大學(xué)物理第22章量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

1、人們很早就認(rèn)識(shí)到構(gòu)成世界的物質(zhì)有兩種：實(shí)物Matter和場(chǎng)Field。 前者的例子有電子質(zhì)子，后者的例子有電磁場(chǎng)。電磁場(chǎng)表現(xiàn)出了粒子性的一面（光子），并得到光電效應(yīng)和康普頓散射的證實(shí)。那么對(duì)于實(shí)物粒子，我們很容易想到是不是以前過(guò)分強(qiáng)調(diào)粒子性的一面而忽略了實(shí)物波動(dòng)性的一面呢？,第二十二章 量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),一切實(shí)物粒子也具有波粒二象性：既是粒子也是波——物質(zhì)波或德布羅意波。物質(zhì)波的波長(zhǎng)、頻率與能量、動(dòng)量滿(mǎn)足下面的德布羅意關(guān)系：

2、,一、De Broglie物質(zhì)波假設(shè),§22.1 波粒二象性 wave-particle duality,兩式中左邊反映波動(dòng)性，右邊反映粒子性。剛好與愛(ài)因斯坦的光量子假設(shè)相反。公式中的E和p并未指定是牛頓力學(xué)還是相對(duì)論力學(xué)中的能量和動(dòng)量，所以需要我們自己判斷。兩個(gè)式子中，我們更加關(guān)注德布羅意波長(zhǎng)和粒子動(dòng)量關(guān)系的公式。,,Louis de Broglie1892～1987,1924年，法國(guó)物理學(xué)家De Brogli

3、e向巴黎大學(xué)提交的一篇博士論文中，提出了物質(zhì)波的假設(shè)。,,氫原子中電子作圓周運(yùn)動(dòng)，它所對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波形成駐波時(shí)才是穩(wěn)定的。因此，圓周長(zhǎng)應(yīng)等于波長(zhǎng)的整數(shù)倍。,De Broglie 波與 Bohr 的量子化條件,電子波動(dòng)反映到原子中，為駐波。當(dāng)受到微擾時(shí)，波保持穩(wěn)定，如同金、銀等金屬化學(xué)性質(zhì)一般保持穩(wěn)定一樣。,De Broglie 波長(zhǎng)公式,當(dāng)質(zhì)量為m的粒子運(yùn)動(dòng)速度v<<c 時(shí)，可以用牛頓力學(xué)處理，物質(zhì)波波長(zhǎng)為,但如果速度為v~c

4、，必須使用相對(duì)論公式：,我們常常碰到的是帶電(電量q)粒子，從靜止開(kāi)始受到加速電壓U的作用,具體到考慮加速電壓U為多少可以忽略相對(duì)論效應(yīng)？,如果是電子 U小于百萬(wàn)伏特就可以,例1：電子靜止質(zhì)量m0=9.1?10-31Kg，以v=6.0?106m/s速率運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量m = 50Kg的人，以v=15m/s的速度運(yùn)動(dòng)，試比較電子與人的De Broglie波長(zhǎng)。,解：電子和人的De Broglie波長(zhǎng)分別為：,電子

5、的De Broglie波長(zhǎng)與X 射線(xiàn)接近，人的De Broglie波長(zhǎng)儀器根本觀(guān)測(cè)不到?？梢?jiàn)，宏觀(guān)物體的波動(dòng)性根本不必考慮，只考慮其粒子性。,例2：兩束電子動(dòng)能分別為100eV和200eV，求電子的De Broglie波長(zhǎng)。,解：電子的De Broglie波長(zhǎng)分別為：,電子的De Broglie波長(zhǎng)與 X 射線(xiàn)接近，其波動(dòng)性不能忽略。,①Davisson-Germer的電子衍射實(shí)驗(yàn),1927年美國(guó)物理學(xué)家 C.J. Davisson與

