水力學講稿黃華版2014new3ecankao

1、2024/3/26,1,*水動力學課程參考書介紹①水波理論及其應用（鄒志利，科學出版社）②水波動力學基礎（吳云崗，陶明德，復旦大學出版社）③波浪對海上建筑物的作用（李玉成，滕斌 等，海洋出版社）,④ The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves (Chiang C, Mei 梅強中，A Wiley-Interscience Publication , New York),2024/3/2

2、6,2,水波動力學課程講義稿 第一章 基本方程與問題的近似提法 1.本課程所涉范疇 ----基本方程與近似方法、微幅波理論、水波與物體的相互作用、界面波理論、非線性波理論、波浪滲流力作用等。 2. 波浪問題的一般概念?、俨ɡ说某梢蚺c常見類型,3,------ 自然界存在大量波動現(xiàn)象。平衡水

3、介質受擾動時，產生初始速度或位移，在回復力作用下（重力或表面力）恢復平衡，由此產生波浪。 ------ 常見的波動現(xiàn)象包括風生波(陣風作用 )、涌浪(暴風停止后的余留,屬于水躍的一種)、潮汐波(太陽和月亮引力)、水躍(明渠流中水流速大于由障礙物所引起擾動--淺水重力波波速,形成水面突然躍起,如水庫泄水)、地震津波(海底搖蕩,可致海嘯)、瞬變波（擾動源運動非周期化，如投入水中石頭所激發(fā)的波動）、洪水波 、船行波及內波(海洋水表面受陽

4、光照射使表層升溫,在一定深度水層以下水溫不再升高,形成溫度突變的躍變層,該層面在上下方向微小擾動下,微小密度差使水體浮力變化而誘發(fā)或加劇該層面波動,形成二層海內波)。 ------波浪理論中常見分析類型包括微幅波、有限振幅波3 、淺水波（如橢圓余弦波和孤立波） 、內波 、船行波、瞬變波、破碎波及無規(guī)則波等。,2024/3/26,4,,,,,,,產生波動的要素：,介質,擾動源,恢復力,水 波,水,風、潮汐、地震、流場中的障礙物、

5、運動物體等,重力，表面張力,,,,,,,,,,,2024/3/26,5,,,,,,流體處于靜止狀態(tài)時，自由面是水平的。當流體質點受到某種擾動而離開平衡位置時，重力作為恢復力將使流體質點回到原來的平衡位置，但由于慣性，流體質點在回到平衡位置時，不會停下而是繼續(xù)運動，這樣重力又將發(fā)揮恢復力的作用，如此流體質點反復振蕩，在自由面上形成波浪。,2024/3/26,6,2024/3/26,7,2024/3/26,8,2024/3/26,9,20

6、24/3/26,10,,,,,,,近岸波變形,2024/3/26,11,,,,,,,波浪破碎,2024/3/26,12,,,,,,,近岸波破碎,2024/3/26,13,2024/3/26,14,,,,,,,波浪傳播折射與反射及繞射,2024/3/26,15,,,,,,,船運動興波,2024/3/26,16,船運動興波,2024/3/26,17,2024/3/26,18,2. 波浪問題的一般概念② 波浪問題研究的工程應用背景

7、 ---- 海面上波浪最大高度可達二三十米，對船舶、采油平臺和港口等海工設施可能產生較大的破壞，因而需對波浪載荷加以確定，對波浪的破壞作用加以預估。 ---- 在設計海工結構時，為確定波浪載荷，需確定使用期內建筑物可能遇到的最大海浪等波浪要素，為此需對海浪形成機理及海浪預報加以研究。 ---- 波浪要素確定后，為確定波浪載荷還需研究波浪的流體運動規(guī)律，因而需要建立和完善各種波浪理論。 ---- 應用各種波浪理論，

8、可進一步研究波浪與物體的相互作用問題，從而為結構的動力學特性分析提供重要數(shù)據(jù)。此外，波浪理論在波能利用問題研究中也十分重要。 ---- 波浪傳入淺水之后將引起海底泥沙運動，從而導致港口等海岸建筑物附近海岸的淤積或沖刷及航道的淤積，甚至對岸堤上建筑物的直接沖擊和破壞。因而近岸波浪作用理論的發(fā)展十分必要。,2024/3/26,19,例 大尺度海工結構波浪作用研究,隨著人類對海洋開發(fā)的不斷增長，海洋結構物的建造尺度也在不斷增大。例如在海上

