北京科技大學(xué)大學(xué)物理競(jìng)賽輔導(dǎo)

1、力學(xué)部分主要公式：,（1). 牛頓第二定律,（2). 角動(dòng)量定理,對(duì)于質(zhì)點(diǎn),角動(dòng)量,對(duì)于剛體,角動(dòng)量,(3). 保守力與勢(shì)能關(guān)系,(4). 三種勢(shì)能,重力勢(shì)能,彈性勢(shì)能,萬有引力勢(shì)能,(5). 保守力的特點(diǎn),作功與路徑無關(guān),(6).振動(dòng)的微分方程,圓頻率:,(7). 阻尼振動(dòng),l. 水平輕繩跨過固定在質(zhì)量為m1的水平物塊的一個(gè),小圓柱棒后，斜向下連接質(zhì)量為m2的小物塊，設(shè)系統(tǒng),處處無摩擦，將系統(tǒng)從靜止?fàn)顟B(tài)自由釋放，假設(shè)兩物塊,的運(yùn)動(dòng)方向

2、恒如圖所示，即繩與水平桌面的夾角,始終不變，試求,解：,畫隔離體圖，受力分析,列方程：,沿繩的方向加速度應(yīng)該相等：,解得：,例2. 質(zhì)量為M、半徑為R的光滑半球，其底面放在光滑水平面上。有一質(zhì)量為m的小滑塊沿此半球面滑下。已知小滑塊初始位置與球心聯(lián)線與豎直線成 角。系統(tǒng)開始時(shí)靜止。求小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度。,解：設(shè)半球面到圖示虛線位置時(shí)，小滑塊與豎直線夾角為,以地為參照系.,小滑塊對(duì)地的速度為,半球面對(duì)地的速度為,小

3、滑塊滑離半球面前繞球心的角速度為,小球速度：,水平方向動(dòng)量守恒,,系統(tǒng)機(jī)械能守恒：,解得：,例3：長(zhǎng)為,質(zhì)量為M的均質(zhì)重梯上端A靠在光滑的豎直,墻面上，下端B落在水平地面上，梯子與地面夾角為,一質(zhì)量也為M的人從B端緩慢爬梯，到達(dá)梯子中點(diǎn)時(shí),梯子尚未滑動(dòng)，稍過中點(diǎn)，梯子就會(huì)滑動(dòng)，求梯子與,地面之間的摩擦系數(shù),解：系統(tǒng)力平衡 力矩平衡,,,,,求得：,,例4：在水平地面上的一個(gè)桶內(nèi)成有水，桶的側(cè)面有個(gè),小孔，孔與水面相距

4、為,,,水從小孔,流出，求水從小孔流出時(shí)的速度。,解：在孔處取單位體積的小體元,體元左側(cè)面積為單位面積，受力等于,該處的壓強(qiáng),此體元 運(yùn)動(dòng)單位距離就可以流出,按照牛頓第二定律：,速度：,,右側(cè)面積為單位面積，受力,此體元經(jīng)受力,例5. 質(zhì)量為,長(zhǎng)為,的勻質(zhì)棒可繞固定的支點(diǎn)在豎直,平面內(nèi)運(yùn)動(dòng). 若棒在與水平線成,角位置從靜止開始,下落,試計(jì)算當(dāng)棒落到水平位置時(shí),作用于支點(diǎn)的力.,解: 由轉(zhuǎn)動(dòng)定理,這里,得到角加速度,表達(dá)式可寫成,兩邊積

5、分,得到,軸反力的兩個(gè)分量,和,,列出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程:,法線方向,切線方向,或?qū)懗?當(dāng),時(shí),得到,例6.,一長(zhǎng)為,的細(xì)麥桿可繞通過中心,的水平轉(zhuǎn)軸,在鉛錘面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)麥桿靜止于水平位置,一質(zhì)量與麥桿相同的甲蟲以速度,垂直落到麥桿的,,長(zhǎng)度處，落下后甲蟲立即向端點(diǎn)爬行。問為使,麥桿以均勻的角速度旋轉(zhuǎn)，甲蟲沿麥桿爬行的速度,多大？,解：,以麥桿和甲蟲為系統(tǒng),碰撞過程角動(dòng)量守恒，設(shè)碰后系統(tǒng)的角速度為,于是有：,解得：,碰后，當(dāng)甲蟲距軸心

