現代控制理論-6-狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器-第10、11講

1、2024/3/20,1,目前為止，我們已經： 建立了系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 提出了基于狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)的運動分析 探討了系統(tǒng)的性能：穩(wěn)定性、能控性、能觀性“認識了世界” ? 如何來“改變世界”？！設計控制系統(tǒng)！系統(tǒng)的控制方式----反饋？：開環(huán)控制、閉環(huán)控制,,第6章 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器,第6章 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器,控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，主要由其狀態(tài)矩陣的特征值（即閉環(huán)極點）決定?；跔顟B(tài)空間表達式，可以通過形成適當的反饋

2、控制，進而配置系統(tǒng)的極點，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的動態(tài)特性。,,經典控制：只能用系統(tǒng)輸出作為反饋控制器的輸入；現代控制：由于狀態(tài)空間模型刻畫了系統(tǒng)內部特征，故而還可用系統(tǒng)內部狀態(tài)作為反饋控制器的輸入。根據用于控制的系統(tǒng)信息：狀態(tài)反饋、輸出反饋,2024/3/20,4,第6章 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器,狀態(tài)反饋及極點配置系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題狀態(tài)觀測器帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),2024/3/20,5,第一節(jié) 狀態(tài)反饋及極點配置,狀態(tài)反饋與輸

3、出反饋狀態(tài)反饋極點配置條件和算法狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性,2024/3/20,6,將系統(tǒng)每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數饋送到輸入端與參考輸人相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。,一、狀態(tài)反饋,反饋的兩種基本形式：狀態(tài)反饋（1種）、輸出反饋（2種）,原受控系統(tǒng) ：,線性反饋規(guī)律：,2024/3/20,7,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：,反饋增益矩陣：,狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數矩陣為：,一般D=0，可化簡為：,

4、,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)表示：,狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：,2024/3/20,8,原受控系統(tǒng) ：,二、輸出到參考輸入的反饋（又稱為輸出反饋）,將系統(tǒng)輸出量乘以相應的反饋系數饋送到參考輸人，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。（同古典控制，不作過多說明）,輸出反饋控制規(guī)律：,輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：,,2024/3/20,9,輸出反饋增益矩陣：,閉環(huán)傳遞函數矩陣為：,結論3：由于反饋引自系統(tǒng)輸出，所以輸出反饋不影響

5、系統(tǒng)的可觀測性。,結論1：當HC＝K時，輸出到參考輸入的反饋與狀態(tài)反饋等價。即對于任意的輸出反饋系統(tǒng)，總可以找到一個等價的狀態(tài)反饋，即K＝HC。故輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。,結論2：對于狀態(tài)反饋，從K＝HC中，給定K值，不一定能夠解出H。所以，輸出反饋是部分狀態(tài)反饋，輸出信息所包含的不一定是系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，適合工程應用，性能較狀態(tài)反饋差。,在不增加補償器的條件下，輸出反饋 改變系統(tǒng)性能的效果不如狀態(tài)反饋

6、 好，不能任意配置系統(tǒng)的全部特征值；,,,輸出反饋在技術實現上很方便； 而狀態(tài)反饋所用的系統(tǒng)狀態(tài)可能不能直接 測量得到（需要狀態(tài)觀測器重構狀態(tài)）。,與狀態(tài)反饋相比較，輸出反饋：,（輸出反饋只是狀態(tài)反饋的一種特例，它能達到的系統(tǒng)性能，狀態(tài)反饋一定能達到；反之則不然。）,2024/3/20,11,原受控系統(tǒng) ：,三、輸出到狀態(tài)微分的反饋,將系統(tǒng)的輸出量乘以

7、相應的負反饋系數，饋送到狀態(tài)微分處。這種反饋在狀態(tài)觀測器中應用廣泛，結構和觀測器很相似。,輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：,,2024/3/20,12,極點配置：通過反饋增益矩陣K的設計，將加入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在S平面期望的位置上。,四、狀態(tài)反饋極點配置條件和算法,定理：(極點配置定理) 對線性定常系統(tǒng) 進行狀態(tài)反饋，反饋后的系統(tǒng)其全部極點得到任意配置的充要條件是：