9、石油鉆井平臺的設計中，很多都采用大直徑圓柱結構作為支撐物；在自升式重力平臺以及港口碼頭船錨錨碇的建造中，通常采用大型沉塊結構；在海洋半潛式平臺如水上碼頭或水上休閑運動場所和海洋網箱的建造中，都要用到浮筒結構。,2024/3/26,20,此外，防波堤（包括固立式和浮動式）也屬于淺水海域中的大尺度近岸海工結構物。例如前年啟動的一個千萬元級別的海洋工程重大項目（2010年國家海洋公益性行業(yè)科研項目“新型浮式防波堤關鍵技術應用示范”）所涉及的結

10、構就屬于典型的大尺度海工物體。,2024/3/26,21,海洋石油鉆探平臺,2024/3/26,22,,,,,,,波浪繞圓柱,2024/3/26,23,2024/3/26,24,2024/3/26,25,2024/3/26,26,,,,,,,波浪繞防波堤,2024/3/26,27,,,,,,,波浪繞防波堤,2024/3/26,28,例 波能利用 21世紀是海洋的世紀，人類從大海中利用資源已成為必然趨勢。其中海浪所蘊藏的波浪

11、能是一種取之不盡的可再生能源，有效利用巨大的海洋波浪能資源是人類幾百年來的夢想。 波浪能是以一種取之不竭的可再生清潔能源。 海洋中有豐富的波浪能和水，波浪能是指海洋表面波浪所具有的動能和勢能，波浪能具有能量密度高，分布面廣等優(yōu)點。它是一種最易于直接利用、取之不竭的可再生清潔能源。,氣動式波浪發(fā)電設施,2024/3/26,29,波能試驗實例 震蕩式波浪能發(fā)電裝置---裝置的原動力為波浪沖擊載荷，在波浪沖擊載荷的作用下，通過門板與門板后

12、的擋板之間的相互配合使門板做往復運動。與門板固連的豎軸與門板一起做往復轉動，該豎軸通過錐齒輪與水平橫軸連接將豎軸的往復轉動轉換為水平軸的雙向轉動。水平軸的雙向轉動輸入通過本裝置的一套棘輪機構轉換為單向轉動輸出，單向轉動輸出軸與鏈輪發(fā)條機構連接，并將能量貯存在發(fā)條中，發(fā)條由控制電路控制并通過鏈傳動與發(fā)電機相連最終實現(xiàn)本作品的發(fā)電的功能。,30,例 洞室爆破涌浪形態(tài)及作用研究,在水域旁進行洞室爆破，大量爆破拋擲體拋入水中時會產生涌浪。國內

13、有關資料有：1990年5月惠州深水港通用碼頭640 t定向拋擲爆破時，“爆破拋擲體掀起的涌浪高達5 m左右，并逐漸變低向外傳播，到2.5 km處約0.5 m高，兩岸涌浪爬高10～13 m，破壞了西側350 m珍珠養(yǎng)殖場的部分浮標，且有不少魚被拋擲體及飛石砸死和被涌浪涌至岸上?！?991年1月惠州港油制氣碼頭3300 t大爆破(芝麻州島大爆破)時，“產生的涌浪高達2．5 m左右，并向前推進，當遇到高3 m左右的碼頭時，涌浪爬高達6 m左右

14、。涌浪爬上碼頭后，有一股浪頭在碼頭上前進，將原留下的幾十座工棚全部推倒化為烏有。涌浪對海洋魚類也有影響，有不少小魚被涌上碼頭，但位于碼頭西側距爆區(qū)約800 m處的海洋生物實驗場卻安然無恙。,2024/3/26,31,實例： 程高山位于浙江省淳安縣縣城中，周圍建筑物密布。程高山土石方爆破工程為程高山安居工程前期場平工程中的開挖區(qū)爆破工程。在程高山洞室爆破中，有3次(一區(qū)、三區(qū)和六區(qū))因爆破破碎體拋入湖內而出現(xiàn)了涌浪。,一區(qū)洞室爆破平面布置