6、為,時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,,作用在系統(tǒng)上的重力矩為：,據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理：,應(yīng)有：,即：,于是甲蟲的速度為：,,例7. 光滑水平面上有一半徑為,的固定圓環(huán),長(zhǎng)為,的勻質(zhì)細(xì)桿AB開始時(shí)繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn),C點(diǎn)靠在環(huán)上,,且無初速度.假設(shè)而后細(xì)桿可無相對(duì)滑動(dòng)地繞著,圓環(huán)外側(cè)運(yùn)動(dòng),直至細(xì)桿的B端與環(huán)接觸后彼此分離,,已知細(xì)桿與圓環(huán)間的摩擦系數(shù),處處相同,試求,的取值范圍.,,解:,設(shè)初始時(shí)細(xì)桿的旋轉(zhuǎn),角速度為,,轉(zhuǎn)過,角后,角速度為,.由于摩擦力,并不作功,

7、故細(xì)桿和圓環(huán),構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,應(yīng)有:,這里,解得:,細(xì)桿質(zhì)心C將沿著圓的漸開 線運(yùn)動(dòng),切向加速度為,法向加速度為,列出細(xì)桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程,,,不打滑的條件:,即,由于,所以,例8. 兩個(gè)均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為,和,開始時(shí)第一個(gè)圓盤以,的角速度旋轉(zhuǎn)，,第二個(gè)圓盤靜止，然后使兩盤水平軸接近，,求：當(dāng)接觸點(diǎn)處無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩圓盤的角速度,,,,,,,,,,,,,,,解：,受力分析：,,,,,,,無豎直方向上的運(yùn)動(dòng),以O(shè)1點(diǎn)為參考點(diǎn)，,計(jì)算

8、系統(tǒng)的外力矩：,作用在系統(tǒng)上的外力矩不為0，故系統(tǒng)的角動(dòng)量不守恒。,只能用轉(zhuǎn)動(dòng)定律做此題。,對(duì)于盤1：,阻力矩,兩邊積分,對(duì)于盤2：,兩邊積分,于是有：,不打滑條件：,接觸點(diǎn)處兩盤的線速度相等,可解得：,例9: 質(zhì)量為2m,半徑為R的均質(zhì)圓盤形滑輪,掛質(zhì)量分別為m和2m,的物體,,繩與滑輪之間的摩擦系數(shù)為,,問,為何值時(shí),繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng).,解: 受力分析:,列方程:,滑輪:,不打滑的條件:,由以上四式解得:,,,,,

9、,,,,,,,,,,,,,,繩中的張力分析,任取線元,此線元切向運(yùn)動(dòng)方程為：,,,,,,此線元法向運(yùn)動(dòng)方程為：,利用近似：,忽略二階無窮小量，得到：,兩式相除得到：,兩式相除得到：,解此方程得到：,當(dāng),時(shí)，,于是得到摩擦系數(shù)為：,例10 均勻圓柱體,從靜止沿斜面下滑,圓柱與斜面間摩擦系,數(shù)為µ,當(dāng)摩擦系數(shù)為某一臨界值時(shí),圓柱體恰純滾動(dòng)地向,下滾動(dòng), 求此,臨界值.,解:,,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程,轉(zhuǎn)動(dòng)定理,純滾動(dòng)條件:,解得:,例11.

10、 一個(gè)質(zhì)量為m 的衛(wèi)星圍繞著質(zhì)量為M,半徑為R,的大星體作半徑為 2R的圓周運(yùn)動(dòng).從遠(yuǎn)處飛來一個(gè),質(zhì)量為2m, 速度為,的小流星.恰好沿著,衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生激烈碰撞,結(jié)成,新的星體,作用時(shí)間非常短.假定碰撞前后位置的變化,可以忽略不計(jì), 新星的速度仍沿原來方向.,（1）試用計(jì)算表明新星的軌道類型,算出軌道的偏心率.,（2）如果小流星沿著衛(wèi)星速度的反方向發(fā)生如上的碰撞,給出新星體能否與大星體,M碰撞的判斷。,（1）解:,軌

