美籍華裔數(shù)學(xué)家

1、美籍華裔數(shù)學(xué)家、中國(guó)南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)陳省身教授，在慶祝自然科學(xué)基金制設(shè)立15周年和國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)成立10周年之際，以《中國(guó)的數(shù)學(xué)》為題發(fā)表講演。以下是這篇演講的全文，特此刊出，以饗讀者。中國(guó)的數(shù)學(xué)幾件數(shù)學(xué)新聞和對(duì)于中國(guó)數(shù)學(xué)的一些看法陳省身張存浩先生要我講點(diǎn)數(shù)學(xué)，這么短的時(shí)間，而數(shù)學(xué)這么大，只好舉幾個(gè)要點(diǎn)談?wù)?。?shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是根據(jù)某些假設(shè)，用邏輯的推理得到結(jié)論，因?yàn)橛眠@么簡(jiǎn)單的方法，所以數(shù)學(xué)是一門(mén)堅(jiān)固的科學(xué)，它得到的結(jié)論是

2、很有效的。這樣的結(jié)論自然對(duì)學(xué)問(wèn)的各方面都很有應(yīng)用，不過(guò)有一點(diǎn)很奇怪的，就是這種應(yīng)用的范圍非常大。最初你用幾個(gè)數(shù)或畫(huà)幾個(gè)圖就得到的一些結(jié)論，而由此引起的發(fā)展卻常常令人難以想象。在這個(gè)發(fā)展過(guò)程中，我認(rèn)為不僅在數(shù)學(xué)上最重要，而且在人類(lèi)文化史上也非常突出的就是Euclid的《幾何原本》。這是第一本系統(tǒng)性的書(shū)，主要的目的是研究空間的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以從很簡(jiǎn)單的公理用邏輯的推理得到。這是一本關(guān)于整個(gè)數(shù)學(xué)的書(shū)，不僅僅限于幾何學(xué)。例如，Euclid書(shū)

3、上首先證明素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的，這便是一個(gè)算術(shù)的結(jié)論。隨著推理的復(fù)雜化，便有許多“深刻“的定理，需要很長(zhǎng)的證明。例如，有些解析數(shù)論定理的證明，便需幾十條引理。最初，用簡(jiǎn)單的方法證明幾個(gè)結(jié)果，大家很欣賞，也很重要。后來(lái)方法發(fā)展了，便產(chǎn)生很復(fù)雜的推理，有些定理需要幾十頁(yè)才能證明?，F(xiàn)在有的結(jié)果的證明甚至上百頁(yè)，上千頁(yè)?？吹竭@么復(fù)雜的證明，我們固然驚嘆某些數(shù)學(xué)家高超的技巧和深厚的功力，但心中難免產(chǎn)生一些疑問(wèn)，甚或有些無(wú)所適從的感覺(jué)。所以我想，日后

4、數(shù)學(xué)的重要進(jìn)展，在于引進(jìn)觀念，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。先講講有限單群的問(wèn)題。1.有限單群我們知道，數(shù)學(xué)的發(fā)展中有一個(gè)基本觀念群。群也是數(shù)學(xué)之中各方面的最基本的觀念。怎樣研究群的結(jié)構(gòu)呢？最簡(jiǎn)單的方法是討論它的子群，再由小的群的結(jié)構(gòu)慢慢構(gòu)造大一些的群。群中最重要的一種群是有限群，而有限群是一個(gè)難極了的題目，需要有特別的方法，特別的觀念去研究。命G為群，g∈G為一子群，如對(duì)任何g∈G，g1Hg∈H，則稱(chēng)H為正規(guī)的(nmal)。正規(guī)子群存在，可使G的研究變

5、為子群H及商群GH的研究。這樣就有一個(gè)很自然的問(wèn)題，有哪些有限的單群(simplegroup)？單群除了它自己和單位元(identity)之外，沒(méi)有其他的非平凡的正規(guī)子群(nmalsubgroup)。數(shù)學(xué)上稱(chēng)其為簡(jiǎn)單群，其實(shí)一點(diǎn)也不簡(jiǎn)單。有限群論的一個(gè)深刻的定理是FeiThompson定理：非交換單群的階(數(shù))(即群中元素的個(gè)數(shù))是偶數(shù)。更不尋常的是除了某些大類(lèi)(素?cái)?shù)階循環(huán)群Zp，交錯(cuò)群An(n=5)，Lie型單群)外，后來(lái)發(fā)現(xiàn)了26個(gè)