15、示意圖,2024/3/26,32,一區(qū)洞室爆破典型剖面圖,2024/3/26,33,一區(qū)前方水域縱深在700 m以上，側向岸線與拋擲方向垂直，由拋擲體形成的前向的涌浪能量受水面阻力的約束，在100 m左右就衰減成波浪，而沿湖岸向側向發(fā)展的涌浪形成潮涌式的沿岸涌浪，以大約3～5 m／s的速度順湖岸走向由南向北→東→南→北向前推進，浪高2 m有余，場面壯觀。涌浪沿岸行進距離在600 m以上。,2024/3/26,34,--- (相關結論)

16、涌浪的傳播距離通常比較遠，對水面船只、網箱的影響比較大。 要考慮涌浪對岸堤的沖刷及可能引起的岸堤上建筑物的陷落和破壞；涌浪上岸后水流對岸上建筑物的沖擊和破壞。必須預計和防范強度很大的涌浪對建筑物的毀滅性破壞情況的出現(xiàn)。,,2024/3/26,35,2024/3/26,36,2024/3/26,37,船模實驗水池,長*寬*深=108*7*3.5米,水池拖車（車速: 6.5m/s) The new tow carriage (5 Mar

17、ch 2001),波浪作用理論的研究發(fā)展與波浪實驗密切相關。,2024/3/26,38,,水池拖車（車速: 5m/s),2024/3/26,39,,Marine Basin,2024/3/26,40,2. 波浪問題的一般概念③ 波浪特征參數(shù) ---- 波浪的基本特征參數(shù)包括波幅A、波高H 、波長λ 、周期T、波速c (c= λ/T) 、波頻f ( f =1/T)、圓頻率ω(ω =2πf ) 、波數(shù)k ( k =2π/ λ) 、

18、波陡(H/λ) 、波面鉛垂位移η等。 -----波長λ：兩個相鄰波峰(谷)間的距離; 周期T：相鄰波峰(谷)通過一固定點的時間差; 波頻f：單位時間內出現(xiàn)的波的次數(shù); 圓頻率ω：單位時間內繞過的弧度(正弦波為最簡單實際的波形,一個周期對應的波形對應弧度為2π) ; 波數(shù)k :單位距離內含有波長的個數(shù)所對應的弧度。,2024/3/26,41,,,,,,波幅(wave amplitude): A 靜水深

19、(water depth): h波高(wave height): H = 2A 波傾角(wave slope): α波長(wave length): λ 波數(shù)(wave number): k = 2π/λ 波峰(crest)波谷(trough),,,α,Wave slope,,水平面,2024/3/26,42,,,,,,①水波問題的基本假定條件：,1）水是無粘性 (不考慮水粘性)

20、；2）水是不可壓縮流體；3）水波運動流場是無旋的。,水波問題是理想不可壓流體的無旋運動問題,水波問題必須服從不可壓勢流運動的基本控制方程,,,,,,3. 基本方程與定解條件,2024/3/26,43,3. 基本方程與定解條件② 水的流體質點運動方程 1）拉格朗日形式 ------ 2）歐拉形式 ------（利用 ）,2024/3/26,44,*拉格朗日

21、流體質點運動方程之推導 ----方程的一般形式： 式中, 為作用于單位質量流體上之體力。 分析：采用微元分析法，如圖示，在x軸方向由左右兩面 壓強差產生的合力為 同理，在y和z軸方向由壓強差產生的合力應分別為 故作用于微元體上對應的總合力為,2024/3/26,45,設作用于

22、微元體單位質量的體力為 ，則作用于微元體上的總體力為 ，另微元體加速度為 ，應用牛頓定律可得：即*上式也可直接由流體的納維—斯托克斯方程 (N-S方程)對于無粘流體，有 ，故有歐拉方程,2024/3/26,46,③連續(xù)方程 ------ 分析： 由質量守恒律:一個流體系統(tǒng)中的流體質量在運動過程中保持 不變。

23、按雷諾輸運定理，即在一固定空間（控制體）中流體質量 的減少率（單位時間內控制體中流體質量的減少）等于單位時間 內通過控制體表面流出的流體凈質量,也即有 對于不可壓流體,有 ,故 ,再由斯托克斯公式得,47,④ 調和方程(拉普拉斯方程) ------ 分析：引入亥姆霍茲定理（開爾文定理）：體力有勢的無粘正壓流體,沿任一條由相同質點構成的封閉線(流體線

