[學習]算法設計與分析—遞歸算法

1、第6章 遞歸算法,1,6.1 遞歸的概念6.2 遞歸算法的執(zhí)行過程6.3 遞歸算法的設計方法6.4 遞歸過程和運行時棧6.5 遞歸算法的效率分析6.6 遞歸算法到非遞歸算法的轉換6.7 設計舉例,6.1遞歸的概念,一、在日常生活中，遞歸一詞較常用于描述以自相似方法重復事物的過程。例如，當兩面鏡子相互之間近似平行時，鏡中嵌套的圖像是以無限遞歸的形式出現(xiàn)的。,2,德羅斯特效應（英語：Droste effect）是遞歸的一

2、種視覺形式。圖中女性手持的物體中有一幅她本人手持同一物體的小圖片，進而小圖片中還有更小的一幅她手持同一物體的圖片，依此類推。,3,二、在數(shù)學與計算機科學中，遞歸是指在函數(shù)的定義中使用函數(shù)自身的方法。例：第5個人的年齡比第4個的年齡大2歲，有4個人的年齡比第3個的年齡大2歲，有3個人的年齡比第2個的年齡大2歲，有2個人的年齡比第1個的年齡大2歲，第1個的年齡10歲。,4,例：階乘的定義。,5,6,在下面二種情況中存在算法調用自己的情況

3、：,（1）問題的定義是遞推的,階乘函數(shù)的常見定義是：,,7,也可定義為：,寫成函數(shù)形式，則為：,這種函數(shù)定義的方法是用階乘函數(shù)自己本身定義了階乘函數(shù)，稱上式為階乘函數(shù)的遞推定義式。,,8,（2）問題的解法存在自調用,一個典型的例子是在有序數(shù)組中查找一個數(shù)據(jù)元素是否存在的折半查找算法。 如下例中查找元素17。,,mid=(low+high)/2,9,6.2遞歸算法的執(zhí)行過程,例6-1 給出按照階乘函數(shù)的遞推定義式計算階乘函數(shù)的遞歸算法，并

4、給出n = 3時遞歸算法的執(zhí)行過程。 設計：按照階乘函數(shù)的遞推定義式計算階乘函數(shù)的遞歸算法如下：,long int Fact(int n){ int x; long int y; if(n < 0) //n < 0時階乘無定義 { printf(“參數(shù)錯！”); r

5、eturn -1; }  if(n == 0) return 1; else { y = Fact(n - 1); //遞歸調用 return n * y; }},10,為說明該遞歸算法的執(zhí)行過程，設計調用過程如下：,void main(void){

6、 long int fn;  fn = Fact(3);},上述代碼用實參n = 3調用了遞歸算法Fact(3)，而Fact(3)要通過調用Fact(2)、Fact(2)要通過調用Fact(1)、Fact(1)要通過調用Fact(0)來得出計算結果。Fact(3)的遞歸調用過程如下圖所示，其中，黑色實線箭頭表示函數(shù)調用，綠色虛線箭頭表示函數(shù)返回，此函數(shù)在返回時函數(shù)名將帶回返回值。,11,main()

7、 …… fn=Fact(3) ……,Fact (3) …… y=Fact (2) ……return 3*y,Fact (2) …… y=Fact(1) ……return 2*y,,,,,,,,,,,,遞歸調用的執(zhí)行過程：,Fact (1) …… y=Fact(0) ……return 1*y,Fact (0) …… ……r

8、eturn 1,,,,,,,,12,例6-2 給出在有序數(shù)組a中查找數(shù)據(jù)元素x是否存在的遞歸算法，并給出折半查找示意圖所示實際數(shù)據(jù)的遞歸算法的執(zhí)行過程?！　≡O計：算法的參數(shù)包括：有序數(shù)組a，要查找的數(shù)據(jù)元素x，數(shù)組下界下標low，數(shù)組上界下標high。當在數(shù)組a中查找到數(shù)據(jù)元素x時函數(shù)返回數(shù)組a的下標；當在數(shù)組a中查找不到數(shù)據(jù)元素x時函數(shù)返回-1。,13,遞歸算法如下：,int BSearch(int a[], int x, int

9、low, int high){ int mid;if(low > high) return -1;　　　//查找不成功 mid = (low + high) / 2;if(x == a[mid])return mid;//查找成功else if(x < a[mid]) return BSearch(a, x, low, mid-1);//在下半?yún)^(qū)查找elsereturn B

