第三章傅里葉變換-東北石油大學(xué)精品課程建設(shè)工程

1、第三章 傅里葉變換,§3.1 引言§3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析(頻譜分析)§3.3典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(頻譜)§3.4傅立葉變換§3.5典型非周期信號(hào)的傅里葉變換（FT）§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換§3.7傅里葉變換的基本性質(zhì)§3.8卷積特性§3.9周期信號(hào)的傅里葉變換§3.10抽樣信號(hào)的傅里葉變

2、換§3.11抽樣定理第三章 復(fù)習(xí)課,§3.1 引言,法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉有兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn): 1 周期信號(hào)都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和. 2 非周期信號(hào)都可以用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示. 本章要點(diǎn): 1 建立信號(hào)頻譜的概念. 2 利用傅里葉級(jí)數(shù)的定義式分析周期信號(hào)的離散頻譜. 3 利用傅里葉積分(變換)分析非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜. 4 理解信號(hào)時(shí)域與頻域間的關(guān)系.

3、 5 用傅里葉變換的性質(zhì)進(jìn)行正、逆變換. 6 掌握抽樣信號(hào)頻譜的計(jì)算及抽樣定理.,§3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析(頻譜分析),周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)兩種表現(xiàn)形式: 1: 三角函數(shù)級(jí)數(shù) 2: 指數(shù)形式一：周期信號(hào)展開成三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù). 1 周期信號(hào): 2 傅里葉級(jí)數(shù)展開表達(dá)式:,,,（1） 無(wú)限項(xiàng)和,（2） n正整數(shù),,信號(hào)的平均值、直流分量 （3）,（4）,（5）,補(bǔ)充：,

4、,,即有：,3 滿足狄利克雷條件:(充分條件),①在一個(gè)周期內(nèi)，若有間斷點(diǎn)存在，間斷點(diǎn)數(shù)目應(yīng)該是有限個(gè),②在一個(gè)周期內(nèi),極大值和極小值數(shù)目應(yīng)該是有限個(gè),③在一個(gè)周期內(nèi),信號(hào)絕對(duì)可積,,注:我們遇到的周期信號(hào)都能滿足狄利克雷條件.,4 三角函數(shù)形式的另一種表達(dá)形式.(同頻率項(xiàng)加以合并),5 畫頻譜圖(幅度譜、相位譜),P91頁(yè),圖3-1 單邊譜,譜線:每條線代表某一頻率分量的幅度.,包絡(luò)線:連接各譜線頂點(diǎn)的曲線.反映各頻率分量的

5、幅度變化情況,6 周期信號(hào)頻譜特點(diǎn).,①離散譜:,,②收斂性.,③諧波性:,二 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù),1 展開式:,,證明:思路由三角形式→指數(shù)形式,利用歐拉公式:,得,,把(10),(11)代入(9)得,,證明:把(4)(5)代入(10)即可.,2:,3 兩種傅氏級(jí)數(shù)系數(shù)間的關(guān)系.,,,4 畫復(fù)數(shù)頻譜. P93頁(yè) 雙邊譜,5 周期復(fù)指數(shù)信號(hào)頻譜圖的特點(diǎn):,①引入了負(fù)頻率變量,沒(méi)有物理意義.只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果.,②,,③,

6、,三、函數(shù)的對(duì)稱性與傅立葉系數(shù)關(guān)系,1,只含直流項(xiàng)、余弦項(xiàng),3,2,波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期，并相對(duì)該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形不發(fā)生變化。,只含基波，奇次諧波，正弦余弦分量,4,若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后，此時(shí)波形不發(fā)生變化。,,,,,,,只含偶次諧波分量、直流分量,內(nèi)容：周期信號(hào)的平均功率等于傅立葉級(jí)數(shù)展開式中各諧波分 量有效值的平方和，即時(shí)域和頻域能量守恒。,四、帕塞瓦爾定理（能量守恒）,公式：,證明：,,又,

7、注：,滿足,任意周期函數(shù)表示為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)需要無(wú)限多項(xiàng)才能完全逼近原函數(shù)。實(shí)際采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)代替無(wú)限項(xiàng)級(jí)數(shù)——有了誤差, 方均誤差衡量,誤差：,方均誤差：,說(shuō)明：①,五、傅立葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差,②,③,的不連續(xù)點(diǎn)。,④當(dāng)信號(hào)中任一頻率分量的幅度和相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形 發(fā)生失真。,⑤吉布斯現(xiàn)象,當(dāng)選取傅立葉有限級(jí)數(shù)的項(xiàng)愈多，在所合成的波形中出現(xiàn)的,峰起愈靠近,總跳變值的９％，并從不連續(xù)點(diǎn)開始起伏振蕩形式衰減下去。,當(dāng)所

