數(shù)學(xué)家之間的爭(zhēng)論

1、近一百年來(lái)數(shù)學(xué)界的一些爭(zhēng)議，此處不是我專(zhuān)長(zhǎng)所在，錯(cuò)漏之處還望知友海涵。第一個(gè)就是選擇公理。數(shù)學(xué)公理不是隨意制訂的，而是依賴(lài)于自然經(jīng)驗(yàn)和邏輯。在數(shù)學(xué)界，選擇公理也是一般被接受的。選擇公理和佐恩引理等價(jià)。佐恩引理：在任何一個(gè)非空的偏序集中，如果任何鏈（即一個(gè)全序子集）都有上界，那么這個(gè)偏序集必然存在一個(gè)極大元素。對(duì)一個(gè)大家可以想象的集合還說(shuō)，比如自然數(shù)，實(shí)數(shù)，選擇公理是符合想象的（首先要與其它公理沒(méi)有矛盾那是必須的）?？墒且?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)的發(fā)展（

2、尤其是Grothendieck拓?fù)洌?，空間的概念被大大拓展（為證明某些定理也成為必須），很多集合開(kāi)始變得嚴(yán)重不可數(shù)（可數(shù)集合即能夠與自然數(shù)形成一一對(duì)應(yīng)的集合，比如有理數(shù)，偶數(shù)，整數(shù)甚至整系數(shù)多項(xiàng)式方程的解的集合都是可數(shù)，而實(shí)數(shù)集不可數(shù)）。對(duì)于這些無(wú)法用人腦想象的集合，有人提出了“可數(shù)選擇公理”，即選擇公理僅對(duì)可數(shù)集合成立。這并不是沒(méi)有道理的，很多時(shí)候“可數(shù)選擇公理”已經(jīng)足夠，但仍然有很多定理需要用到完整的選擇公理。順便說(shuō)一下，如果我們?cè)?/p>

3、證明過(guò)程中不用到選擇公理證明，一般優(yōu)越于用到選擇公理，即使證明過(guò)程中用到的定理很可能已經(jīng)使用過(guò)選擇公理。另一個(gè)想要說(shuō)的是universe的存在性，這個(gè)爭(zhēng)議更大。因?yàn)閡niverse的存在性甚至都不能通過(guò)ZFC公理系統(tǒng)推導(dǎo)出來(lái)（ZFC公理系統(tǒng)已經(jīng)包含了選擇公理）。universe在范疇理論中有很大的應(yīng)用，但同樣也有很多數(shù)學(xué)家試圖徹底回避universe。很遺憾，我的研究經(jīng)常需要用到范疇，我甚至自己都不知道我到底需不需要假設(shè)universe

4、的存在性畢竟當(dāng)代數(shù)學(xué)研究已經(jīng)在公理體系的基礎(chǔ)上堆砌了太多。就當(dāng)假設(shè)了吧，至少跟公理系統(tǒng)不自相矛盾。最后再說(shuō)一個(gè)最近的數(shù)學(xué)熱點(diǎn)吧。最近日本數(shù)學(xué)家Mochizuki在自己的主頁(yè)貼出了ABC猜想的證明，姑且不說(shuō)是否有邏輯上的不嚴(yán)謹(jǐn)，他的證明中就用到了很多類(lèi)似universe的東西的存在性（這些假設(shè)是否與常用的公理體系矛盾我還不知道）。盡管這位Mochizuki出身顯貴，在數(shù)學(xué)界頗有名氣，目前主流的觀點(diǎn)對(duì)他的證明還不認(rèn)可。最終結(jié)果如何，希望時(shí)間

