[學習]通信原理電子教案第7章信道編碼

1、第7章 信道編碼,知識要點 信道編碼對系統(tǒng)性能的影響 線性分組碼的概念、監(jiān)督矩陣、生成矩陣 循環(huán)碼的結(jié)構(gòu) 生成多項式,7.1概述,7.1.1 信道編碼的意義1. 波形編碼將數(shù)字信號的波形進行一定的變換，使它們的相關(guān)程度最小。衡量兩個波形s1(t)與s2(t)之間相關(guān)程度的參數(shù)是相關(guān)系數(shù)Es和Tb分別為碼元能量和周期兩個波形不相干兩個波形正交,,,,二進制正交信號的表示

2、,（1）1比特數(shù)據(jù)的編碼數(shù)據(jù)“1”和“0”用00和01這兩個正交碼字表達，表示成H1矩陣（2）2比特數(shù)據(jù)的編碼數(shù)據(jù)“00”、“01”、“10”和“11”用0000、0101、0011和0110這四個正交碼字表達，表示成矩陣H2,,,（3）3比特數(shù)據(jù)的編碼（4）比特數(shù)據(jù)的編碼 誤碼率,,,,,2. 結(jié)

3、構(gòu)化序列結(jié)構(gòu)化序列是在信息序列中加入一些多余的碼元，它們與信息碼元之間有著某種約束關(guān)系，利用這種關(guān)系就可以在接收端校驗信息碼元是否出錯，甚至直接糾正錯誤。這樣的多余碼元稱為冗余位或者監(jiān)督碼元。碼的簡單分類如下：（1）如果監(jiān)督元與信息元的函數(shù)關(guān)系是線性的，就稱此碼為線性碼或者線性分組碼，否則是非線性碼。（2）如果監(jiān)督元不但與本碼字的信息元有關(guān)，還與前面若干個碼字有關(guān)，就稱此碼為卷積碼，否則是分組碼。（3）根據(jù)碼的用途，可

4、將它們分成檢錯碼和糾錯碼。檢錯碼只能檢測錯誤；糾錯碼可以糾正錯誤。,碼的幾個定義如下：（1）碼長。碼字總的位數(shù)。例如，碼字1101001，碼長為7。（2）碼重。碼字中“1”的個數(shù)。上例中，碼重為4。（3）碼距。兩個等長碼字中，對應(yīng)位具有不同碼元的個數(shù)。如下圖中，碼距為3。*碼距也稱為漢明（Hamming）距離d。由等長碼字構(gòu)成的集合中，存在兩個碼字，它們的碼距為最小，稱之為最小漢明距離 dmin（4）編碼效率,,線

5、性分組碼的檢錯和糾錯能力概述如下：（1）檢測e個隨機錯誤，則要求； （2）糾正t個隨機錯誤，則要求； （3）糾正t個同時檢測 個隨機錯誤，則要求例7.1.1 有兩個許用碼字（00）和（11），它們的最小漢明距離dmin=2。試分析其檢錯和糾錯能力。解：由上述定理（1），這種碼可以檢測出1個錯。當譯碼器

6、收到（01）或者（10）時，雖然能夠檢測1個錯，但是卻無法知道原始碼字到底是（00）還是（11），所以它無法進行糾錯，這符合上述定理（2）,,,,,例7.1.2 有兩個許用碼字（000）和（111），它們的最小漢明距離dmin=3。試分析其檢錯和糾錯能力。解：它可以糾正1個錯誤，檢測2個錯誤。當接收碼字是（001）、（010）或者（100）時，譯為（000）；當接收碼字是（011）、（101）或者（110）時，譯為（111）。當傳送

7、出現(xiàn)2個錯時，譯碼器能夠發(fā)現(xiàn)錯誤，但卻無法糾正錯誤，如發(fā)為（000），收為（101），譯碼器譯為（111）；當傳送出現(xiàn)3個錯時，如發(fā)為（000），收為（111），譯碼器仍為（111），將造成漏檢。,7.1.2 信道特性與差錯控制方式1. 信道特性 （1）隨機信道。其中錯碼出現(xiàn)的位置是隨機的，而且彼此之間統(tǒng)計獨立。多數(shù)情況下是獨立的單個數(shù)據(jù)出錯，高斯白噪聲信道即具有這種特性。（2）突發(fā)信道。其中錯碼出現(xiàn)是成串的，大量的錯誤集中在很

