第五章留數定理

1、第五章第五章留數定理留數定理（38）一、內容摘要1留數留數：設以有限點a為孤立奇點，則在a點的某無心領域內可以展成()fz洛朗級數：，。我們稱此展式中的系數0()()kkkfzazz???????0zaR???1za?為在a的留數留數，記為1a?()fz??0Reszzfz?2留數定理留數定理：設函數在回路所圍區(qū)域B上除有限個孤立奇點外解析，??fzl在回路上連續(xù)，則l??????12ResResnlfzdzifzfz?????????

2、?A3將留數公式推廣到無窮遠點將留數公式推廣到無窮遠點：設為的一個孤立奇點，則在圓環(huán)?()fz()fz內解析，設為圓環(huán)內任一條繞原點的簡單正向閉曲線，定義Rz????l，為順時針方向，取為逆時針方向。對于無11Res()()2lffzdzbi????????Al?l窮遠點的鄰域來說，才是該領域邊界的正方向。也即在的留數等于它l?()fz?在點的去心鄰域內洛朗展開式中的系數變號。即其中的圍道?Rz????1z?沿順時針繞原點一周。在圍道外

3、除外別無奇點。l?l???z4留數和定理：留數和定理：設函數在擴充復平面上除了有限遠點以及??fz(12)kzkn????以外處處解析，則有z??1Res()Res()0nkkfzf?????5求留數的一般方法求留數的一般方法：1）解析點的留數為0，即泰勒展開式與洛朗展開式一樣，無負一次項。2）直接求Laurent展開式的負一次項系數。3）判斷極點類型，可去奇點的留數為0，本性奇點用洛朗展開式中的階極點和一階極點的留數為。1bm?010

4、1011()lim()()(1)!mmmzzdresfzbzzfzmdz????????????01()sinRes()kkfxmxdxFa???????其中()()(0)imzFzfzem??3）實軸上有奇點的情形。定理：定理：在實軸上有有限個一階極點，在上半平面有有限??fz??12jajm??個孤立奇點.而且在包括實軸的上半平面中當時一??12kbkn??z????zfz致趨于零則有.??????112nmkjkjfxdxires

5、fbiresfa????????????二、習題1填空題（1）在本性奇點處的留數___________.則1()zfze?=0zRes()fz?2()1izefzz??=__________Res()fi（2）=_________，=___________2=2=1zzeIdzz??A3=1cos=zzIdzz?（3）則___________則20=11cosdIaa????=I220cos=xIdxxb??__________=I2求