24、)之環(huán)量不隨時間變化，由此可知，流體若開始流動時處處無旋，則以后時刻保持無旋。由此有： 故可取 代入連續(xù)方程 ，得 ⑤　伯努利方程（拉格朗日積分） ------,,2024/3/26,48,*參考件---無旋條件推導,開爾文定理,2024/3/26,49,2024/3/26,50,2024/3/26,51,*伯努利方程（拉格朗日積分）推導

25、對于無粘流體,引入歐拉方程 ,應用式 ,則有再設體力 有勢,則可定義一體力勢 使 。 當流體正壓時,可設有 ,即 ,相應即,52,又流體運動無旋,即

26、 ,則 且 ,則有若令 ,則仍有 及 ,故上式可改寫為3. 基本方程與定解條件 ⑤定解條件1)邊界條件 ---- 固定表面(如海底): ; ---- 自由表面 : (i) 運動學條件

27、 (ii) 動力學條件 ;若取 ,則仍有 及 ,故可改寫為

28、 ;若作一階近似有 及,2024/3/26,53,*固面條件及自由面運動學條件推導,,2024/3/26,54,,,,,,,自由面運動學條件中自由面位置 z = η 和速度勢均為未知，因此它是一個非線性方程，且與自由面的時間變化有關。更為困難的是，自由面運動學條件要在未知的自由面上滿足，而自由面位置本身是需要求解的。,,,,,,,流體速度分量,波面傾斜度,,,,,,,,,,2024/3/26,55,

29、,,,邊界條件(boundary conditions)歸納：,水底部條件(在 z = -h 上),自由面運動學條件(在 z = η上),自由面動力學條件(在 z = η上),,加上此方程構成定解問題,2024/3/26,56,2)初始條件 ----初始位移: 流體質點在重力作用下產生波動 ; 在有勢力作用下,流場保持無旋。 ----初始速度: 如瞬時附加壓強（一陣風等），其停止時刻即為初始時刻，由此產生

30、初始速度分布，由其產生的波動仍保持無旋。,分析：,57,4. 邊值問題的近似提法（Stokes一階與二階波問題提法）,,,,2024/3/26,58,,,,,？,2024/3/26,59,60,,,,,分析：,1）自由面條件的變換式,其中,進一步可有,2024/3/26,62,比較,,,另有：,*比較,,,,在z=0處展開,63,,,,另有：,2）泰勒展開定理,在,處展開為：,3）第一、二階波勢自由面條件式,1）自由面條件的變換式,分析

31、：,2024/3/26,64,,,代入,,,,2024/3/26,65,66,,,,4）第二階波勢自由面條件推導（1）,應用,可令,在,處展開：,代入上式，再由(A)，歸并 項可分別得：,將,,,和,,,67,,,,應用,再令,在,處展開為：,代入上式，再由(A)，歸并 項可分別得：,將,,,和,,,,4）第二階波勢自由面條件推導（2）,2024/3/26,68,,,,直接求解水波邊值問題十分困難的，因為：,1. 自由面運動學和動力

32、學條件都是非線性的。 2. 自由面運動學和動力學條件必須在未知的自由面上滿足。,1. 非線性的自由面運動學和動力學條件可以線性化。 2. 自由面運動學和動力學條件可以固定在靜水面上滿足。,微幅波(也稱Airy波，即波幅與波長相比為小量， ),,,,,,1.水波邊值問題的線性化,第二章 微幅波理論,2024/3/26,69,,,在微幅波情況下，波面起伏 η 是小量，波浪中流體質點的運動速度也是小量，它們自乘

33、或互乘所得的二階以上的項可作為高階小量而略去。由于 η 是小量，原來要在未知的自由面 z =η 上滿足的邊界條件也可以改在靜水面 z= 0 上來滿足。因此：,自由面運動學條件(在 z =η上),(在 z = 0 上),,,,,2024/3/26,70,,自由面動力學條件(在 z= η上),(在 z = 0 上),,,由自由面運動學和動力學條件(在 z = 0上)可以得到：,,,(在 z = 0 上),2024/3/26,71,,,,流場