8、 狀態(tài)完全能控。,注意：矩陣 的特征值就是所期望的閉環(huán)極點。對不能控的狀態(tài)，狀態(tài)反饋不能改變其特征值。,2024/3/20,13,(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：,(3)根據給定（或求得）的期望閉環(huán)極點，寫出期望特征多項式。,(4)由 確定反饋矩陣K：,[解]：（1）先判斷該系統(tǒng)的能控性,[例1] 考慮線性定常系統(tǒng),其中：,試設計狀態(tài)反饋矩陣K，

9、使閉環(huán)系統(tǒng)極點為-2±j4和-10。,2024/3/20,14,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋，可任意進行極點配置。,（3）計算期望的特征多項式,2024/3/20,15,由 得,（4）確定K陣,求得：,所以狀態(tài)反饋矩陣K為：,,2024/3/20,16,從中可以看出，對于－1的極點，狀態(tài)反饋不起作用，狀態(tài)反饋只能通過k2去影響2這個極點。即狀態(tài)反饋對不能控部分狀態(tài)，不能任意配置其極點。,2

10、024/3/20,17,證明：,原系統(tǒng)：,能控標準型：,其中：,式（1）和式（2）比較，得：,,2024/3/20,18,能控標準型：此時的系統(tǒng)不變量和原系統(tǒng)相同。,能控標準型下，加入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣為：,[能控標準型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式及 ],2024/3/20,19,能控標準型下，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：,根據期望閉環(huán)極點，寫出期望特征多項式：,由 ，可以確定能控標準型下

11、的反饋矩陣為：,2024/3/20,20,(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。,(2)確定將原系統(tǒng)化為能控標準型 的變換陣,若給定狀態(tài)方程已是能控標準型，那么 ，無需轉換,能控標準型法，求反饋增益矩陣K的步驟：,系統(tǒng)不變量：,2024/3/20,21,(3)根據給定或求得的期望閉環(huán)極點，寫出期望的特征多項式：,(4)直接寫出在能控標準型下的反饋增益矩陣：,(5)求未變換前原

12、系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：,還可以由期望閉環(huán)傳遞函數得到：,能控標準型法，非常適合于計算機matlab求解,期望的閉環(huán)極點有時直接給定；有時給定某些性能指標：如超調量 和調整時間 等）,2024/3/20,22,[例]用能控標準型法，重新求解前面例1：,（2）計算原系統(tǒng)的特征多項式：,[解]：（1）可知，系統(tǒng)已經是能控標準型了，故系統(tǒng)能控，此時變換陣,（3）計算期望的特征多項式,（4）確定K陣,所以狀態(tài)反饋矩陣K為：

13、,能控標準型下的狀態(tài)反饋矩陣為：,2024/3/20,23,3）愛克曼公式(Ackermann公式法) （維數較大時，n>3）,為系統(tǒng)期望的特征多項式系數，由下式確定：,其中 是A滿足其自身的特征方程，為：,推導過程：略此方法也非常適合于計算機matlab求解,2024/3/20,24,[例]用愛克曼公式，重新求解前面例1：,[解]：（1）確定系統(tǒng)期望的特征多項式系數：,所以：,（2）確定,2024/3/20,25

14、,（3）所以狀態(tài)反饋矩陣K為：,2024/3/20,26,[例]已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,設計狀態(tài)反饋增益矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為－1和－2，并畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖。,解：先判斷系統(tǒng)的能控性。,,系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可以通過狀態(tài)反饋任意配置其極點。,,令,2024/3/20,27,則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為,期望的特征多項式為,由,，求得,,,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖如下：,2024/3/20,28,期望極點選取的原

15、則： 1）n維控制系統(tǒng)有n個期望極點； 2）期望極點是物理上可實現的，為實數或共軛復數對； 3）期望極點的位置的選取，需考慮它們對系統(tǒng)品質的影響（離虛軸的位置），及與零點分布狀況的關系。 4）離虛軸距離較近的主導極點收斂慢，對系統(tǒng)性能影響最大，遠極點收斂快，對系統(tǒng)只有極小的影響。,2、閉環(huán)系統(tǒng)期望極點的選取,2024/3/20,29,五、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性,定理：如果SISO線性定常系統(tǒng)

16、 是能控的，則狀態(tài)反饋所構成的閉環(huán)系統(tǒng) 也是能控的。,證明:,,,2024/3/20,30,結論：對SISO系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋后，不改變系統(tǒng)原有的閉環(huán)零點。所以經過極點的任意配置，可能會出現零極點相約，由于可控性不變，故可能破壞可觀測性。,能控標準型，受控系統(tǒng)傳遞函數：,狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數：,2024/3/20,31,[本節(jié)小結]：,1、狀態(tài)反饋