8、短的一段的時間內(nèi)，即出現(xiàn)錯誤位之間的相關(guān)性較強，但是這種錯碼出現(xiàn)的頻率很低。通常將第一錯誤位與最后錯誤位的長度（中間可以有些正確位）稱為突發(fā)長度。脈沖干擾和衰落現(xiàn)象是產(chǎn)生突發(fā)錯碼的主要原因。（3）混合信道。既存在隨機錯碼又存在突發(fā)錯碼的信道，稱為混合信道。短波信道和對流層散射信道是混合信道的典型例子。,2. 差錯控制方式（1）前向糾錯FEC（Forward error correct）糾錯編碼經(jīng)過信道傳輸后，接收端通過譯碼能夠自

9、動發(fā)現(xiàn)并且糾正傳輸中出現(xiàn)的錯誤。這種方法的特點是實時性較好，編碼效率較低，對信道的適應(yīng)性較低，編譯碼設(shè)備較為復雜，但隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展，設(shè)備成本越來越低。（2）檢錯重發(fā)ARQ（Automatic retransmission request）發(fā)送端發(fā)送能夠檢錯的編碼，接收端收到信號后自動檢測，如果錯誤存在，則通知發(fā)送端重發(fā)。其特點是實時性較差，傳送效率較低，檢錯能力與信道干擾變化無關(guān)，設(shè)備較為簡單。這種方式在突發(fā)錯誤時較

10、為有效，主要在計算機數(shù)據(jù)通信中得到應(yīng)用。（3）混合糾錯HEC（Hybrid error correct）混合糾錯是前向糾錯和檢錯重發(fā)的結(jié)合。發(fā)送端發(fā)出的編碼不僅能夠檢測錯誤，還具有一定的糾錯能力。如果錯誤位在碼的糾錯能力之內(nèi)，就自動糾正；如果錯誤超出了碼的糾錯能力，則要求發(fā)送端重發(fā)。這種方式具有自動糾錯和檢錯重發(fā)的優(yōu)點，可達到較低的誤碼率，在雙向通信中得到廣泛的應(yīng)用。,差錯控制方式,7.1.3 信道編碼對系統(tǒng)性能的影響

11、7.1.4 幾種簡單的信道編碼方法1. 奇偶監(jiān)督碼奇偶監(jiān)督碼是在原信息碼后附加一個監(jiān)督元。奇偶監(jiān)督碼分為偶校驗和奇校驗兩種方式。,如果加上監(jiān)督元a0后，確保碼組中1的個數(shù)為偶數(shù)，這種方式稱為偶校驗碼。設(shè)碼長為n的碼字 ，對偶校驗碼，有 監(jiān)督碼可以通過下式獲得奇校驗碼的條件是a0可以通過下式獲得,,,,,,2. 行列監(jiān)督碼將要發(fā)送

12、的若干碼元信息排成一個方陣，方陣中的每一行為一個碼字，碼字的最后一位是監(jiān)督碼元，對該行碼元進行奇偶校驗；方陣中的每一列最后一位也是監(jiān)督碼元，對該列中的碼元進行奇偶校驗。行列監(jiān)督碼適合于檢測突發(fā)錯誤。因為突發(fā)錯誤常常成串出現(xiàn)，隨后有較長一段的無錯區(qū)間，所以在一行中可出現(xiàn)多個奇數(shù)或者偶數(shù)個錯碼。,,3. 恒比碼恒比碼中“1”的個數(shù)與“0”的個數(shù)之比保持恒定的比例。 3:2恒比碼4. 群計數(shù)碼群計數(shù)碼是