10、Search(a, x, mid+1, high);//在上半?yún)^(qū)查找},14,測試代碼設計如下：# include  main(void){ int a[] = {1, 3, 4, 5, 17, 18, 31, 33}; int x = 17; int bn;  bn = BSearch(a, x, 0,7); i

11、f(bn == -1) printf("x不在數(shù)組a中"); else printf("x在數(shù)組a的下標%d中", bn);},15,BSearch(a, x, 0,7)的遞歸調用過程如下圖所示，其中，實箭頭表示過程調用，虛箭頭表示過程的返回值。,BSearch(a, x, 0, 7) … mid=3 …return BSearch(a, x, 4, 7),

12、main() … x=17 … bn = BSearch(a, x, 0, 7),BSearch(a, x, 4, 7) … mid=5 …return BSearch(a, x, 4, 4),BSearch(a, x, 4, 4) … mid=4 …return 4,,,,16,6.3遞歸算法的設計方法,,遞歸算法既是一種有效的算法設計方法，也是一種有效的分析問題的方法。

13、遞歸算法求解問題的基本思想是：對于一個較為復雜的問題，把原問題分解成若干個相對簡單且類同的子問題，這樣較為復雜的原問題就變成了相對簡單的子問題；而簡單到一定程度的子問題可以直接求解；這樣，原問題就可遞推得到解。,17,,并不是每個問題都適宜于用遞歸算法求解。適宜于用遞歸算法求解的問題的充分必要條件是：（1）問題具有某種可借用的類同自身的子問題描述的性質；（2）某一有限步的子問題（也稱作本原問題）有直接的解存在。,18,,當一個問題存

14、在上述兩個基本要素時，設計該問題的遞歸算法的方法是：（1）把對原問題的求解設計成包含有對子問題求解的形式。（2）設計遞歸出口。,19,例6-3 設計模擬漢諾塔問題求解過程的算法。漢諾塔問題的描述是：設有3根標號為A，B，C的柱子，在A柱上放著n個盤子，每一個都比下面的略小一點，要求把A柱上的盤子全部移到C柱上，移動的規(guī)則是：（1）一次只能移動一個盤子；（2）移動過程中大盤子不能放在小盤子上面；（3）在移動過程中盤子可以放在A，B，C

15、的任意一個柱子上?！　栴}分析：可以用遞歸方法求解n個盤子的漢諾塔問題。,20,基本思想：1個盤子的漢諾塔問題可直接移動。n個盤子的漢諾塔問題可遞歸表示為，首先把上邊的n-1個盤子從A柱移到B柱，然后把最下邊的一個盤子從A柱移到C柱，最后把移到B柱的n-1個盤子再移到C柱。4個盤子漢諾塔問題的遞歸求解示意圖如下圖所示。,21,,,,,原柱 A 輔助柱 B

16、 目標柱 C,22,算法設計：首先，盤子的個數(shù)n是必須的一個輸入?yún)?shù)，對n個盤子,我們可從上至下依次編號為1,2,…,n；其次，輸入?yún)?shù)還需有3個柱子的代號,我們令3個柱子的參數(shù)名分別為fromPeg，auxPeg和toPeg；最后，漢諾塔問題的求解是一個處理過程，因此算法的輸出是n個盤子從柱子fromPeg借助柱子auxPeg移動到柱子toPeg的移動步驟，我們設計每一步的移動為屏幕顯示如下形式的信息：Move Di

17、sk i from Peg X to Peg Y這樣，漢諾塔問題的遞歸算法可設計如下：,23,void towers(int n, char fromPeg, char toPeg, char auxPeg){ if(n==1)//遞歸出口 { printf("%s%c%s%c\n", "move disk 1 from peg ",

18、 fromPeg, " to peg ", toPeg); return; } 　 //把n-1個圓盤從fromPeg借助toPeg移至auxPeg towers(n-1,fromPeg,auxPeg,toPeg);  //把圓盤n由fromPeg直接移至toPeg printf(&quo

19、t;%s%d%s%c%s%c\n", "move disk ", n, " from peg ", fromPeg, " to peg ", toPeg);  //把n-1個圓盤從auxPeg借助fromPeg移至toPeg towers(n-1,auxPeg,toPeg,

20、fromPeg);},24,測試代碼如下：#include  void main(void){ Towers(4, 'A', 'C', 'B');}程序運行的輸出信息如下：,25,Move Disk 1 from Peg A to Peg BMove Disk 2 from Peg A to Peg CMove Disk 1 from Pe