34、動力學條件及壓力分布公式：,,,,,,動壓力(dynamic pressure),,,靜壓力(hydrostatic pressure),,,2024/3/26,72,,,,上面三個方程求解，可采用分離變量法對速度勢進行求解 (separation of variables)。Airy波速度勢的求解結果為：,當水深趨于無限，即 ，此時的速度勢為：,,,2.微幅波問題的數(shù)學解,73,,,,2）邊值問題

35、的求解（分離變量法）可令 ，代入方程分離變量,可得進一步設 ，為方便計，將 仍取 ，令可得：,1）定解（邊值）問題的提法,分析：,,右行波,,周期函數(shù),74,,,,分析（續(xù)）：對于 中的第一個方程，考慮 為周期函數(shù)，故須取 ，由此解得： 進一步求解 ，可

36、得： 代入 可得：,,右行波,2）邊值問題的求解,75,,,,分析（續(xù)）：故最終可得 再令 則 可取 ，再引入 ，代入條件得： ，即,2）邊值問題的求解,2024/3/26,76,,,由動力學條件，可得Airy波流場壓力分布為：,由自由面動力學條件，可得Airy波面為：,,,,2024/3/26,77,,

37、,,對Airy波的解，涉及四個參數(shù) (A, k, c,ω) ，實際上由于色散關系和波速公式，k和ω及(k, c,ω)是相互關聯(lián)的，因此只有兩個參數(shù)(A, k) 需要確定：,(1) Airy波是二維余弦曲線，因此也稱為線性簡諧波。,A 就是波幅(wave amplitude)，它的兩倍就是波高 H = 2A (wave height)。兩個相鄰波峰(crest)(或波谷(trough))之間的距離稱為波長λ(wave length)。

38、,,,A,H,λ,2024/3/26,78,,,(2) k 是波數(shù)(wave number)。,對簡諧波，令 t = 0，可得空間上周期變化的余弦函數(shù)：,利用一個周期對應波長 x =λ，可推得k即為波數(shù) （一個周期2π內所含波的個數(shù)）：,,對于,2024/3/26,79,,,(3) ω 是圓周頻率(frequency)。,對簡諧波，令 x = 0，可得時間上周期變化的余弦函數(shù)：,利用一個周期 (period) t = T = 1/f

39、，可知ω即為圓周頻率 （一個周期2π內波的振動次數(shù)）,,對于,2024/3/26,80,*波浪特征參數(shù) ---- 波浪的基本特征參數(shù)主要包括波幅A、波高H 、波長λ 、周期T、波速c (c= λ/T) 、波頻f ( f =1/T)、圓頻率ω(ω =2πf ) 、波數(shù)k ( k =2π/ λ) 、波陡(H/λ) 、波面鉛垂位移η等。 -----波長λ：兩個相鄰波峰(谷)間的距離; 周期T：相鄰波峰(谷)通過一固定

40、點的時間差; 波頻f：單位時間內出現(xiàn)的波的次數(shù); 圓頻率ω：單位時間內繞過的弧度(正弦波為最簡單實際的波形,一個周期對應的波形對應弧度為2π) ; 波數(shù)k :單位距離內含有波長的個數(shù)所對應的弧度。,2024/3/26,81,,,,(4) 波速 (wave velocity)，也稱相速(phase velcoity)。,波速 c 的定義：波長與波周期的比值，即在一個波周期內，完成經歷一個波長距離的速度，其公式為：,,2024/3

41、/26,82,,,,可得：,將Airy波的速度勢代入線性化的自由面條件，即將,Airy波速度勢,代入線性化自由面條件,(z = 0),,此即色散關系：,3.色散關系(dispersion relationship),2024/3/26,83,,,,通過色散關系，如果知道水深和波數(shù)，求圓周頻率比較容易；但如果知道圓周頻率和水深，要求解波數(shù)就比較困難?？刹捎孟旅鎯蓷l函數(shù)曲線相交的方法來求解。把色散關系改寫成：,,,3,,1,,1/25,20

42、24/3/26,84,,,,色散關系建立了水深、波長、波速、波數(shù)、圓周頻率的關系,反映了水波的重要特征，是水波的重要關系式。 以下對它再作進一步討論：,,2024/3/26,85,*深淺水條件范圍劃分及對應的色散關系,2024/3/26,86,,,,由于波速 ， 波數(shù) ，可以進一步把色散關系寫成：,先固定水深 h，來討論上面色散關系。即在一定

