數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)_第九講_組合恒等式、組合不等式

1、1①⑤②③④⑥數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)第九講第九講組合恒等式、組合不等式知識、方法、技能Ⅰ組合恒等式組合恒等式競賽數(shù)學(xué)中的組合恒等式是以高中排列組合、二項式定理為基礎(chǔ)，加以推廣、補充而形成的一類組合問題.組合恒等式的證明要借助于高中常見的基礎(chǔ)組合等式.例如0)1(2321021011111??????????????????????????nnnnnnnnnnnnnmrmnmnmnrnrnrnrnrnrnrnnrnCCCCCCCCCCC

2、CCCrnCCCCCC??組合恒等式的證明方法有：①恒等變形，變換求和指標(biāo)；②建立遞推關(guān)系；③數(shù)學(xué)歸納法；④考慮組合意義；⑤母函數(shù).Ⅱ組合不等式組合不等式組事不等式以前我們見的不多，在其他一些書籍中組合不等式的著述也很少，但是近年來組合不等式的證明卻出現(xiàn)在國內(nèi)、國際大賽上.例如1993年中國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試第二大題為：設(shè)A是一個有n個元素的集合，A的m個子集A1，A2…，Am兩兩互不包含，試證：（1）???miAnIC1||113采用這

3、種辦法，我們可以從容斥公式得到另外一些組合不等式，只是要注意這些不等式的方向的變化.3利用抽屜原則利用抽屜原則由于抽世原則的結(jié)論本身就是組合不等式關(guān)系，所以我們利用抽屜原則，巧妙構(gòu)造抽屜的方法證明組合不等式.4利用組合分析利用組合分析在復(fù)雜的組合計數(shù)問題、離散極值問題等問題中，會出現(xiàn)一些組合不等式，這時可運用組合分析方法證明之.賽題精講例1證明：??????nknknnnnC0122!!2)!2(2【分析】把，變換求和指標(biāo).??????

4、?????nnkknnnkknnkknnkknCCCC21221220202而對于變形為【證明】，knjCCCCCnnkknnnkknnnnkknnkknnkkn???????????????????22212212221220202令對于和式則.202022102212nnnkknnjnnjnnjjnnnkknCCCCCC???????????????所以.2202202nnnkknnnkknCCC???????即，從而有nnnnkk