6、G.P. Germer用電子衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電子具有波動(dòng)性。實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如下：,二、物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,要想從實(shí)驗(yàn)上觀(guān)察到物質(zhì)波，必須波長(zhǎng)孔隙線(xiàn)度可比擬從而產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。由上面的計(jì)算可知，任何宏觀(guān)物體的物質(zhì)波實(shí)際上都無(wú)法通過(guò)衍射觀(guān)察，但是能量為～102eV的電子其德布羅意波長(zhǎng)與X射線(xiàn)同量級(jí)，X射線(xiàn)能觀(guān)察到衍射，電子打在晶體上也應(yīng)當(dāng)能觀(guān)察到電子的衍射。,此實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電子具有波動(dòng)性。,實(shí)驗(yàn)裝置如圖示。燈絲K發(fā)出的電子束通過(guò)狹縫D后，略入射到鎳

7、單晶體上。假如電子具有波動(dòng)性，應(yīng)滿(mǎn)足布喇格公式 在散射角不變時(shí)，測(cè)量在不同加速電壓下經(jīng)晶體散射后的電子束（電流）的強(qiáng)度。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)電子束（電流）的強(qiáng)度具有明顯的選擇性。,如：僅當(dāng) 時(shí)，電流才有極大值。,②G P Thomson的電子衍射實(shí)驗(yàn),1927年英國(guó)物理學(xué)家G P Thomson（J J Thomson之子）也獨(dú)立地完成了電子多晶體衍射實(shí)驗(yàn)。燈絲K發(fā)出的電子束經(jīng)加

8、速后通過(guò)狹縫（～keV），垂直投射到多晶薄片上，穿過(guò)薄片后在底片上形成衍射圖樣。,,,screen,poly-crystal film,ultra-high voltage,,,,,,,,,,,,,,grid,cathode,由此 L. de Broglie獲1929年Nobel物理獎(jiǎng)G. P. Thomson與C. J. Davisson共獲1937年Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)。,后來(lái)實(shí)驗(yàn)又驗(yàn)證了：質(zhì)子、中子和原子、分子等實(shí)物粒子都具有波

9、動(dòng)性，并都滿(mǎn)足德布羅意關(guān)系。,三、物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)解釋,德布羅意波理論得到實(shí)驗(yàn)支持后，怎么解釋實(shí)物粒子的波動(dòng)性質(zhì)，或者說(shuō)如何看待波粒二象性，成為當(dāng)時(shí)物理學(xué)界的一個(gè)重大爭(zhēng)論問(wèn)題。 物質(zhì)波對(duì)應(yīng)什么物理量在波動(dòng)？ 物質(zhì)波是電磁波還是機(jī)械波？ 物質(zhì)波滿(mǎn)足什么波動(dòng)方程？ 經(jīng)過(guò)物理學(xué)家之間的反復(fù)論戰(zhàn)，大部分人都同意波恩的觀(guān)點(diǎn)：物質(zhì)波是一種概率波，而不是經(jīng)典的波動(dòng)。波粒二象性是單個(gè)粒子所具有的固有屬性。下面我們來(lái)討論一下電子的雙縫干

10、涉實(shí)驗(yàn)。1949年，前蘇聯(lián)物理學(xué)家費(fèi)格爾曼做了一個(gè)非常精確的弱電子流衍射實(shí)驗(yàn)。電子幾乎是一個(gè)一個(gè)地通過(guò)雙縫，底片上出現(xiàn)一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)子。（顯示出電子具有粒子性）開(kāi)始時(shí)底片上的點(diǎn)子“無(wú)規(guī)”分布，隨著電子增多，逐漸形成雙縫衍射圖樣,單電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)：,7個(gè)電子,100個(gè)電子,3000,20000,70000,說(shuō)明衍射圖樣不是電子相互作用的結(jié)果,它來(lái)源于單個(gè)電子具有的波動(dòng)性。每個(gè)電子到達(dá)屏上各點(diǎn)有一定概率，衍射圖樣是一個(gè)電子出現(xiàn)概率的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