17、系統(tǒng)的結構:,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：,狀態(tài)反饋閉環(huán)傳遞函數矩陣為：,狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為：,2、輸出反饋:,閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程：,閉環(huán)傳遞函數矩陣為：,系統(tǒng)的特征方程為：,2024/3/20,32,3、輸出到狀態(tài)微分的反饋：,閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程：,閉環(huán)傳遞函數矩陣為：,系統(tǒng)的特征方程為：,4、狀態(tài)反饋極點配置條件和算法：,極點任意配置條件：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。,極點配置算法：反饋陣k的求法,2024/3/20,33,(4)由

18、 確定反饋矩陣K：,(2)求狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：,(3)根據給定（或求得）的期望閉環(huán)極點，寫期望特征多項式。,1）直接法求反饋矩陣K（維數較小時，n≤ 3時）,(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。,2024/3/20,34,(4)寫出能控標準型下的反饋增益矩陣：,(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣：,2）能控標準型法求反饋矩陣（維數較大時，n>3時）,(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀

19、態(tài)完全能控，按下列步驟繼續(xù)。,(3)寫出期望的特征多項式：,(2)確定將原系統(tǒng)化為能控標準型 的變換陣,2024/3/20,35,5、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀測性,可以保持原系統(tǒng)的能控性，但可能破壞原系統(tǒng)的能觀測性。,3）愛克曼公式(Ackermann公式法) （維數較大時，n>3）,其中 是A滿足其自身的特征方程，為：,為系統(tǒng)期望的特征多項式系數，由下式確定：,2）和3）方法非常適合于計

20、算機matlab求解,2024/3/20,36,第二節(jié) 系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念狀態(tài)反饋與系統(tǒng)的鎮(zhèn)定,2024/3/20,37,一、系統(tǒng)鎮(zhèn)定的概念,鎮(zhèn)定：一個控制系統(tǒng)，如果通過反饋使系統(tǒng)實現漸近穩(wěn)定，即閉環(huán)系統(tǒng)極點具有負實部，則稱該系統(tǒng)是能鎮(zhèn)定的。可以采用狀態(tài)反饋實現鎮(zhèn)定，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。,定理：如果線性定常系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則它狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是：不能控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,定理證明：,二、狀態(tài)反饋

21、與系統(tǒng)的鎮(zhèn)定,原系統(tǒng)：,2024/3/20,38,將原系統(tǒng)按照能控性分解，得到系統(tǒng),對系統(tǒng) 引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣變?yōu)?閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：,2024/3/20,39,結論1：如果線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則不管其特征值是否都具有負實部，一定是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。（一定存在狀態(tài)反饋陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點得到任意配置） 不穩(wěn)定但狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)，可以通過狀態(tài)反饋使它鎮(zhèn)定,結論2：可控系統(tǒng)是一定可鎮(zhèn)定的，可鎮(zhèn)

22、定系統(tǒng)不一定是可控的,2024/3/20,40,[例]系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,（2）由動態(tài)方程知系統(tǒng)是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是漸近穩(wěn)定的。因此該系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。,[解]：（1）系統(tǒng)的特征值為1，2和－5。有兩個特征值在右半S平面，因此系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。,（1）該系統(tǒng)是否是漸近穩(wěn)定的？（2）該系統(tǒng)是否是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的？（3）設計狀態(tài)反饋，使期望的閉環(huán)極點為,2024/3/20,41,（

23、3）不能控部分的極點為－5，與其中一個期望極點相同。此時，只能對能控部分進行極點配置。設 ，對能控部分進行極點配置。,期望的特征多項式為：,2024/3/20,42,由 得：,解得：,所以反饋陣為：,2024/3/20,43,[例]系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下,[解]：（1）系統(tǒng)特征方程為：,（1）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）加狀態(tài)反饋可否使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定？,特征值為

24、 ，系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。,（2）系統(tǒng)能控，加入狀態(tài)反饋可以任意配置極點。設反饋陣為 ，加狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣為,2024/3/20,44,系統(tǒng)的特征多項式為：,通過k1和k2的調整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半S平面，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。,45,第三節(jié) 全維狀態(tài)觀測器設計,漸近狀態(tài)觀測器問題 具有實際應用價值的是下圖所示狀態(tài)觀測器。它和開環(huán)狀態(tài)觀測器的差別在于增