21、g B to Peg CMove Disk 3 from Peg A to Peg BMove Disk 1 from Peg C to Peg AMove Disk 2 from Peg C to Peg BMove Disk 1 from Peg A to Peg BMove Disk 4 from Peg A to Peg CMove Disk 1 from Peg B to Peg CMove Disk 2 fro

22、m Peg B to Peg AMove Disk 1 from Peg C to Peg AMove Disk 3 from Peg B to Peg CMove Disk 1 from Peg A to Peg BMove Disk 2 from Peg A to Peg CMove Disk 1 from Peg B to Peg C,26,結合本節(jié)和6.2節(jié)的討論，我們可總結如下：遞歸算法的執(zhí)行過程是不斷地自調用，直到

23、到達遞歸出口才結束自調用過程；到達遞歸出口后，遞歸算法開始按最后調用的過程最先返回的次序返回；返回到最外層的調用語句時遞歸算法執(zhí)行過程結束。,27,6.4遞歸過程和運行時棧,,對于非遞歸函數(shù)，調用函數(shù)在調用被調用函數(shù)前，系統(tǒng)要保存以下兩類信息： （1）調用函數(shù)的返回地址（從而能執(zhí)行下一語句）； （2）調用函數(shù)的局部變量值。 當執(zhí)行完被調用函數(shù)，返回調用函數(shù)前，系統(tǒng)首先要恢復調用函數(shù)的局部變量值，然后返回調用函數(shù)的返回

24、地址?！　∵f歸函數(shù)被調用時，系統(tǒng)要做的工作和非遞歸函數(shù)被調用時系統(tǒng)要作的工作在形式上類同，但保存信息的內容和方法不同。,28,保存內容：　 每一層遞歸調用所需要保存的信息構成一個工作記錄，通常包括如下內容：    （1）本次遞歸調用中的局部變量值；     （2）返回地址，即本次遞歸過程調用語句的后繼語句的地址；    （3）本次調用中與

25、形參結合的實參值，包括函數(shù)名、引用參數(shù)與數(shù)值參數(shù)等。,工作記錄,,局部變量 返回地址 參 數(shù),,,,,29,,保存方法:　　 遞歸函數(shù)被調用時，系統(tǒng)在運行遞歸函數(shù)前也要保存上述兩類信息。但因為遞歸的函數(shù)的運行特點，是最后被調用的函數(shù)要最先被返回，若按非遞歸函數(shù)那樣保存信息，顯然要出錯。 由于堆棧的后進先出特性正好與遞歸函數(shù)調用和返回的過程吻合，因此，高級程序設計語言利用堆棧保存遞歸函數(shù)調用的信息，系

26、統(tǒng)用于保存遞歸函數(shù)調用信息的堆棧稱為運行時棧。,,運行時棧示意圖,棧頂,棧底,30,遞歸函數(shù)被調用時，在每進入下一層遞歸調用時，系統(tǒng)就建立一個新的工作記錄，并把這個工作記錄進棧成為運行時棧新的棧頂；每返回一層遞歸調用，就退棧一個工作記錄。 因為棧頂?shù)墓ぷ饔涗洷囟ㄊ钱斍罢谶\行的遞歸函數(shù)的工作記錄，所以棧頂?shù)墓ぷ饔涗浺卜Q為活動記錄。,,工作記錄,活動記錄,,運行時棧示意圖,棧頂,棧底,我們以計算階乘的遞歸函數(shù)為例，說明遞歸函數(shù)調用

27、時運行時棧中工作記錄的變化過程。,31,long Fact( int n) { int x; long y; If n == 0 return 1; else { x = n-1; y = Fact(x); return n * y; }},由于函數(shù)的地址是系統(tǒng)動態(tài)分配的，調用函數(shù)的返回地址因此也是動態(tài)變化的，不好給出具體數(shù)值，故下圖中沒有給出調

28、用函數(shù)的返回地址。,32,運行時棧的變化過程,long Fact( int n) { int x; long y; If n == 0 return 1; else { x = n-1; y = Fact(x); return n * y; }},33,6.5遞歸算法的效率分析,我們先以斐波那契(Fibonacci)數(shù)列遞歸算法的執(zhí)行效率為例來討