11、。,粒子觀(guān)點(diǎn),電子密處，概率大,電子疏處，概率小,,物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)意義：某處物質(zhì)波的強(qiáng)度與粒子在該處鄰近出現(xiàn)的概率成正比。,怎樣理解微觀(guān)粒子的二象性：1 粒子性 指它與物質(zhì)相互作用的“顆粒性”或“整體性”。 但不是經(jīng)典的粒子！因?yàn)槲⒂^(guān)粒子沒(méi)有確定的軌道，應(yīng)拋棄“軌道”的概念！2 波動(dòng)性 指它在空間傳播有“可疊加性”，有“干涉”、“衍射”、“偏振”等現(xiàn)象。但不是經(jīng)典的波！因?yàn)樗鼪](méi)有某種實(shí)際物理量（如質(zhì)點(diǎn)的位移、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等）

12、的波動(dòng)。,少女？老婦？,兩種圖象不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在你的視覺(jué)中。,微觀(guān)粒子在某些條件下表現(xiàn)出粒子性，在另一些條件下表現(xiàn)出波動(dòng)性，而兩種性質(zhì)雖寓于同一體中，卻不能同時(shí)表現(xiàn)出來(lái)。,,§22.2 波函數(shù),波函數(shù) 描述具有波粒二象性的微觀(guān)物體狀態(tài)的函數(shù)稱(chēng)為波函數(shù)。如果知道了某微觀(guān)物體的波函數(shù)后，原則上確定該物體的全部物理性質(zhì)。波函數(shù)一般是時(shí)間和空間坐標(biāo)的復(fù)數(shù)函數(shù)。,一、波函數(shù),隨著舊量子論的出現(xiàn)，經(jīng)典物理的概念越來(lái)越難以描述微觀(guān)現(xiàn)象，

13、矛盾隨處可見(jiàn)，物理學(xué)家們都很困惑。1925~1928年，在物質(zhì)波理論成功的激勵(lì)下，Heisenberg、Born、Schrödinger、Dirac等人終于建立了一套完全革命性的理論 量子力學(xué)。,在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：,沿X方向勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的自由粒子，動(dòng)量、能量恒定不變。按照De Broglie關(guān)系，此物質(zhì)波的波長(zhǎng)和頻率也保持恒定不變，即為平面單色波，其波函數(shù)寫(xiě)作：,在波動(dòng)學(xué)中，描述波動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時(shí)間的二元函

14、數(shù)。,一列沿X軸正向傳播的平面單色簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：,應(yīng)用De Broglie關(guān)系，上式可改寫(xiě)成為：,自由粒子的能量和動(dòng)量為常量，其德布羅意波是平面單色波。,對(duì)于處在外場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)的非自由粒子，其能量和動(dòng)量不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。,外場(chǎng)不同，粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。,微觀(guān)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用波函數(shù)來(lái)描述，這是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)。,空間某處波的強(qiáng)度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；,在該處單位

15、體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（即概率密度）與波函數(shù)的模的平方成正比，并取比例系數(shù)為1，即：,德布羅意波又可以被稱(chēng) 概率波 probability wave,二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,設(shè)描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)為 ，則：,,,,,,,,,X,Y,z,O,x,y,z,x,d,因概率密度,在波函數(shù)存在的全部空間V中必能找到粒子，即在全部空間V中粒子出現(xiàn)的概率為1。,此條件稱(chēng)為波函數(shù)的歸一化條件。,滿(mǎn)足歸一化條件的波函數(shù)稱(chēng)為歸一化波函數(shù)。,故在

16、 矢端的體積元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：,波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義，其函數(shù)性質(zhì)應(yīng)具備三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件：,以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線(xiàn)中，只有一種符合標(biāo)準(zhǔn)條件,,Y,Y,Y,Y,X,O,X,O,O,X,O,X,,,,,,,,,,連續(xù),,因概率不會(huì)在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；,單值,,因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定單值；,有限,,因概率不可能為無(wú)限大，故波函數(shù)必須是有限的；,,2.物質(zhì)波與經(jīng)典波的異同,