43、的水深 h 情況下，色散關系建立了圓周頻率(ω) 與波數(shù)(k) 的關系，,圓周頻率(ω),波數(shù)(k),,,,,因此通過色散關系，可建立波速(c) 與波長(λ) 的關系，即在一定的水深 h 情況下，,波速(c),波長(λ),,,,87,,,因此可以得到：,現(xiàn)在看水深變化情況。先討論深水波(deep water waves)。,,,如果 ，即 ，也就是

44、 ，那么,因此深水波的色散關系為：,由于 ，因此深水波也稱為短波(short waves)。,,色散波,88,,,現(xiàn)在看淺水波(shallow water waves)情況。,,,因此可以得到：,如果 ，即 ，也就是 ，一般認為當

45、 就是水深足夠小，此時有,因此淺水波的色散關系為：,由于 ，因此淺水波也稱為長波(long waves)。,,非色散波,2024/3/26,89,2024/3/26,90,,,,對于一定的波長， 是恒定的，隨著水深 h 增加，波速 c 增加。 因此 深水波的傳波速度快，淺水波的傳波速度慢。,對于一定的水深，

46、是恒定的，隨著波長λ增加，波速 c 增加。 因此 長波的傳播速度快，短波的傳播速度慢。,,,,,,,,,2024/3/26,91,,當水深一定，c隨波長增加而增加,另當波長一定，c隨水深增加而增加,,2024/3/26,92,,,通過速度勢和色散關系，可以求得流場速度：,4.流場速度(fluid velocity field),93,,2024/3/26,94,,,2024/3/26,95,,,在 z = 0 上的速度為：,由此

47、把速度改寫成：,,,2024/3/26,96,,,對深水波， ，有：,,2024/3/26,97,,,對淺水波， ，有：,,,,,幾個常用函數(shù)的特征：,99,,,Airy波特征：,100,,,設水質點 P 的坐標為 ，,它的平均位置為 ，,因此 P 點位置可以表示為：,由位移速度關系并根據(jù)泰勒展開

48、定理：,忽略小量并積分：,5.水質點的運動軌跡 (particle orbit),,2024/3/26,101,,,,同理可得：,積分后得：,在靜水面的平衡位置，有 ，得到：,,102,,,,水質點 P 的運動軌跡 (particle orbit)為：,其中：,,水質點的運動軌跡是一個橢圓，隨著水深增加，橢圓兩個軸長減少。,,,,103,,,,對深水波， ，橢圓的兩個軸長變?yōu)橐粋€：,水質點

49、的運動軌跡為一個圓，隨著水深增加，圓半徑減少。在自由面上的水質點的運動軌跡圓的半徑正好是波幅。,,,2024/3/26,104,2024/3/26,105,,,,2024/3/26,106,107,,,,對淺水波， ，橢圓的兩個軸長變?yōu)椋?水質點的運動軌跡為一個橢圓，橢圓的水平軸長保持不變，橢圓的垂直軸長隨著水深增加而線性遞減。在自由面上的水質點的運動軌跡橢圓的垂直軸長正好是波幅。,2024/3/26,108,

50、,,,2024/3/26,109,2024/3/26,110,,由線性化的動力學條件，知道壓力分布由動壓力和靜壓力組成：,6. 流場的壓力分布 (pressure field),,動壓,,,2024/3/26,111,,對深水波， ，有：,因此深水波的壓力分布為：,,對于深水波，動壓力部分隨著水深增加而衰減，動壓力主要在自由面附近起作用，其它地方還是靜水壓力分布。,,,2024/3/26,112,,對淺水波，

51、 ，有：,因此淺水波的壓力分布為：,,對于淺水波，壓力分布相當于靜水壓力分布，只是需要以實際的波面高度來計算靜水壓力。,,2024/3/26,113,,波能= 波勢能 (potential energy) + 波動能 (kinetic energy),,z,,,,,,,,,,,7.波能(wave energy),2024/3/26