13、將信息碼元分組后，計算每個碼組中“1”的個數(shù)，然后在信息碼元后面附加上該數(shù)目的二進制表示作為監(jiān)督碼元,7.2線性分組碼,7.2.1 線性分組碼的編碼1. 線性分組碼概念 線性分組碼（n,k），n碼字長度，k信息元數(shù)。監(jiān)督元數(shù)為r=n-k。監(jiān)督元是由某些信息元按照模2相加的運算得到的，即監(jiān)督元與信息元是線性關(guān)系。例（7，3）分組碼（c6c5c4c3c2c1c0）,信息元（c6c5c4），監(jiān)督元（c3c2c1c0）,它們之間關(guān)系為,,

14、該（7，3）線性分組碼碼字 碼字的最小距離dmin=4，故它能檢測3個錯誤并且糾正2個錯誤。,,2. 線性分組碼的矩陣描述（1）監(jiān)督矩陣上述方程也可以表示為用矩陣表示為,,,,其中 ～監(jiān)督矩陣H的一般形式見式 （2）生成矩陣,,,,,上

15、式可記為 或者其中 ～生成矩陣,,,,7.2.2 線性分組碼的譯碼送入信道碼字譯碼器接收碼字信道干擾所以有譯碼器作運算

16、 S～校正子，S=0，傳輸無錯誤,,,,,,,當通信雙方確定了信道編碼后，監(jiān)督矩陣H和生成矩陣G隨之而定，接收端也知道H和G表達式。接收端收到接收碼字Y后，首先按照式S=YHT計算伴隨式，然后根據(jù)式S=EHT得知錯誤圖樣，最后由式Y(jié)=C E將發(fā)送碼字解出：例7.2.1 已知（7，4）的生成矩陣試求：（1）該碼的所有碼字；（2）監(jiān)督矩陣H；（3）接收碼字為[1101101]時的伴隨式

17、，它是有效碼字嗎？（4）說明該碼的糾錯和檢測能力。,,,（1）對于（7，4）碼，信息元個數(shù)為4，所以碼字可以由式C=[c6c5c4c3]×G求得。將信息元從0000到1111取值代入上式，得到所有（7，4）碼字：（2）由監(jiān)督矩陣與生成矩陣的表達式，可以寫出,,,,（3）譯碼器運算由于伴隨式不為零，所以傳輸有錯誤，該碼字不是有效碼字。 如按照表7.3所示（7，4）伴隨式與錯誤圖樣的對照

18、關(guān)系 ，可知對應(yīng)的錯誤圖樣為[00000001],所以正確碼字為（4）由碼字表可知，最小碼距是dmin=3，它可以檢測2位錯誤，糾正1位錯誤。,,,7.2.3 漢明碼*最小碼距為dmin=3的線性分組碼(n,k)=(2m-1,2m-1-m)稱為漢明碼，其中m為任何不小于2的整數(shù)。*對應(yīng)于m=2~6的漢明碼為（3，1）、（7，4）、（15，11）、（31，26）、（63，57）、（127，120）。*漢明碼是一類常用的線

19、性分組碼，它可以糾正單個錯誤。由于漢明碼的編譯碼簡單，容易實現(xiàn)，因此應(yīng)用廣泛。通常用于FEC系統(tǒng)，而不用于ARQ和HEC系統(tǒng)。其編碼效率,,7.2.4 交織碼 *將線性分組碼（n,k）的m個碼字排成一個m×n的碼陣，該碼陣稱為m深度為的交錯矩陣，也叫做交織碼的一個碼字，記做 (mn,nk)*交織碼的傳輸次序是每列自上而下、按列自左向右 。接收端的去交織則執(zhí)行相反的操作。*交織碼采用的目的在于糾正傳輸中比較

20、長的突發(fā)錯誤。通過交織技術(shù)，將突發(fā)錯誤均勻地分散到各個行碼中。交織技術(shù)是一種時間擴散技術(shù)，其作用是減小信道錯誤的相關(guān)性，將長突發(fā)錯誤離散成短突發(fā)錯誤*經(jīng)過交織后，每個（n,k）碼字的相鄰碼元之間相隔m-1個碼元。如果一個（n,k）碼可以糾正t個錯誤，交織深度為m時形成的(mn,mk)碼就能夠糾正所有長度不大于mt的單個突發(fā)錯誤，或者糾正t個長度小于m的突發(fā)錯誤。顯然，若要糾正較長的錯誤，可以通過增加交織深度m來實現(xiàn)。,,7.3循環(huán)碼,