17、例1：已知粒子的波函數(shù)為 ， c 是待定實(shí)數(shù)。求發(fā)現(xiàn)粒子 概率最大的位置和粒子出現(xiàn)在[0,1]上的概率。,發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：,令導(dǎo)數(shù)為零能求嗎？,解：先定歸一化系數(shù)c,發(fā)現(xiàn)粒子概率最大處為,發(fā)現(xiàn)粒子出現(xiàn)在[0,1]概率為,在經(jīng)典力學(xué)中，宏觀(guān)物體（粒子、質(zhì)點(diǎn)）某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，我們可以確定的坐標(biāo)和確定的動(dòng)量來(lái)描述。那么，對(duì)具有波粒二象性的微觀(guān)粒子，是否也能用確定的坐標(biāo)和確定的動(dòng)量來(lái)描述呢？,Heisenbe

18、rg首先提出，由于微觀(guān)粒子具有顯著的波動(dòng)性，不能同時(shí)確定坐標(biāo)和動(dòng)量。后來(lái)玻恩按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋給出了嚴(yán)格的證明，使其表述更為準(zhǔn)確，最后這一關(guān)系成為了量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。,§22.3 不確定關(guān)系,海森堡（W.K.Heisenberg，1901—1976）德國(guó)理論物理學(xué)家。他在1925年為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻(xiàn)，于1927年提出的不確定關(guān)系，奠定了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。因創(chuàng)立用矩陣數(shù)學(xué)描述微觀(guān)粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的矩陣力學(xué)，獲1

19、932年諾貝爾物理獎(jiǎng)。,由于使用波函數(shù) 來(lái)描述微觀(guān)粒子的狀態(tài)，粒子的位置出現(xiàn)在空間各點(diǎn)的概率就可以用 來(lái)計(jì)算，這樣的結(jié)果告訴我們，粒子位置具有一個(gè)不確定度 ，同樣粒子的動(dòng)量分布也可以計(jì)算出一個(gè)不確定度 這兩個(gè)量：同一時(shí)刻的坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定度是否有某種聯(lián)系呢？我們首先定性分析一個(gè)例子：,1. 定性分析,,,,,,位置不確定度,波包可用若干不同波長(zhǎng)平面波疊加得到，波長(zhǎng)不是單一的，有一個(gè)波長(zhǎng)分布范圍。根據(jù)德布羅

20、意關(guān)系動(dòng)量也有一定的不確定度,量子力學(xué)可嚴(yán)格證明，一維微觀(guān)粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定度之積為：,即：對(duì)于微觀(guān)粒子不能同時(shí)用確定的位置和確定的動(dòng)量來(lái)描述，這就是Heisenberg不確定關(guān)系，以前叫測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系），如果是三維情況：,2. 不確定關(guān)系 uncertainly relation,在做數(shù)量級(jí)估算的時(shí)候，不等式右方還可以出現(xiàn) 、 、,在量子力學(xué)中，能量和時(shí)間也存在著一組關(guān)系：,3. 不確定關(guān)系的理解,坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)具有確定的數(shù)

21、值；坐標(biāo)或動(dòng)量越準(zhǔn)確，則與之對(duì)應(yīng)的量就越不確定。坐標(biāo)或動(dòng)量具有完全確定的值時(shí),與之對(duì)應(yīng)的量將具有完全不確定的值。,測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是由于微觀(guān)粒子的波粒二象性決定的，并非由于實(shí)驗(yàn)儀器、實(shí)驗(yàn)技術(shù)和方法的不精確所致，即使是無(wú)誤差的理想實(shí)驗(yàn)，也不能排除量子體系固有的這一特性。,測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系與Bohr軌道概念不相容。,這里的坐標(biāo)或動(dòng)量都具有統(tǒng)計(jì)含義，分別代表有關(guān)位置和動(dòng)量的方均根偏差。,時(shí)間與能量的不確定關(guān)系表示出了粒子能量與其壽命確定程度互相制約的關(guān)系