52、,114,,① 波勢能 ：,對于無波浪靜水面， 單位面積水的勢能為：,有波浪時， 單位面積水的勢能為：,單位面積純波浪的勢能為：,,2024/3/26,115,,如果考慮Airy波，單位面積純波浪的勢能為：,純波浪在一個波長內單位寬的勢能平均值為：,,,116,,有波浪時， 單位面積水的動能為：,在一個波長內單位寬的動能平均值為：,② 波動能 ：,,,奧高公式,117,,利用左右及前后兩垂直側面上積分相互抵消，和水底部條件，可得到在一個

53、波長內單位寬的動能平均值為：,,其中已考慮Airy波線性化條件，另有,,,,,,,,,,,118,,所以，在一個波長內單位寬Airy波的動能平均值為：,最后可以得到Airy波一個波長內單位寬度的平均總波能為：,Airy波的勢能與動能相等，波能與波幅平方成正比，與水深無關。,,2024/3/26,119,,---- 按力學原理可知，波浪通過某一固定垂直平面的能量輸送率，應等于單位時間內作用在這一平面上的壓力對通過這一平面的流體所做的功。,

54、③能量輸送率（ wave energy propagation rate）,而單位時間內作用在一單位寬固定垂直平面上的壓力所做功（此即一個周期內作用在一單位寬固定垂直平面上的壓力對通過這一平面的流體所做功的平均值，也即單位時間內單位寬垂直平面一側向另一側所輸送能量）為：,,,120,,對Airy波，有,,2024/3/26,121,,代入可以得到：,,練習,,波群速度,,單位寬單位長波總能,,深水條件下為波速的一半,122,,把上式代入

55、波能傳播方程*，可得：,對照質量守恒方程，可以看出該方程即是波能守恒方程(Conservation of wave energy equation)。,如果波能 密度不隨時間變化，即 ， 則對任一固定 x 處沿水深的垂直平面，都有： 。,2024/3/26,123,,按力學原理可知，波浪通過某一固定垂直平面的能量輸送率，應等于單位時間內作用在這一平面上的

56、壓力對通過這一平面的流體所做的功，有：,參考件*波能傳播方程,2024/3/26,124,,由于,代入,得到波能傳播方程(Equation of wave energy propagation)：,參考件,2024/3/26,125,,如果波群速 cg 為常數(shù)，則波能方程變?yōu)椋?,,它表明在經過時間t 0后，原來在 x 處的波能移到了 x +cg t 0處，即波能在以波群速 cg 沿 x 方向傳播。,,2024/3/26,126,,

57、因此，波能是以波群速 cg 進行傳播的，即通過與波速垂直的固定平面的波能轉移速度等于波群速。,,,2024/3/26,127,,兩個波疊加的波群 ----由兩個波幅和傳播方向相同，波數(shù)和圓頻率非常接近的Airy波線性疊加所得波群。,設有兩個Airy波，波面起伏式為：,兩個Airy波線性疊加，可得：,其中：,8.波群速度(wave group velocity),,2024/3/26,128,波群的波長：,波群的周期：,波群的速度：

58、,,,波幅為多少？,2024/3/26,129,,由于Airy波的色散關系：,可以得到Airy波調制形成的波群的波群速：,( 1/2< B< 1),,,,練習,,,130,,對深水 ， ，有 B= 1/2，即,對淺水 ， ，有B= 1， 即,因此,,,,131,

59、,一系列波疊加的波群 ----由一系列波幅與波長相近且波數(shù)連續(xù)變化的Airy波線性疊加所得波群。,波群波面起伏式為：,其中：,代入上面的積分式，近似可得,可?。?132,,分析：由,其中：,，代入上面的積分式：,?。?,2024/3/26,133,,----Airy波遇到二維無限長直墻發(fā)生正反射，形成駐波。波勢和波面分別為：,9.水波的反射(wave reflection),① 正反射,2024/3/26,134,,Airy

60、波遇到二維無限長直墻發(fā)生正反射，反射波勢的邊值問題提法為：,分析：,其中：,,輻射條件，左行波,,135,,分析（續(xù)）：作為求解練習,可設（特征函數(shù)法）：,代入物面條件可得：,，則總波勢為：,136,,*參考件------方程“ ”的特征函數(shù)解,137,,*參考件------方程“ ”的特征函數(shù)解（續(xù)）,2024/3/26,138,,由速度分布，可以

