抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性總結(jié)及習(xí)題

1、試卷第1頁，總12頁抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性總結(jié)及習(xí)題抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性總結(jié)及習(xí)題一.概念概念:抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)如函數(shù)的定義域解析遞推式特定點的函數(shù)值特定的運算性質(zhì)等它是高中函數(shù)部分的難點也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函

2、數(shù)知識靈活運用的能力1、周期函數(shù)的定義：、周期函數(shù)的定義：對于()fx定義域內(nèi)的每一個x，都存在非零常數(shù)T，使得()()fxTfx??恒成立，則稱函數(shù)()fx具有周期性，T叫做()fx的一個周期，則kT（0kZk??）也是()fx的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫()fx的最小正周期。分段函數(shù)的周期：分段函數(shù)的周期：設(shè))(xfy?是周期函數(shù)，在任意一個周期內(nèi)的圖像為C:)(xfy???abTbax???。把)()(abKKTxxfy???軸

3、平移沿個單位即按向量)()0(xfykTa??平移，即得在其他周期的圖像：??bkTakTxkTxfy?????)(。?????????????bkTakTx)(bax)()(kTxfxfxf2、奇偶函數(shù)：、奇偶函數(shù)：設(shè)??????baabxbaxxfy)(??????或①若為奇函數(shù)；則稱)()()(xfyxfxf????②若為偶函數(shù)則稱)()()(xfyxfxf???。分段函數(shù)的奇偶性分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：、函數(shù)的對稱性：

4、（1）中心對稱即點對稱：）中心對稱即點對稱：①點對稱；關(guān)于點與)()22()(baybxaByxA??②對稱；關(guān)于與點)()()(baybxaBybxaA????③成中心對稱；關(guān)于點與函數(shù))()2(2)(baxafybxfy????④成中心對稱；關(guān)于點與函數(shù))()()(baxafybxafyb??????⑤成中心對稱。關(guān)于點與（函數(shù))(0)22(0)baybxaFyxF????（2）軸對稱：對稱軸方程為：）軸對稱：對稱軸方程為：0???

5、CByAx。①))(2)(2()()(2222BACByAxByBACByAxAxByxByxA?????????與點關(guān)于直線成軸對稱；0???CByAx②函數(shù)))(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy??????????與關(guān)于直線試卷第3頁，總12頁推論2:函數(shù))(xfy?與)2(xafy??圖象關(guān)于直線ax?對稱推論3:函數(shù))(xfy??與)2(xafy??圖象關(guān)于直線ax??對稱（三）（三）抽象函數(shù)的

6、對稱性與周期性抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性質(zhì)性質(zhì)2若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(

7、x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或2）當(dāng)a＝0時的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義定義1、若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義定義2、若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說明：說明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)）復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]f[g(x)]為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則f[g(f[g(－x)

8、]x)]＝f[g(x)]f[g(x)]而不是而不是f[f[－g(x)]g(x)]＝f[g(x)]f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]f[g(x)]為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則f[g(f[g(－x)]x)]＝－＝－f[g(x)]f[g(x)]而不是不是f[f[－g(x)]g(x)]＝－＝－f[g(x)]f[g(x)]。（2）兩個特例：）兩個特例：y＝f(xf(x＋a)a)為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則f(xf(x＋a)a)＝f(f(

9、－x＋a)a)；y＝f(xf(x＋a)a)為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則f(f(－x＋a)a)＝－＝－f(af(a＋x)x)（3）y＝f(xf(x＋a)a)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)y＝f(x)f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x＝a軸對稱（或關(guān)于點（軸對稱（或關(guān)于點（a，0）中心對稱））中心對稱）3、復(fù)合函數(shù)的對稱性、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關(guān)于直線x＝（b－a）2軸對

10、稱性質(zhì)性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關(guān)于點（（b－a）2，0）中心對稱推論推論1、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于y軸軸對稱推論推論2、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于原點中心對稱4、函數(shù)的周期性、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)