6、零零在已經(jīng)有了一個(gè)完全的證明。整個(gè)文章發(fā)表在最近一期的“AnnualsofMathematics“(Princeton大學(xué)雜志，1996，第一期)，整個(gè)一期登的是Wiles與Tayl的論文，證明Fermat定理(Wiles為此同RobertLangls獲得了1996年的Wolf獎(jiǎng)與NationalAcademyScienceAwardinMathematics)。有意思的是，證明這個(gè)定理的關(guān)鍵是橢圓曲線。這是代數(shù)數(shù)論的一個(gè)分支。有以下一

7、則故事：英國(guó)的大數(shù)學(xué)家G.H.Hardy(18771947)有一天去醫(yī)院探望他的朋友，印度天才數(shù)學(xué)家S.A.Ramanujan(18871920)。Hardy的汽車(chē)號(hào)是1729。他向Ramanujan說(shuō)，這個(gè)數(shù)目沒(méi)有意思。Ramanujan說(shuō)，不然，這是可以用兩種不同方法寫(xiě)為2個(gè)立方之和的最小的數(shù)，如1729=13123=93103這結(jié)果可用橢圓曲線論來(lái)證明。我們知道，要找一個(gè)一般方程的解不容易的，而要找一個(gè)系數(shù)為整數(shù)的多項(xiàng)式方程P(x

8、y)=0(傳統(tǒng)上叫Diophantine方程)的整數(shù)解更困難。因?yàn)槠胀ǖ慕獠粫?huì)是整數(shù)，這是數(shù)論中的一個(gè)主要問(wèn)題。需要說(shuō)明的，在Wiles完成這個(gè)證明之前，我有一位在Berkley的朋友KenhA.Ribet，他有重要的貢獻(xiàn)。他證明了一日本數(shù)學(xué)家YutakaTaniyama的某一個(gè)關(guān)于橢圓曲線的假設(shè)包含F(xiàn)ermat定理。于是可將Fermat定理變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于橢圓曲線的定理。Wiles根據(jù)Ribet的結(jié)果又繼續(xù)經(jīng)過(guò)了許多步驟，以至達(dá)到最后的證

9、明。即在復(fù)平面內(nèi)得到曲線。由復(fù)變函數(shù)論知道，復(fù)平面內(nèi)的曲線就成為一個(gè)Riemann曲面。Riemann曲面為定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一個(gè)最簡(jiǎn)單的情形，就是一個(gè)球加上一個(gè)把手，即一個(gè)環(huán)面。環(huán)面是個(gè)群，且為可交換群。所謂橢圓曲線，就是把這個(gè)曲線看成復(fù)平面內(nèi)虧格(genus)等于1的復(fù)曲線。虧格等于1的曲線有一個(gè)非常深刻而巧妙的性質(zhì)。即它上面的點(diǎn)有一個(gè)可交換群的構(gòu)造。兩個(gè)點(diǎn)可以加起來(lái)，且有群的性質(zhì)。這是很重要的性質(zhì)

10、。橢圓曲線與橢圓無(wú)關(guān)。原因是，若所有曲線的虧格大于1，相當(dāng)于Riemann曲面有一個(gè)Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于1，則叫做雙曲的。虧格等于1的叫橢圓。虧格等于0的叫拋物線。橢圓曲線的研究是數(shù)論中非常重要、非常有意思的方面。最近一期的科學(xué)雜志(Science)，有位先生寫(xiě)了一篇關(guān)于橢圓曲線的文章。橢圓曲線在電報(bào)的密碼上有應(yīng)用。而中國(guó)也有很多人在做代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論方面的工作。最近在黃山有一個(gè)國(guó)際性的、題為“代