22、。,②關(guān)于時(shí)間與能量關(guān)系,根據(jù)能量和時(shí)間的不確定關(guān)系，可以解釋原子譜線(xiàn)的寬度。,基態(tài)：非常穩(wěn)定,第一激發(fā)態(tài)：能量和基態(tài)比要高，所以不穩(wěn)定，存在一個(gè)壽命τ。,完全確定；,所以，電子從第一激發(fā)態(tài)E1向基態(tài)Eo的躍遷，所發(fā)出的光譜線(xiàn)一定有寬度，或者說(shuō)波長(zhǎng)有一個(gè)范圍。其它高激發(fā)態(tài)也一樣。,存在一個(gè)范圍。,③普朗克常量h的物理意義,如同光速c的量級(jí)規(guī)定了Newton力學(xué)的適用范圍，把它與相對(duì)論劃分開(kāi)來(lái)，Planck常數(shù) 的量級(jí)從另一個(gè)方

23、向規(guī)定了Newton力學(xué)的適用范圍，并把經(jīng)典理論同量子理論劃分開(kāi)來(lái)。在任何具體的問(wèn)題中，如果相對(duì)說(shuō)來(lái)， 可以忽略不計(jì)，那么坐標(biāo)和動(dòng)量就可以同時(shí)確定，經(jīng)典理論適合這樣的問(wèn)題；如果 的大小不能忽略，那就必須使用量子理論。,例：若電子與質(zhì)量 m = 0.01 Kg 的子彈，都以 200 m/s 的速度沿 x 方向運(yùn)動(dòng)，速率測(cè)量相對(duì)誤差在 0.01% 內(nèi)。求在測(cè)量二者速率的同時(shí)測(cè)量位置所能達(dá)到的最小不確定度△x 。,解：（1）

24、電子位置的不確定度。由于電子動(dòng)量不確定度為,（2）子彈位置的不確定度。由于子彈動(dòng)量不確定度為,例：討論電子的單縫衍射實(shí)驗(yàn)中的不確定關(guān)系。 如果我們?nèi)杂米鴺?biāo)和動(dòng)量描述電子的運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)電子通過(guò)狹縫的坐標(biāo)x為多少？對(duì)此我們無(wú)法準(zhǔn)確知道，不確定范圍為：,衍射電子的動(dòng)量大小無(wú)變化，但方向改變了。由于衍射后，大部分電子落在兩個(gè)一級(jí)暗紋之間，因此，由暗紋條件電子動(dòng)量在x方向的不確定度為：,一級(jí)暗紋滿(mǎn)足關(guān)系：,由De Broglie關(guān)系:,由

25、于電子經(jīng)狹逢衍衍射后，并不完全出現(xiàn)在一級(jí)明紋處，考慮次級(jí)明紋后，應(yīng)有：,§22.4 Schrödinger 方程,薛定諤（Erwin Schrödinger, 1887--1961）奧地利物理學(xué)家，量子力學(xué)的重要奠基人之一，同時(shí)在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)、原子光譜及鐳的放射性等方面都有很大成就。,薛定諤的波動(dòng)力學(xué)，是在德布羅意提出的物質(zhì)波的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。他把物質(zhì)波表示成數(shù)學(xué)形式，建立了稱(chēng)為薛定諤方程的量

