計(jì)算機(jī)控制理論基礎(chǔ)

1、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng),第4章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ),如果系統(tǒng)中有一處或多處采樣開(kāi)關(guān)，則該系統(tǒng)稱為采樣系統(tǒng)，如圖4-1所示，圖中的S即為采樣開(kāi)關(guān)。,圖4-1 采樣控制系統(tǒng),計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)則屬于采樣控制系統(tǒng)，一個(gè)典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)如圖4-2所示，注意，其中采樣開(kāi)關(guān)的功能是通過(guò)A/D轉(zhuǎn)換器來(lái)完成的。,圖4-2 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng),,4.1 信號(hào)的采樣與保持,4.1.1 采樣過(guò)程,e(t),,e*(t),,e(k),采樣過(guò)程可以用一個(gè)周期性

2、閉合的采樣開(kāi)關(guān)S來(lái)表示，如圖4-3所示。假設(shè)采樣開(kāi)關(guān)每隔T秒閉合一次，T稱為采樣周期， τ為閉合的持續(xù)時(shí)間。采樣器的輸入為連續(xù)信號(hào)e(t)，輸出e*(t) 為寬度等于的調(diào)幅脈沖序列。,圖4-3 實(shí)際采樣過(guò)程,采樣開(kāi)關(guān)的閉合時(shí)間τ非常小，一般遠(yuǎn)小于采樣周期T 和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)，因此在分析時(shí)，可以認(rèn)為τ=0。,圖4-4 理想采樣過(guò)程,量化過(guò)程可用圖4-5說(shuō)明。,圖4-5 量化過(guò)程,調(diào)制后的采樣信號(hào)可表示為,也可寫(xiě)成,4.1

3、.2 采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述及特性分析,(4-2),(4-3),(4-1),量化單位定義為,A/D轉(zhuǎn)換器的輸出信號(hào),(4-4),(4-5),圖4-6 零階保持器的輸入和輸出信號(hào),4.1.3 信號(hào)保持,零階保持器的單位脈沖響應(yīng)如圖4-7所示，可表示為,圖4-7 零階保持器的單位脈沖響應(yīng),(4-6),(4-7),圖4-8 零階保持器的幅頻特性和相頻特性,采樣定理 如果被采樣的連續(xù)信號(hào)e(t) 的頻譜為有限寬，且頻譜的最大寬度為ωm ，又

4、如果采樣角頻率ωs≥2ωm ，并且采樣后再加理想濾波器，則連續(xù)信號(hào)e(t)可以不失真地恢復(fù)出來(lái)。其中ωs＝2π/T。,4.1.4 采樣定理,圖4-9 連續(xù)信號(hào)頻譜,圖4-10 采樣信號(hào)頻譜（ωs≥2ωm ）,4.2 Z變換理論,4.2.1 Z變換定義,(4-11),(4-12),(4-13),(4-14),(4-15),(4-16),(4-17),,,1. 線性定理,4.2.2 Z變換性質(zhì),(4-18),2. 實(shí)數(shù)位移定理,(4-1

5、9),(4-20),3. 復(fù)數(shù)位移定理,4. 初值定理,5. 終值定理,(4-21),(4-22),(4-23),6. 卷積定理,(4-24),(4-25),4.2.3 Z變換方法,例4-1 求單位階躍函數(shù)的Z變換。解 單位階躍函數(shù)的采樣函數(shù)為,則 將代入式(4-17)，可得,1. 級(jí)數(shù)求和法,例4-2 求 的Z變換。解

6、 ，,則兩邊同乘 得,兩式相減，可以求得,根據(jù)式(4-14)，可得,2．部分分式法,(4-27),(4-28),,例4-3 設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t) 的拉氏變換式為 ，求其Z變換。解 將F(s) 根展開(kāi)為部分分式,解二：由例4-1和例4-2可知,例4-4 求