5、能帶給我們答案。同日更新同日更新前文提到的爭(zhēng)議是建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的爭(zhēng)議，觀點(diǎn)不同，整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌會(huì)完全不同。但是正如@陳浩在評(píng)論中指出的，只是體系不同而已，雙方各說(shuō)各話(huà)，而且整個(gè)數(shù)學(xué)的主流基本是承認(rèn)選擇公理和Universe的，所以其實(shí)現(xiàn)在爭(zhēng)議不大。值得指出的是，在其它答案中提到的各種主義的沖突本質(zhì)上都是基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭(zhēng)議，現(xiàn)在主流的觀點(diǎn)也是基本得到廣泛承認(rèn)的。比如說(shuō)代數(shù)幾何的基礎(chǔ)是交換代數(shù)，而要證明交換代數(shù)中任意含單位元交換環(huán)存在極大

6、理想就會(huì)用到選擇公理。數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)然還有其它爭(zhēng)議。接下來(lái)我要開(kāi)啟八卦模式。一個(gè)是關(guān)于數(shù)學(xué)理念的爭(zhēng)議，我心中最有名的例子莫過(guò)于特征p下黎曼猜想的證明。在Weil提出他著名的Weil猜想（特征p下黎曼猜想）之后，Grothendieck看到了希望。他洋洋灑灑寫(xiě)下了EGA，SGA幾千頁(yè)的巨著，給代數(shù)幾何這座大廈打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并提出了雄心勃勃的Stardconjectures和Motive計(jì)劃（有人說(shuō)他有兩年在巴西工作時(shí)只在餓的時(shí)候

7、吃香蕉）。只要證明這些東西，很多大的猜想包括Weil猜想就是水到渠成的事?？墒沁@兩樣?xùn)|西現(xiàn)在都沒(méi)有實(shí)現(xiàn)，Deligne倒是在Grothendieck的基礎(chǔ)上用ladic的方法繞過(guò)這兩點(diǎn)巧妙證明了Weil猜想。江湖傳言，Grothendieck不太高興，大概想法就是：打敗敵人你應(yīng)該用“浩然正氣“，怎么能用旁門(mén)左道呢？于是經(jīng)過(guò)了很多糾結(jié)，Grothendieck在上世紀(jì)80年代初退隱山林，在回憶錄中毫不客氣的批評(píng)了他曾經(jīng)的弟子，并于幾年前宣

8、布收回EGA，SGA的版權(quán)，不再允許任何機(jī)構(gòu)出版。還有一個(gè)想說(shuō)的是關(guān)于數(shù)學(xué)某個(gè)學(xué)科發(fā)展的爭(zhēng)議。以下材料均來(lái)源于志村五郎自傳：Themapofmylife。志村五郎應(yīng)該是那種很狂的數(shù)學(xué)家了，能夠讓他尊重的數(shù)學(xué)家大概只有Weil吧。他在自傳中聲稱(chēng)他在50年代末到70年代初做的工作，當(dāng)時(shí)根本沒(méi)有人懂。好像除了Weil比較欣賞他以外，他覺(jué)得其他人都看不到他的工作的意義。大概他跟Grothendieck通過(guò)幾封信，經(jīng)他解釋Grothendieck

9、似乎也懂了那么一點(diǎn)點(diǎn)。但是總體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)界尤其是美國(guó)數(shù)學(xué)界不覺(jué)得他能折騰出什么東西。嗯，現(xiàn)在事實(shí)證明，他做的東西在算術(shù)幾何中是非常非常重要的。這些都是數(shù)學(xué)家關(guān)于具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的小爭(zhēng)議，完全在個(gè)人層面。大家就當(dāng)聽(tīng)故事吧。@陳浩在他的答案中提到了布爾巴基，這個(gè)也很好玩。布爾巴基學(xué)派和俄羅斯大牛阿諾爾德的爭(zhēng)議也相當(dāng)有趣，不是具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但也是足以寫(xiě)進(jìn)數(shù)學(xué)史影響數(shù)學(xué)發(fā)展的大事件。我實(shí)在懶得講故事了，有興趣的知友自己搜索吧。歡迎補(bǔ)充有趣的故事。