29、論遞歸算法的執(zhí)行效率問題。 斐波那契數(shù)列Fib(n)的遞推定義是：如Fib(0)=0,Fib(1)=1,Fib(2)=1,Fib(3)=2,Fib(4)=3,Fib(5)=5,…,Fib(n)=,34,求第n項斐波那契數(shù)列的遞歸函數(shù)過程如下：,long Fib(int n){ if(n == 0 || n == 1) return n; //遞歸出口 else retur

30、n Fib(n-1) + Fib(n-2); //遞歸調用},35,求Fib(5)的遞歸計算過程如圖所示。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Fib(1),Fib(0),Fib(1),Fib(2),Fib(3),Fib(4),Fib(1),Fib(0),Fib(2),Fib(1),Fib(0),Fib(1),Fib(2),Fib(3),Fib(5),斐波那契數(shù)列Fib(5)的遞歸調用樹,36,為了計算Fib(5

31、)，需要先計算Fib(4)和Fib(3)；而計算Fib(4)又需要計算Fib(3)（再一次計算）和Fib(2)，… … . 由上圖可知，為了計算Fib(5)，需要計算1次Fib(4)，2次Fib(3)，3次Fib(2)，5次Fib(1)，3次Fib(0). 加上Fib(5)1次，所有的遞歸調用次數(shù)達到15次。（圖中15個點表示15次運算） 更一般地，設Fib(n)需要總的遞歸調用次數(shù)為NumCall(n)，

32、那么NumCall(n)等于多少？,NumCall(n)= NumCall(n-1)+ NumCall(n-2)+1NumCall(0)=1, NumCall(1)=1 可以求得NumCall的通項。也可以由下面的關系得到NumCall的通項。NumCall(n) = 2*Fib(n+1) - 1。 可以證明，計算斐波那契數(shù)列的遞歸函數(shù)Fib(n)的時間復雜度為O(2n)。,37,,計算斐波那契數(shù)列

33、Fib(n)問題，我們也可根據(jù)公式寫出循環(huán)方式求解的函數(shù)如下：,38,39,long Fib2(int n){ long int oneBack, twoBack, current; int i;  if(n == 0 || n == 1) return n; else { oneBack = 1;

34、twoBack = 0; for(i = 2; i <= n; i++) { current = oneBack + twoBack; twoBack = oneBack; oneBack = current; } return current;}},40,上述循環(huán)方式的計算斐波那契數(shù)列的函數(shù)Fib2(n)的時間復雜度為O(n)。對

35、比循環(huán)結構的Fib2(n)和遞歸結構的Fib(n)可發(fā)現(xiàn): 循環(huán)結構的Fib2(n)算法在計算第n項的斐波那契數(shù)列時保存了當前已經(jīng)計算得到的第n-1項和第n-2項的斐波那契數(shù)列，因此其時間復雜度為O(n)； 而遞歸結構的Fib(n)算法在計算第n項的斐波那契數(shù)列時，必須首先計算第n-1項和第n-2項的斐波那契數(shù)列，而某次遞歸計算得出的斐波那契數(shù)列，如Fib(n-1)、Fib(n-2)等無法保存，下一次要用到

36、時還需要重新遞歸計算，因此其時間復雜度為O(2n) 。,下面我們再看看漢諾塔的時間復雜度。設移動n個盤子的步數(shù)為H(n)，我們再看看示意圖。,41,42,,,,,這一步實際有H(n-1)步,這只需1步,這一步又需要H(n-1)步,故移動n個圓盤的總步數(shù)H(n)=H(n-1)+1+H(n-1) =2H(n-1)+1,原柱

37、 A 輔助柱 B 目標柱 C,即有 H(n)=2H(n-1)+1 S(1)=1可以解得：H(n)=2n-1因此漢諾塔的時間復雜度為O(2n) 。,43,,44,6.6遞歸算法到非遞歸算法的轉換,有些問題需要用低級程序設計語言來實現(xiàn)，而低級程序設計語言（如匯編語言）一般不支持遞歸，此

38、時需要采用問題的非遞歸結構算法。一般來說，存在如下兩種情況的遞歸算法。 （1）存在不借助堆棧的循環(huán)結構的非遞歸算法，如階乘計算問題、斐波那契數(shù)列的計算問題、折半查找問題等。 （2）存在借助堆棧的循環(huán)結構的非遞歸算法，所有遞歸算法都可以借助堆棧轉換成循環(huán)結構的非遞歸算法，如漢諾塔問題可以借助堆棧的循環(huán)結構實現(xiàn)非遞歸算法。,45,對于第一種情況，可以直接選用循環(huán)結構的算法。 對于第二種情況，可以把遞歸算法轉換成相應的非遞歸算法，