7、 的Z變換。解 求F(s)并將其展開(kāi)為部分分式,4.2.4 Z反變換,(4-29),1．冪級(jí)數(shù)法,例4-5 已知 ，求f*(t) 解 F(z)可以寫(xiě)為,例4-6 用部分分式法求上例中F(z)的Z反變換式解 將展開(kāi)成部分分式為,查表得,2．部分分式法,3．留數(shù)法,由復(fù)變函數(shù)理論可知,res 表示

8、 在F(z) 的極點(diǎn)上的留數(shù)。,(4-31),(4-32),(4-33),q 階重極點(diǎn)的留數(shù)為,一階極點(diǎn)的留數(shù)為,例4-7 用留數(shù)法求 的Z反變換。解 根據(jù)式(4-31)有,例4-8 用留數(shù)法求 的Z反變換。解

9、 由于F(z) 在z=1處有二重極點(diǎn)，因此,4.3 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,4.3.1 差分方程及其求解,求對(duì)于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)，采用下列微分方程來(lái)描述：,線性離散系統(tǒng)，其輸入與輸出之間可用線性常系數(shù)差分方程描述，即,(4-35),1. 迭代法,例4-9 已知差分方程 輸入序列為初始條件為c(0)=2，試用迭代法求解差分方程。,迭代法可以求出輸出序列，但不是數(shù)學(xué)解析式。迭代法的優(yōu)點(diǎn)是便于用計(jì)算機(jī)求解,解

10、 逐步以k=1,2,3,…，代入差分方程，則有,2. Z變換法,在離散系統(tǒng)中用Z變換求解差分方程，也使得求解運(yùn)算變成代數(shù)運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化和方便了離散系統(tǒng)的分析和綜合。 用Z變換求解差分方程，主要用到了Z變換的實(shí)數(shù)位移定理,例4-10 求解差分方程,代入初始條件得,解 對(duì)差分方程作Z變換,,部分分式法或留數(shù)法,例4-11 求解差分方程,解 對(duì)差分方程作Z變換,c(0)=0,將k=-1代入差分方程可得c(T)=0, 代入Z變

11、換式得,小結(jié)：Z變換法求解差分方程的步驟,對(duì)差分方程作Z變換；利用已知初始條件或求出c(0)， c(T),….帶入Z變換式；由Z變換式求出：由c(kT)=Z-1[C(z)]，利用冪級(jí)數(shù)法或部分分式法或留數(shù)法，求得差分方程的解c(kT)。,4.3.2 脈沖傳遞函數(shù),1. 脈沖傳遞函數(shù)的基本概念,對(duì)于圖4-12a所示的采樣系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)為,圖4-12 采樣系統(tǒng),(4-35),系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)

12、經(jīng)過(guò)采樣后離散信號(hào)g*(t) 的Z變換，可表示為,脈沖傳遞函數(shù)還可表示為,(4-36),圖4-13 兩種串聯(lián)結(jié)構(gòu),2. 采樣系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù),在圖4-13a所示的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)存在，這時(shí),(4-37),在圖4-13b所示的系統(tǒng)中，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)隔離。這時(shí)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,(4-38),例4-12,圖4-14 閉環(huán)采樣控制系統(tǒng),3. 采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)離散系統(tǒng)對(duì)輸入量的

13、脈沖傳遞函數(shù)為 與線性連續(xù)系統(tǒng)類似，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的分母1+GH(z)即為閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。,(4-40),圖4-15 具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng),(4-41),圖4-16 有干擾信號(hào)的采樣系統(tǒng),(4-42),4.4 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的分析,4.4.1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,,S平面和Z平面這兩個(gè)復(fù)平面的關(guān)系,復(fù)變量z和s的關(guān)系為,圖4-17 s平面上虛軸在Z平面上的映象,系統(tǒng)的特征根為z1

14、, z2,…,zn 即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。根據(jù)以上分析可知，閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)特征方程的所有根均分布在Z平面的單位圓內(nèi)，或者所有根的模均小于1，即,(4-43),對(duì)于W平面上的虛軸，實(shí)部u=0，即這就是Z平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程。,(4-45),(4-44),例4-13 判斷圖4-18所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=4s時(shí)的穩(wěn)定性。,圖4-18 采樣系統(tǒng),解 開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉

15、環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,當(dāng)T=1s時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為 因?yàn)榉匠淌嵌A，故直接解得極點(diǎn)為 由于極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)T=4s時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為閉環(huán)傳遞函數(shù)為解得極點(diǎn)為 有一個(gè)極點(diǎn)在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 可以看出，一個(gè)原來(lái)穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果加長(zhǎng)采樣周期，超過(guò)一定程度后，系統(tǒng)就會(huì)不穩(wěn)定

16、。通常，T越大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性就越差。,c1=[1 －1 0.632]roots(c1)c2=[1 2 0.927]roots(c2),MATLAB程序,例4-14: T=0.25s，求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍?,,,被控對(duì)象的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),零階保持器的傳遞函數(shù),,廣義對(duì)象的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù),,,系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),,閉環(huán)采樣/保持控制系統(tǒng)的特征方程式,,只要特征根的模均小于1，則系統(tǒng)穩(wěn)定,,采樣周期T<0.04

17、秒,,,,10ms,30ms,50ms,4.4.2 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析,圖4-20 單位反饋采樣控制系統(tǒng),(4-45),穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù),(4-46),(4-47),(4-48),表4-2 單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,,例4-15: T=1s，求系統(tǒng)在單位階躍、單位速度和單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差,單位階躍,4.4.3 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo),如果可以求出離散系統(tǒng)的

18、閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(z)=C(z)/R(z)，其中R(z)=z/(z-1)為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出量的Z變換函數(shù)將上式展成冪級(jí)數(shù)，通過(guò)Z反變換，可以求出輸出信號(hào)的脈沖序列c(k)或c*(t)。由于離散系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)與連續(xù)系統(tǒng)相同，故根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線c(k)可以方便地分析離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。,例4-16：,T=0.1s，求系統(tǒng)指標(biāo)調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量的近似數(shù)值,解：閉環(huán)傳遞函數(shù),冪級(jí)數(shù)法可得：,輸出信號(hào)的采樣序列：,num=[1

19、.264 0];den=[1 -0.104 0.368];dstep(num,den),4.5 連續(xù)系統(tǒng)的離散化,4.5.1 連續(xù)系統(tǒng)的離散化方法及特點(diǎn),(1) 雙線性變換法由z變換得定義可知， ，利用級(jí)數(shù)展開(kāi)可得,(4-49),(4-50),雙線性變換的特點(diǎn)： (1)應(yīng)用方便，可用計(jì)算機(jī)算出D(z)的系數(shù)。(2)雙線性變換不會(huì)引起高頻混迭現(xiàn)象。 (3)如果D(s)穩(wěn)定，則D(z)亦穩(wěn)定。

20、 (4)它不能保持D(s)的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。,(2) 前向差分法,(4-51),(4-52),由此可知，s平面的jΩ軸在z平面上的映像除ΩT極小值外，均在單位圓外，因此這種方法將不利于控制器的穩(wěn)定性。,(3) 后向差分法,(4-53),(4-54),(1)使用方便，而且不要求傳遞函數(shù)的因式分解；(2)一個(gè)穩(wěn)定的D(s)變換為一個(gè)穩(wěn)定的D(z)； (3)不能保持D(s)的脈沖與頻率響應(yīng)。,4.5.2 MATLAB在連續(xù)域－離散域

21、變換中的應(yīng)用,MATLAB實(shí)現(xiàn)提供了符號(hào)運(yùn)算工具箱(Symbolic Math Toolbox)，可方便地進(jìn)行Z變換和Z反變換進(jìn)行Z變換的函數(shù)是ztrans進(jìn)行Z反變換的函數(shù)是iztrans。,表4-3 連續(xù)系統(tǒng)模型與離散系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換函數(shù),表4-4 選項(xiàng)'method'的功能說(shuō)明,4.5.3 采樣周期及保持器對(duì)離散系統(tǒng)的影響,采樣周期Ts會(huì)影響離散系統(tǒng)穩(wěn)定性，根據(jù)控制理論，Ts越大則系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差（參見(jiàn)例4