21、7.3.1 循環(huán)碼的特點和碼多項式*當許用碼字經(jīng)過循環(huán)移動一位（無論向右還是向左）后，得到的碼字仍然是許用碼字中的一個。例 （7，3）循環(huán)碼,,碼多項式 例如表7.4中的碼字[1010011]，可以表示為7.3.2 生成多項式*在循環(huán)碼(n,k)中，除了全零碼字之外，再也沒有連續(xù)k位均為0的碼字，即連0的長度不超過k-1 *設(shè)前位均為0的碼字對應(yīng)的多項式為g(x)，那么g(x)的次數(shù)應(yīng)該是n-k *g(x)在循

22、環(huán)碼中的其他所有碼多項式中次數(shù)是最低的,,,,生成多項式* g(x)和碼長n一旦確定，整個循環(huán)碼就確定了 循環(huán)碼的碼多項式其中信息元多項式 *說明g(x)是xn+1因子 將碼字左移一位后仍是碼字，它的表達式是 ～xc(x)除以(

23、xn+1)即,,,,,,上式也可以用豎式表示為 ～余式碼多項式，遵循模2運算規(guī)則 （如xn+xn=0,x3+1=x3-1）碼字移位i位，相應(yīng)的碼多項式c(i)(x)是xic(x)除以(xn+1)后的余式 ，即

24、 ～q(x)是xic(x)除以(xn+1)得到的商式g(x)乘以xk，得,,,,,由于xkg(x)的次數(shù)為n，故上式中q(x)=1。而g(k)(x)是g(x)循環(huán)左移k次所得，所以它是g(x)的倍式，設(shè) g(k)(x)=u(x)g(x)，所以

25、 ～g(x)是xn+1的一個因子如果取g(x)=x+1，構(gòu)成的最簡單循環(huán)碼(n,n-1)；如果取g(x)=xn-1+xn-2+……+x+1 ，構(gòu)成的循環(huán)碼只有兩個碼字，全0和全1 x7+1的因式分解,,,例題7.3.1 當信息元為時，求（7，4）循環(huán)碼的輸出碼字。解：由題知，n=7，k=4，故生成多項式g(

26、x)次數(shù)應(yīng)該是n-k=3。可以查得對應(yīng)的兩個生成多項式信息元多項式兩個對應(yīng)的碼多項式 對應(yīng)的碼字分別是,,,,,,,,按照信息元m(x)和生成多項式g(x)直接求出的碼組不是系統(tǒng)碼。在上例中，求得的碼組前4位不是[1010]。系統(tǒng)碼要求碼字最左邊k位是信息元，隨后的n-k為監(jiān)督元，此時碼多項式可以用xn-k乘以m(x)，再加上監(jiān)督元多項式r(x)，即 由于上式除以g(x)，得,,,,,,例題7.3.2 試

27、編（7，3）循環(huán)碼，設(shè)g(x)=(x+1)(x3+x+1)=x4+x3+x2+1，已知信息元為[100] 解：①信息元多項式 m(x)=x2②③ ，所以余式為④碼多項式相應(yīng)的碼字為,,,,,,7.3.3 生成矩陣和監(jiān)督矩陣1. 生成矩陣即待編碼的信息元用行矩陣表示為,,,,非系統(tǒng)

28、循環(huán)碼的編碼輸出為Xn-k-i(i=0,1,…,k-1)除以生成多項式g(x)，得 ～ Xn-k+i+bi(x)是g(x)倍數(shù)，即Xn-k+i+bi(x)是碼多項式，所以系統(tǒng)生成矩陣,,,,,2. 監(jiān)督矩陣為了便于對循環(huán)碼的編譯碼，通常還定義監(jiān)督多項式：其逆多項式為監(jiān)督矩陣為