26、子力學(xué)波動(dòng)方程，在量子力學(xué)中居核心的地位，是量子力學(xué)中描述微觀(guān)粒子(如電子等)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的基本定律，在微觀(guān)、低速條件下適用。在經(jīng)典極限下，薛定諤方程可以過(guò)渡到哈密頓方程。 薛定諤對(duì)分子生物學(xué)的發(fā)展也做過(guò)工作。由于他的影響，不少物理學(xué)家參與了生物學(xué)的研究，使物理學(xué)和生物學(xué)相結(jié)合，形成了現(xiàn)代分子生物學(xué)的最顯著的特點(diǎn)之一。由于對(duì)原子理論的發(fā)展貢獻(xiàn)卓著，于1933年同英國(guó)物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。,,量子力學(xué)是研究微觀(guān)粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律

27、物理學(xué)分支學(xué)科，主要研究原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)，以及原子核和基本粒子的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)的基礎(chǔ)理論。,經(jīng)典力學(xué)中，已知力 F 及 xo、vo，可由牛頓定律及守恒率等方程求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的狀態(tài)。,量子力學(xué)中，已知初始狀態(tài)、根據(jù)薛定諤方程，可求(How)粒子任意時(shí)刻波函數(shù)、在某一體積中概率、系統(tǒng)能量。,上面的方程含有時(shí)間變量t，常常稱(chēng)為含時(shí)薛定諤方程。求解過(guò)程一般很復(fù)雜。下面我們用一維平面波的波函數(shù)來(lái)驗(yàn)證其正確性。,動(dòng)能,哪里來(lái)的？猜測(cè)出來(lái)的。費(fèi)曼說(shuō)

28、：“它來(lái)自薛定諤的心靈?！?一、Schrödinger方程的引入,i是純虛數(shù)，粒子質(zhì)量為m，勢(shì)能為V (r, t),定義粒子的哈密頓量H (總能量：動(dòng)能 + 勢(shì)能),勢(shì)能,一個(gè)粒子不受到外力，勢(shì)能為零，稱(chēng)為自由粒子。它的波函數(shù)是前面介紹過(guò)的平面波形式。,1.一維自由粒子Schrödinger方程,,自由粒子的薛定諤方程,方程左端,方程右端,含時(shí)薛定諤方程正確。,2.定態(tài)Schrödinger方程,含時(shí)薛

29、定諤方程很難解，但如果粒子的勢(shì)能V只是坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)，此時(shí)可以化簡(jiǎn)含時(shí)薛定諤方程。,分離變量法,可以證明,E 就是粒子的總能量數(shù)值，包含動(dòng)能和勢(shì)能之和。,此時(shí)薛定諤方程可以化簡(jiǎn)為,記為,此時(shí)薛定諤方程不含時(shí)間t，所以也稱(chēng)為定態(tài)薛定諤方程。,為什么叫定態(tài)？,stationary state,此時(shí)波函數(shù)的概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以可以稱(chēng)為定態(tài)。波函數(shù) 可稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)。,在一維定態(tài)問(wèn)題中，即粒子在V(x)勢(shì)能場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，定態(tài)薛

30、定諤方程為,別忘記，要使上式解得的波函數(shù)合理，必須滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)化條件：,連 續(xù),波函數(shù)必須處處連續(xù)，光滑；,單 值,歸一化,二、一維勢(shì)阱問(wèn)題,做一維運(yùn)動(dòng)的粒子所受到的勢(shì)能為：,粒子只能在寬為 a 的兩個(gè)無(wú)限高井壁間運(yùn)動(dòng)。我們分區(qū)討論粒子的運(yùn)動(dòng)。,1.一維方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù),薛定諤方程在勢(shì)阱內(nèi)成為：,波函數(shù)在勢(shì)阱外應(yīng)等于零，為什么？,通解為：,由邊界條件：,只有：,,勢(shì)阱內(nèi)粒子 E 只能取離散值，能量量子化：,2.能量量子化,由：,“基態(tài)”