39、此時有兩種轉換方法：一種方法是借助堆棧，用非遞歸算法形式化模擬遞歸算法的執(zhí)行過程；另一種方法是根據(jù)要求解問題的特點，設計借助堆棧的循環(huán)結構算法。這兩種方法都需要使用堆棧，這是因為堆棧的后進先出特點正好和遞歸函數(shù)的運行特點相吻合。 通常，一個遞歸算法的模擬算法的復雜度與其本身的復雜度一樣。,46,例6-6 借助堆棧模擬系統(tǒng)的運行時進棧、出棧過程，把漢諾塔問題的遞歸算法轉化為非遞歸算法，并分析非遞歸算法的時間復雜度。,47,6.7設

40、計舉例,6.7.1 一般遞歸算法設計舉例,例6-5 設計一個輸出如下形式數(shù)值的遞歸算法。n n n ... n...... 3 3 3 2 21,48,問題分析：該問題可以看成由兩部分組成：一部分是輸出一行值為n的數(shù)值；另一部分是原問題的子問題，其參數(shù)為n-1。當參數(shù)減到0時不再輸出任何數(shù)據(jù)值，因此遞歸的出口是當參數(shù)n≤0時空語句返回。 void Display(int n)

41、 { int i;  for(i = 1; i 0) Display(n - 1);//遞歸  //n<=0為遞歸出口，遞歸出口為空語句 },49,例6-6 設計求解委員會問題的算法。委員會問題是：從一個有n個人的團體中抽出k (k≤n)個人組成一個委員會，計算共有多少種構成方法。問題分析：從n個人中抽出k(k≤n)個人的問題是一個組合

42、問題。即求組合數(shù)公式C(n,k)。由于要所用遞歸算法,大家容易想到公式:C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k),這個公式大家可以這樣理解:把n個人固定位置后，從n個人中抽出k個人的問題可分解為兩部分之和：第一部分是第一個人包括在k個人中，第二部分是第一個人不包括在k個人中。對于第一部分，則問題簡化為從n-1個人中抽出k-1個人的問題；對于第二部分，則問題簡化為從n-1個人中抽出k個人的問題。,50,當n=k或k=0時，該

43、問題可直接求解，數(shù)值均為1，這是算法的遞歸出口。因此，委員會問題的遞推定義式為：,int Comm(int n, int k){ if(n n) return 0;  if(k == 0) return 1; if(n == k) return 1; return Comm(n-1, k-1) + Comm(n-1, k); },51,

44、例6-7 求兩個正整數(shù)n和m最大公約數(shù)的遞推定義式為：,要求： （1）編寫求解該問題的遞歸算法； （2）分析當調用語句為Gcd(30, 4)時算法的執(zhí)行過程和執(zhí)行結果； （3）分析當調用語句為Gcd(5, 97)時算法的執(zhí)行過程和執(zhí)行結果； （4）編寫求解該問題的循環(huán)結構算法。,52,解：（1）遞歸算法如下： int Gcd(int n, int m) { if(n n) return Gcd

45、(m, n); else return Gcd(m, n % m); },53,（2）調用語句為Gcd(30, 4)時，因mn，遞歸調用Gcd(97, 5)；因m<n，遞歸調用Gcd(5, 2)；因m<n，遞歸調用Gcd(2, 1)；因m<n，遞歸調用Gcd(1, 0)；因m=0，到達遞歸出口，函數(shù)最終返回值為n=1，即5和97的最大公約數(shù)為1。,（4）循環(huán)結構算

46、法int Gcd2(int n, int m) { int tn, tm, temp; if (n n) { tn = m; tm = n; }else { tn = n; tm = m; } While tm != 0 { temp = tn; tn = tm; tm = temp %

47、 tm;} return tn;},54,55,6.7.2 回溯法及其設計舉例,回溯法是遞歸算法的一種特殊形式，回溯法的基本思想是：對一個包括有很多結點，每個結點有若干個搜索分支的問題，把原問題分解為對若干個子問題求解的算法。當搜索到某個結點、發(fā)現(xiàn)無法再繼續(xù)搜索下去時，就讓搜索過程回溯退到該結點的前一結點，繼續(xù)搜索這個結點的其他尚未搜索過的分支；如果發(fā)現(xiàn)這個結點也無法再繼續(xù)搜索下去時，就讓搜索過程回溯（即退回）到這個結點的前一