高考微專題函數(shù)轉(zhuǎn)化過程中定義的失真

1、第1頁(yè)高考微專題高考微專題—函數(shù)轉(zhuǎn)化過程中定義的失真函數(shù)轉(zhuǎn)化過程中定義的失真蓮塘一中李樹森導(dǎo)數(shù)的主要功效是刻畫函數(shù)的單調(diào)性，但有時(shí)函數(shù)在轉(zhuǎn)化過程中定義會(huì)失真，即新函數(shù)生成間斷點(diǎn)，這時(shí)研究函數(shù)圖象要特別嚴(yán)謹(jǐn)對(duì)待。如函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論過程可以先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化研究?jī)蓚€(gè)曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，但轉(zhuǎn)化的新函數(shù)有時(shí)出現(xiàn)定義失真現(xiàn)象，在我們用導(dǎo)數(shù)畫新函數(shù)草圖過程中會(huì)出現(xiàn)沒有關(guān)注新間斷點(diǎn)而做圖不準(zhǔn)導(dǎo)致出錯(cuò)?！纠}】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)求實(shí)數(shù)的取值范圍2()22l

2、nfxxaxax???a【過程分析】第一感覺直接求導(dǎo)入手，（），再分析導(dǎo)函數(shù)分22()222axaxafxxaxx??????0x?子，討論二次函數(shù)有無零點(diǎn)（要考慮在與函數(shù)極限）、有零點(diǎn)2()uxxaxa???()ux0x??x??（要考慮取點(diǎn)判斷函數(shù)值正負(fù)，較難），加上分類討論又是學(xué)生痛點(diǎn)，學(xué)生很難達(dá)到目標(biāo)。這時(shí)聰明的學(xué)生碰壁后就會(huì)考慮轉(zhuǎn)化為研究方程的根個(gè)數(shù)，再分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷原函數(shù)零點(diǎn)。解決問題需要的理論支撐：對(duì)于連

3、續(xù)函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程()()()fxgxhx??0[)x??在上解的個(gè)數(shù)，也等價(jià)于與在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；()()gxhx?0[)x??1()ygx?2()yhx?0[)x??【解析】方法一：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一實(shí)根，22lnxaxx?（）當(dāng)，此時(shí)，此時(shí)方程無實(shí)根，（不合題意）00ln0xx??0(01)x?當(dāng)，此時(shí)，此時(shí)轉(zhuǎn)化為00ln0xx??00(0)xxx???，（，）22lnxaxx?令，，則2(

4、)lnxgxxx?00(0)xxx???，（，）2(2ln1)()(ln)xxxgxxx???’再令，，則，且有()2ln1hxxx???00(0)xxx???，（，）2()10hxx???‘(1)0h?（學(xué)生這時(shí)容易忽略失真定義，會(huì)得錯(cuò)解：在時(shí)，，得在單調(diào)遞減；(01)x?，()0gx?’()gx(01)x?，當(dāng)時(shí)，，得在單調(diào)遞增；且(1)x??，()0gx?’()gx(1)x??，min()(1)1gxg??所以:當(dāng)即時(shí)曲線有唯一交

5、點(diǎn)即原函數(shù)有唯一零點(diǎn))21a?12a?實(shí)際上，函數(shù)含有生成的間斷點(diǎn)因此函數(shù)在處兩側(cè)的單調(diào)性要分開討論:()gx0(01)x?0xx?因此正解為：當(dāng)、時(shí)，，得在、遞減；0(0)xx?，0(1)x，()0gx?’()gx0(0)xx?，0(1)x，當(dāng)時(shí)，，得在單調(diào)遞增；(1)x??，()0gx?’()gx(1)x??，且時(shí)，；0x??()0gx?時(shí)，；0xx??()gx??時(shí)，；0xx??()gx???時(shí)，；x??()gx??第2頁(yè)且，得到

6、函數(shù)大致圖象(1)1g?根據(jù)數(shù)形結(jié)合，得實(shí)數(shù)的范圍是或a0a?12a?【評(píng)析】通過此題的錯(cuò)解和正解的比較，發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易忽略新構(gòu)造函數(shù)生成間斷點(diǎn)，在此點(diǎn)兩側(cè)的()gx單調(diào)性一定要記住必須分開討論。學(xué)生往往前面討論了間斷點(diǎn)，后續(xù)沒有深入研究函數(shù)圖像，思想上“想當(dāng)然了”，導(dǎo)致原函數(shù)圖像并未討論清楚就匆匆下結(jié)論，正好走進(jìn)了新生成的間斷點(diǎn)認(rèn)識(shí)的誤區(qū)。方法二：將對(duì)數(shù)函數(shù)放入分子優(yōu)化構(gòu)造函數(shù)，從而避開間斷點(diǎn)。問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一實(shí)根，當(dāng)時(shí)，得，但這不

7、是原函數(shù)零點(diǎn)（不合）22lnxaxx?（）0a?0x?當(dāng)時(shí)，即（），也即左右兩個(gè)函數(shù)有唯一交點(diǎn)0a?21ln2xxax?0x?令，得2ln()xxkxxx???(0)2431(1)2(ln)12ln()xxxxxxxkxxx???????再令，得（），()12lnrxxx???2()10rxx????0x?在上單調(diào)遞增，且()12lnrxxx???(0)??(1)0r?所以當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增；(01)x?()0rx?()0kx2ln()x

8、xkxx??當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減；(1)x??()0rx?()0kx2ln()xxkxx??又時(shí)，；時(shí)，0x??()kx???1x?()0kx?時(shí)，；且，得到函數(shù)大致圖象x??()0kx?(1)1k?根據(jù)數(shù)形結(jié)合，得實(shí)數(shù)的范圍是或a0a?12a?【評(píng)述】我們?cè)诨瘹w轉(zhuǎn)化、構(gòu)造新函數(shù)時(shí)要關(guān)注一些原則：（1）指數(shù)、對(duì)數(shù)混合，優(yōu)先指、對(duì)數(shù)分離；（2）構(gòu)造新函數(shù)盡可能讓分母結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，指數(shù)、對(duì)數(shù)盡可能放在新函數(shù)分母位置；（3）轉(zhuǎn)化過程中盡可能避免定義的