31、,“激發(fā)態(tài)”,,波函數(shù)在（0，a）區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率滿(mǎn)足歸一化條件，即：,3.歸一化條件,粒子在勢(shì)阱中的概率密度：,4.討論,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n 很大時(shí)，相鄰波腹靠得很近，接近經(jīng)典力學(xué)各處概率相同。,①函數(shù)曲線(xiàn),勢(shì)阱內(nèi)任兩相鄰能級(jí)差,量子規(guī)律在極限條件下可轉(zhuǎn)化為經(jīng)典物理規(guī)律。,②對(duì)應(yīng)原理,a很小時(shí)，電子在原子中運(yùn)動(dòng)，△E 大，量子化顯著；,a較大時(shí)，△E小，量子化不顯著，連續(xù)變化。,,三、一維方勢(shì)壘、隧道效應(yīng),1

32、.一維方勢(shì)壘,經(jīng)典物理看來(lái)，在 x a的區(qū)域。,但在量子力學(xué)看來(lái)，由于粒子的波粒二象性粒子，在勢(shì)壘內(nèi)和勢(shì)壘外區(qū)域的波函數(shù)都不為0，進(jìn)而各處都有一定的概率密度分布。,量子力學(xué)認(rèn)為，雖然粒子的能量低于勢(shì)壘，但在勢(shì)壘中似乎有一個(gè)“隧道”，能使少量粒子穿過(guò)勢(shì)壘，而到達(dá)另一端，這種量子現(xiàn)象稱(chēng)為隧道效應(yīng)。,隧道效應(yīng),tunneling effect,隧道效應(yīng)來(lái)源于微觀(guān)粒子的波動(dòng)性。該效應(yīng)已被許多實(shí)驗(yàn)證實(shí)，并在半導(dǎo)體器件、超導(dǎo)器件、物質(zhì)表面探測(cè)等現(xiàn)

33、代科技領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用。,2.掃描隧道顯微鏡,Scanning Tunnel Microscope,金屬中的電子由于隧道效應(yīng)有可能穿越比其能量更高的表面勢(shì)壘（逸出電勢(shì)壘）而逸出金屬表面，在金屬外表面附近形成電子云，電子云的分布形式與金屬晶體的結(jié)構(gòu)和表面性質(zhì)有關(guān)。,若兩塊金屬表面相距很近，至使表面的電子云發(fā)生相互重疊，此時(shí)若在兩金屬間加一微弱電壓（操作電壓），則會(huì)有微弱的電流（隧道電流）從一金屬流向另一金屬。,實(shí)驗(yàn)表明，只要?jiǎng)輭緦挾雀?/p>

34、變0.1nm(原子直徑線(xiàn)度），就會(huì)引起隧道電流變化一千倍左右。,STM利用隧道效應(yīng)中的這種靈敏特性，將一金屬做成極細(xì)的探針（針尖細(xì)到一個(gè)原子大?。?，在另一金屬樣品表面附近掃描，它能夠以原子級(jí)的空間分辨率去觀(guān)察物質(zhì)表面的原子結(jié)構(gòu)。,1981年賓尼希和羅雷爾利用電子掃描隧道顯微鏡（STM）。 STM可用于金屬、半導(dǎo)體、絕緣體和有機(jī)物表面的研究。是材料科學(xué)、生命科學(xué)和納米科學(xué)與技術(shù)的有力武器。,③電子顯微鏡,顯微鏡的分辨率與波長(zhǎng)成反比。由于電

35、子的De Broglie波長(zhǎng)比可見(jiàn)光小得多，因此，電子顯微鏡的分辨率比光學(xué)顯微鏡高得多。當(dāng)電子的動(dòng)能Ek～102eV時(shí)，?～1Å量級(jí)；Ek～105 eV時(shí)，?更短。 1932年，Ruska（德）制成第一臺(tái)電子顯微鏡（磁聚焦）。目前，分辨率～0.2nm。 1981年，Binnig（德）和Rohrer（瑞士）制成掃描隧道顯微鏡，分辨率：橫向～0.1nm；縱向～0.001nm。已廣泛用于納米材料、生命科學(xué)和微電子學(xué)等