61、知道在 x = 0 (或 kx =－nπ) 處，有：,即在 x = 0 (或 kx =－ nπ→ x =－(n/2)λ 處相當于一個物面。,2024/3/26,139,,可以知道在 kx =－(n+1/2)π 處，有：,即在 x =－(n+1/2)λ/2處形成節(jié)點。,由,2024/3/26,140,2024/3/26,141,,壓力分布式為：,直墻上單位長度的波浪作用力為：,,2024/3/26,142,,----斜向入射的Airy波遇

62、到二維無限長直墻發(fā)生斜反射，形成短峰波。波勢和波面分別為：,② 斜反射,,短峰波,2024/3/26,143,,壓力分布式為：,直墻上單位長度的波浪作用力為：,在 長的直墻上總波浪作用力為 。,零,2024/3/26,144,,當波的傳播方向與 x 軸有一定的角度，或波峰線和波谷線與 x 軸不垂直的情況，稱為斜平面波(oblique plane waves)。,2024/3/26,145,,假設平面行進

63、波的傳播方向 與 x 軸的角度為α，則由線性Airy波可得到平面行進波的波面：,,其中,2024/3/26,146,,由于只是在 xOy 平面有波的傳播方向改變，因此線性平面入射行進波的速度勢可以從Airy波理論直接得到：,,線性平面行進波的色散關系與Airy波的色散關系形式一致：,2024/3/26,147,,類似正反射波勢求解方法，斜反射波的速度勢為：,,相應波面為：,相應總波勢為：,2024/3/26,148,,Airy波遇到二維

64、無限長直墻發(fā)生斜反射，反射波勢的邊值問題提法為：,分析：,其中,,特征函數(shù)法求解可得,,可證反射勢已滿調和方程，其特征解為,,,*參考件------ “ ”的特征函數(shù)解,,,*參考件------“ ”的特征函數(shù)解（續(xù)）,,根據(jù)斜入射波勢解ｃ＝１,2024/3/26,151,2024/3/26,152,202

65、4/3/26,153,154,,---- ----在海岸工程中有時利用固定于海底的薄板作為簡單的防波堤設施，這種設施結構簡單，施工方便，在某些情況下可以起到良好的掩護海岸和港口作用。 Airy波正入射二維無限長透空直墻（薄板），形成水波正反射與透射。,10.水波的反射與透射,① 透空薄板的水波正入射,155,,Airy波遇到二維無限長透空薄板，除發(fā)生正反射，同時發(fā)生透射，邊值問題提法為：,分析：,，相應有：,,Darcy定理,15

66、6,,分析（續(xù)）：,其中由于薄壁只有橫向透水，薄壁內水平速,度與壓力差之間的關系為,,由此可得：,,具有長度量綱的材料系數(shù),,,透空系數(shù),,,分析（續(xù)）：現(xiàn)求解邊值問題，已知,代入物面條件，由 可得：,,,，可設,,,再由,,可得：,,158,,聯(lián)立（1）和（2）,可得,故,,,159,,因入射波勢最大振幅為,,,,，反射與透射波勢 最大振幅分別為,,，故反射

67、系數(shù)（反射波勢最大振幅與入射波,勢最大振幅之比）為,,而透射系數(shù)（透射波勢最大,振幅與入射波勢最大振幅之比）為,,能量耗散系數(shù)為,,（單位寬單位長的波能,與最大振幅的平方成正比）,,進一步由,可得各流域內對應的波面：,,密實防波堤波面最大值分布算式,正入射薄板之波面最大值分布圖,薄板透射波波面最大值分布算式,,思考題,正入射薄板之波面最大值分布圖,薄板正入射于反射迭加波波面最大值分布算式為何？,163,,Airy波斜入射二維無限長透空直

68、墻（薄板），形成水波斜反射與透射。,10.水波的反射與透射,② 透空薄板的水波斜入射,,Airy波遇到二維無限長透空薄板，除發(fā)生正反射，同時發(fā)生透射，邊值問題提法為：,分析：,，相應有：,165,,Airy波遇到二維無限長直墻發(fā)生斜反射，反射波勢的邊值問題提法為：,*參考件：,其中,,特征函數(shù)法求解可得,,類似密實防波堤斜反射勢的特征函數(shù)求解法,分析（續(xù)）：,，相應可設：,，已知：,,,利用物面透空條件,分析（續(xù)）：,（已知：