用射影面積法求二面角在高考中的妙用

1、1用射影面積法求二面角在高考中的妙用用射影面積法求二面角在高考中的妙用廣西南寧外國語學(xué)校隆光誠（郵政編碼530007）立體幾何中的二面角是一個非常重要的數(shù)學(xué)概念，求二面角的大小更是歷年高考的熱點問題，在每年全國各省市的高考試題的大題中幾乎都出現(xiàn).求二面角的方法很多，但是，對無棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角時，如何求這個二面角的大小呢？用射影面積法是解決這類問題的捷徑，本文以近年高考題為例說明這個方法在解題中的妙用，以饗讀者！定理

2、定理已知平面已知平面內(nèi)一個多邊形的面積為內(nèi)一個多邊形的面積為S，它在平面，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為內(nèi)的射影圖形的面積為，平面，平面和平面和平面??S?所成的二面角的大小為所成的二面角的大小為，則，則.??SScos??本文僅對多邊形為三角形為例證明，其它情形請讀者自證.證明：如圖，平面內(nèi)的△ABC在平面的射影為△，作于D，連結(jié)AD.??BCABCAD?于，，??AA?A??D在內(nèi)的射影為.AD??DA又，???BCBCAD?（三垂線

3、定理的逆定理）.BCDA??為二面角—BC—的平面角.ADA????設(shè)△ABC和△的面積分別為S和，，則.BCAS???ADADABCSADBCS2121????.SSADBCDABCADDA2121cos???????典題妙解典題妙解下面以近年高考題為例說明上述結(jié)論在解題中的妙用.例1如圖如圖已知正方體已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，中，E是AA1棱的中點，則棱的中點，則面BEC1與面與面AC所成的二面角的大小為所成的二面角的

4、大小為()A.B.C.D.?4521arctan42arctan32arccos解：連結(jié)解：連結(jié)AC，則，則△在面在面AC內(nèi)的射影是內(nèi)的射影是△ABC，設(shè)它們的，設(shè)它們的1EBC面積分別為面積分別為S和，所成的二面角為，所成的二面角為.S?設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為2，則，則AB=BC=2，.31)22(2252211?????ECBCBE.103cos1sin1012cos1211212121???????????EBCEBCB

5、CBEECBCBEEBC.32cos2213sin2111??????????SSBCABSEBCBCBES?.32arccos???故答案選故答案選D.例2（04北京）如圖北京）如圖已知四棱錐已知四棱錐S—ABCD的底面是邊長為的底面是邊長為1的正方形的正方形SD⊥面ACSB=.3(1)求證求證:BC⊥SC(2)求面求面ASD與面與面BSC所成的二面角的大小所成的二面角的大小(3)設(shè)棱設(shè)棱SA的中點為的中點為M求異面直線求異面直線DM

6、與SB所成的角的大小所成的角的大小.（1）證明：SD⊥面AC，?SC在面AC內(nèi)的射影是SD.?又四邊形ABCD是正方形，面AC，??BCBC⊥SC（三垂線定理）.?AABDC?ABD1C1DCA1B1EABD1C1DCA1B1EABDCSBMBD3（3）解：）解：，.AAFADAFBAADBA?????ADFBA面??△BDF在面在面ADF上的射影是上的射影是△ADF，設(shè)它們的面積分別為，設(shè)它們的面積分別為S和，所成的二面角為，所成的二

7、面角為.?S?AB=，AF=1，.?2322?????FDFBBDAD連結(jié)連結(jié)FO，則，則.222????BOFBFOBDFO.21cos2221221?????????SSAFADSFOBDS?故.3???所以二面角所以二面角A—DF—B的大小為的大小為.3?例4（08天津）如圖，在四棱錐天津）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面中，底面ABCD是矩是矩形，已知形，已知AB=3，AD=2，PA=2，.????6022PABPD（1）證明

8、：）證明：AD⊥平面平面PAB；（2）求異面直線）求異面直線PC與AD所成的角的大?。凰傻慕堑拇笮。唬?）求二面角）求二面角P—BD—A的大小的大小.（1）證明：222???PDPAAD?.222PDPAAD???，即.????90PADPADA?又四邊形ABCD是正方形，?.ABDA??而，AB、PA面PAB，APAAB???AD⊥平面PAB.?（2）AD∥BC，?異面直線PC與AD所成的角就是PC與BC所成的角，即.?PCB?在△

9、PAB中，AB=3，PA=2，，????6022PABPD.772222???????PBABPAABPAPB由（1）得，AD⊥平面PAB.，即.PBCB?????90CBP又BC=AD=2，?..27tan????BCPBPCB27arctan??PCB所以異面直線PC與AD所成的角的大小為.27arctan（3）作）作于E，連結(jié)，連結(jié)DE.ABPE?由（由（1）知，）知，，而，而，PEAD?AADAB??面ABCD.??PE△PBD

10、在面在面ABCD內(nèi)的射影是內(nèi)的射影是△EBD，設(shè)，設(shè)?它們的面積分別為它們的面積分別為S和，所成的二面角為，所成的二面角為.S?.2160cos1322?????????AEABBEPAAEADABBD.14255cos1sin14212cos2222???????????BPDBPDPDPBBDPDPBBPD.221255sin21?????????ADBESBPDPDPBS，.554cos???SS?554arccos??DAMCB