值定理

1、第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從第二章第一節(jié)的前言中已經(jīng)知道導(dǎo)致微分學(xué)產(chǎn)生的第三類問(wèn)題是“求最大值和最小值”.此類問(wèn)題在當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)實(shí)踐中具有深刻的應(yīng)用背景例如求炮彈從炮管里射出后運(yùn)行的水平距離(即射程)其依賴于炮筒對(duì)地面的傾斜角(即發(fā)射角).又如在天文學(xué)中求行星離開(kāi)太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近距離等.一直以來(lái)導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率在研究函數(shù)變化的性態(tài)中有著十分重要的意義因而在自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用.在第二章中我們介紹了微分學(xué)

2、的兩個(gè)基本概念—導(dǎo)數(shù)與微分及其計(jì)算方法.本章以微分學(xué)基本定理—微分中值定理為基礎(chǔ)進(jìn)一步介紹利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)例如判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性求函數(shù)的極限、極值、最大(小)值以及函數(shù)作圖的方法最后還討論了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.第一節(jié)中值定理中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系因而稱為中值定理.中值定理既是用微分學(xué)知識(shí)解決應(yīng)用問(wèn)題的理論基礎(chǔ)又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的一種理論性模型因而稱為微分中值定理.分布圖示

3、分布圖示★費(fèi)馬引理★羅爾定理★例1★例2★例3★例4★例5★拉格朗日中值定理★例6★例7★例8★例9★柯西中值定理★例10★例11★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題31內(nèi)容要點(diǎn)：內(nèi)容要點(diǎn)：一、羅爾定理羅爾定理：在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等即結(jié)論：在(ab)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得).()(bfaf?)(ba????.0)(???f注：羅爾定理的三個(gè)條件是十分重要的如果有一個(gè)不滿足定理的結(jié)論就可能不成立.分別舉

4、例說(shuō)明之.羅爾定理中這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制.拉格朗)()(bfaf?日在羅爾定理的基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步的研究取消了羅爾定理中這個(gè)條件的限制但仍保留了其余兩個(gè)條件得到了在微分學(xué)中具有重要地位的拉格朗日中值定理.區(qū)間和內(nèi).)21()32(例3(E02)證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.0155???xx證設(shè)則在上連續(xù)，且由介值定理115)(5????xxxf)(xf]10[.3)1(1)0(???ff存在使即為方程的小

5、于1的正實(shí)根.設(shè)另有使)10(0?x0)(0?xf)10(011xxx??.0)(1?xf因?yàn)樵谥g滿足羅爾定理的條件所以至少存在一點(diǎn)(在之間)，使得)(xf10xx?10xx但導(dǎo)致矛盾，故為唯一實(shí)根..0)(???f0)1(5)(4????xxf))10((?x0x例4設(shè)為滿足的實(shí)數(shù)試證明方程naaaa321?012)1(3121???????naaann?0)12cos(3coscos21?????xnaxaxan?在內(nèi)至少存在一個(gè)

6、實(shí)根.)20(?證作輔助函數(shù))12sin(1213sin31sin)(21xnanxaxaxfn???????顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故由羅爾定理知0)2()0(???ff)(xf]20[?)20(?至少存在一點(diǎn)使即)20(???0)(???f0)12cos(3coscos)(21???????????naaafn?從而題設(shè)方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.)20(?例5設(shè)在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)且證明:存在)(xf][ba)(ba.0)()(??bfa

7、f使成立.)(ba??)()(??ff??證從結(jié)論倒退分析知，可引進(jìn)輔助函數(shù))()(xexfx???由于易知在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，且0)()(??ba??)(x?][ba)()()(xxexfexfx???????因此，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使即)(ba)(ba??0)(????0)()(?????????efef因所以0???e).()(??ff??例6驗(yàn)證函數(shù)在上滿足拉格郎日中值定理并由結(jié)論求值.xxfarctan)(?]10[?解在上連