11、道類型與新星,的機(jī)械能的正負(fù)有關(guān).,如果動(dòng)能大于勢(shì)能,,新星可以擺脫地球的,吸引,軌道成為非閉合的,如果動(dòng)能小于于勢(shì)能,,新星不能擺脫地球的,吸引,軌道成為閉合的,即橢圓軌道.可以用新星的機(jī)械,能的正負(fù)來判斷軌道的類型. 偏心率的定義為,為了計(jì)算碰后的機(jī)械能,首先要計(jì)算出碰后的速度.,設(shè)碰后新星速度為,碰撞過程動(dòng)量守恒.,碰前衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程為,求得碰前衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速度:,碰撞過程動(dòng)量守恒,求得碰后新星的運(yùn)動(dòng)速度:,此時(shí)的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)

12、動(dòng)的近地點(diǎn).,我們計(jì)算新星近地點(diǎn)的機(jī)械能,說明新星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng).,下面我們討論一下新星的機(jī)械能與遠(yuǎn)地點(diǎn)距離關(guān)系,新星運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒,得到,帶入遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式,此能量應(yīng)等于新星在近地點(diǎn)的機(jī)械能,解得,經(jīng)化簡(jiǎn)得到,偏心率,（2）解：反方向碰撞，設(shè)碰后新星體的速度為,碰前衛(wèi)星的速度:,質(zhì)量為m,碰前流星的速度:,質(zhì)量為2m,碰撞過程動(dòng)量守恒,求得碰后新星的運(yùn)動(dòng)速度:,此時(shí)的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)動(dòng)的遠(yuǎn)地點(diǎn).,我們計(jì)算新星遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能,

13、說明新星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng).,新星運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒,得到,帶入近地點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式,此能量應(yīng)等于新星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能,解得,經(jīng)化簡(jiǎn)得到,肯定與大星體相碰。,例12. 半徑為R的圓環(huán)繞鉛垂的直徑軸以?的角速度旋轉(zhuǎn),一細(xì)桿長(zhǎng)為,, 其兩端約束在圓環(huán)上可作無摩擦,的滑動(dòng),細(xì)桿的位置用OC與鉛垂線的夾角?表示，C為,細(xì)桿的質(zhì)心．試求細(xì)桿在圓環(huán)上的平衡位置，并分析,平衡的穩(wěn)定性．,解：以圓環(huán)為參考系，以細(xì)桿,質(zhì)心位于軸上時(shí)作為重力勢(shì)能,的0點(diǎn)，任

14、意位置時(shí)重力勢(shì)能為,,,,在細(xì)桿上任取線元,所受的慣性力（離心力）為,,,,此力作功與路徑無關(guān)，可用勢(shì)能減少,量描述．設(shè)軸上的離心勢(shì)能為０，,處的離心勢(shì)能,設(shè)為,，應(yīng)有,離心勢(shì)能為：,系桿總的有效勢(shì)能,平衡條件：,穩(wěn)定平衡條件：,非穩(wěn)定平衡條件：,由,求出三個(gè)平衡位置：,為討論平衡位置的穩(wěn)定性，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù),（１）?＝０時(shí),當(dāng),時(shí)，,取極小值，屬穩(wěn)定平衡,當(dāng),時(shí)，,取極大值，屬不穩(wěn)定平衡,（２）?＝?時(shí),取極大值，屬不穩(wěn)定平衡,（３）當(dāng)

15、,時(shí),因,，即,，或,所以當(dāng),時(shí)，,定屬于穩(wěn)定平衡．,例13. 水平彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為,，振子的,質(zhì)量為,,，水平阻尼力的大小與振子的運(yùn)動(dòng)速度成,正比比例系數(shù)為,，求形成低阻尼振動(dòng)的條件。,解：據(jù)牛頓第二定律，得到,或,設(shè)特解為,帶入（1）式，得到,得到,兩個(gè)特解,低阻尼（欠阻尼）情況，振子作衰減振蕩運(yùn)動(dòng)，,e 指數(shù)的變量必須是復(fù)數(shù)。需滿足條件,即：,,,,a.低阻尼（欠阻尼）：,b.臨界阻尼：,c.高阻尼（過阻尼）：,例14.