25、加了反饋校正通道。被控系統(tǒng)的輸出與觀測器的輸出進行比較，其差值作為校正信號。,,46,,令,,,其解為,可知，當選取 ，使得 所有特征值具有負實部則有： 若觀測器和系統(tǒng)的初始狀態(tài)相同，觀測器的狀態(tài)與系統(tǒng)實際狀態(tài)完全相同； 若觀測器初始狀態(tài)與系統(tǒng)初始狀態(tài)不相等，觀測器狀態(tài)以指數收斂到系統(tǒng)的實際狀態(tài)， 即

26、 。因此，這種觀測器稱為漸近狀態(tài)觀測器。,47,6.3.1 全維狀態(tài)觀測器設計,,定理：線性（連續(xù)或者離散）定常系統(tǒng)存在狀態(tài)觀測器，并且能夠任意配置極點的充分必要條件是系統(tǒng)完全能觀測。 此定理也適用于MIMO系統(tǒng)。,設計狀態(tài)觀測器的一般步驟為:,③根據狀態(tài)觀測器的期望極點，求,②求,①判別系統(tǒng)能觀性；,48,6.3.1 全維狀態(tài)觀測器設計,,,例： 設計狀態(tài)觀測器，使其特征值為,,解： 判斷系統(tǒng)的能觀性,所以，系統(tǒng)可

27、觀，狀態(tài)觀測器極點可以任意配置。,能觀性判別矩陣滿秩,49,,,,,,設,則,系統(tǒng)特征方程如下：,狀態(tài)觀測器的期望特征方程為,50,令,則,解得,即,,51,小結,狀態(tài)反饋就是將系統(tǒng)的每一狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數，反饋到輸入端,與參考輸入相加，其和作為被控系統(tǒng)的控制信號。輸出反饋是將系統(tǒng)的輸出量乘以相應的系數反饋到輸入端,與參考輸入相加，其和作為被控系統(tǒng)的控制信號。,,,,,線性（連續(xù)或者離散）定常系統(tǒng)存在狀態(tài)觀測器，并且能夠任意配

28、置極點的充分必要條件是系統(tǒng)完全能觀測。,多變量線性系統(tǒng)在任何形如 的狀態(tài)反饋下，狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)完全能控的充要條件是被控對象完全能控。,極點配置定理 線性（連續(xù)或離散）多變量系統(tǒng)能任意配置極點的充分必要條件是,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。,2024/3/20,52,第四節(jié) 帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構成帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的輸入輸出特性,2024

29、/3/20,53,狀態(tài)觀測器的建立，為不能直接量測的狀態(tài)反饋提供了條件,構成：帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由觀測器和狀態(tài)反饋兩個子系統(tǒng)構成。用觀測器的估計狀態(tài)實現反饋。,是x重構狀態(tài)，階數小于等于x階數。系統(tǒng)階數為 與x階數和,一、帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的構成,全維狀態(tài)觀測器,加入狀態(tài)反饋,2024/3/20,54,帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)等價結構圖：,2024/3/20,55,加入反饋控制規(guī)律：,,狀態(tài)反饋部分的狀態(tài)方

30、程：,觀測器部分的狀態(tài)方程：,原系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：,2024/3/20,56,二、帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的輸入輸出特性,2024/3/20,57,[例]：,已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：,請采用狀態(tài)觀測器實現狀態(tài)反饋控制，使閉環(huán)系統(tǒng)的特征值配置在,[解]：,所以該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋，極點可任意配置。,先判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測性：,所以該系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀，觀測器存在且其極點可任意配置。,2024/3/20,58,1）根據分離

31、特性，先設計狀態(tài)反饋陣K。,設狀態(tài)反饋增益矩陣為：,寫出直接反饋下，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：,由 可以求得：,計算期望的特征多項式：,2）設計觀測器，求反饋增益矩陣Ke：,2024/3/20,59,全維狀態(tài)觀測器的特征多項式：,為了使觀測器的響應速度稍快于系統(tǒng)響應速度，選擇觀測器特征值為：,設反饋增益矩陣Ke為：,所以狀態(tài)觀測器的反饋矩陣為：,則狀態(tài)觀測器期望的特征多項式為：,由