線性代數(shù)考研講義完整版

1、1考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)講義考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)講義目錄目錄第一講基本概念線性方程組矩陣與向量初等變換和階梯形矩陣線性方程組的矩陣消元法第二講行列式完全展開式化零降階法其它性質(zhì)克萊姆法則第三講矩陣乘法乘積矩陣的列向量和行向量矩陣分解矩陣方程逆矩陣伴隨矩陣第四講向量組線性表示向量組的線性相關(guān)性向量組的極大無關(guān)組和秩矩陣的秩第五講方程組解的性質(zhì)解的情況的判別基礎(chǔ)解系和通解第六講特征向量與特征值相似與對(duì)角化特征向量與特征值—概念計(jì)算與應(yīng)用相似對(duì)角化—判

2、斷與實(shí)現(xiàn)附錄一內(nèi)積正交矩陣施密特正交化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第七講二次型二次型及其矩陣可逆線性變量替換實(shí)對(duì)稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化慣性指數(shù)正定二次型與正定矩陣附錄二向量空間及其子空間附錄三兩個(gè)線性方程組的解集的關(guān)系附錄四0607年考題3a1(a1a2?an)或a2┆an請(qǐng)注意作為向量它們并沒有區(qū)別但是作為矩陣它們不一樣(左邊是1?n矩陣右邊是n?1矩陣).習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.(請(qǐng)注意與下面規(guī)定的矩陣的行向量和列向量概念的區(qū)

3、別.)一個(gè)m?n的矩陣的每一行是一個(gè)n維向量稱為它的行向量每一列是一個(gè)m維向量稱為它的列向量.常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣?yán)绠?dāng)矩陣A的列向量組為?1????2??n時(shí)(它們都是表示為列的形式!)可記A=(?1????2??n).矩陣的許多概念也可對(duì)向量來規(guī)定如元素全為0的向量稱為零向量零向量通常也記作0.兩個(gè)向量?和?相等(記作?=?)是指它的維數(shù)相等并且對(duì)應(yīng)的分量都相等.(2)線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置線性運(yùn)算是矩陣和向量所共有

4、的下面以矩陣為例來說明.加(減)法:兩個(gè)m?n的矩陣A和B可以相加(減)得到的和(差)仍是m?n矩陣記作AB(AB)法則為對(duì)應(yīng)元素相加(減).數(shù)乘數(shù)乘:一個(gè)m?n的矩陣A與一個(gè)數(shù)c可以相乘乘積仍為m?n的矩陣記作cA法則為A的每個(gè)元素乘c.這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算它們滿足以下規(guī)律:①加法交換律:AB=BA.②加法結(jié)合律:(AB)C=A(BC).③加乘分配律:c(AB)=cAcB.(cd)A=cAdA.④數(shù)乘結(jié)合律:c(d)A=(cd)A

5、.⑤cA=0?c=0或A=0.轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置:把一個(gè)m?n的矩陣A行和列互換得到的n?m的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置記作AT(或A?).有以下規(guī)律:①(AT)T=A.②(AB)T=ATBT.③(cA)T=cAT.轉(zhuǎn)置是矩陣所特有的運(yùn)算如把轉(zhuǎn)置的符號(hào)用在向量上就意味著把這個(gè)向量看作矩陣了.當(dāng)?是列向量時(shí)????T表示行向量?當(dāng)?是行向量時(shí)?T表示列向量.向量組的線性組合:設(shè)?1????2…?s是一組n維向量c1c2…cs是一組數(shù)則稱c1?1c2?2…cs