8、選取的項(xiàng)數(shù)N很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，大約等于,§3.3典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(頻譜),一:頻譜圖,信號(hào)f(t)可以分解成一系列正弦分量的加權(quán)和,要想觀察f(t)中包含哪些頻率分量,以及各分量的相對(duì)大小關(guān)系.從表達(dá)式看不直觀,采用另一種表征方式.即頻譜圖的方式.,相位頻譜,,,,,,,,二:周期性方波信號(hào)的頻譜,,,,,,,奇函數(shù) 只含正弦項(xiàng),奇諧函數(shù) 奇次諧波項(xiàng),奇次正弦項(xiàng),,幅度頻譜,,,,,,,,,,

9、,,,,,,,三:,,,,,,,,,,,,,,四:周期性脈沖頻譜,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,五:結(jié)論：,1 :周期信號(hào)的頻譜具有離散性，諧波性，收斂性。,離散性，諧波性對(duì)于所有信號(hào)都成立，收斂性不是對(duì)于所有,信號(hào)成立，對(duì)工程應(yīng)用上的實(shí)際信號(hào)都成立。,六:參數(shù)變化對(duì)頻譜的影響。,1.,重要概念：信號(hào)的有效頻帶B,信號(hào)的頻帶有多種定義方式，工程中常用的有幾種人為規(guī)定： ⑴以信號(hào)最大幅度的1/10為限，其他部分忽略不計(jì).

10、 ⑵以信號(hào)功率的1/2為限，其他部分忽略不計(jì).(半功率點(diǎn)頻寬) ⑶以信號(hào)振幅頻譜中的第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)為限.(本書) ⑷以信號(hào)能量的90%為限，其他部分忽略不計(jì).,選用哪種頻帶定義方式,根據(jù)工程需要選用,本書選(3).,第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)有重要的物理意義：,,2,3: 信號(hào)邊沿變化對(duì)頻譜影響,由1緩慢變化為0,,,,,立即由1跳變?yōu)?,,,,,,,,——非周期信號(hào)的頻譜分析,,① 周期信號(hào)演變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)。,§3.4 傅立葉

11、變換,周期信號(hào)的頻譜：,②,③,從物理概念上考慮：既然成為一個(gè)信號(hào)，必然含有一定的能量。無(wú)論信號(hào)怎么樣分解所含能量不變。不管周期增大到什么程度，頻譜分布依然存在。,從數(shù)學(xué)角度上看：無(wú)限多的無(wú)窮小量之和仍可等于一個(gè)有限值，此有限值取決于信號(hào)的能量。,所以對(duì)非周期信號(hào)進(jìn)行頻譜分析將引入一個(gè)新的量——頻譜密度函數(shù)。,一:從周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)，推導(dǎo)出非周期信號(hào)的傅立葉 變換——極限方法,,定義,稱,為頻譜密度：指單位頻

12、帶的頻譜值。,稱為原信號(hào),即,傅立葉正變換,的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱,頻譜函數(shù)。,任何變換都應(yīng)存在逆變換，即：,傅立葉逆變換,記為：,說(shuō)明：看P100圖3-18,⑴,非周期信號(hào)的幅度頻譜。,⑵ 非周期信號(hào) 頻譜是連續(xù)譜，形狀與相應(yīng)的周期信號(hào)頻譜包絡(luò)線相同。,非周期信號(hào)的相位頻譜。,二：傅立葉變換的條件：,充分條件：,不一定,某些不滿足絕對(duì)可積條件的信號(hào)如周期信號(hào)、階躍信號(hào)、符號(hào)函數(shù)，借助沖激函數(shù)概念，也存在傅立葉變換。,～,～,三:傅立葉

13、變換的幾點(diǎn)說(shuō)明,傅立葉正變換給出了非周期信號(hào)的頻譜數(shù)學(xué)表達(dá)式；,時(shí)間函數(shù),可以表示為頻率在區(qū)間,內(nèi)的指數(shù),函數(shù)連續(xù)和；,傅立葉變換提供了信號(hào)的頻率描述和時(shí)間描述之間相互變換工具。,2:關(guān)于連續(xù)譜說(shuō)明,具有離散頻譜的信號(hào)，其能量集中在一些諧波分量中；,具有連續(xù)頻譜的信號(hào),其能量集中在所有的頻率中,每一頻率分量包含的能量則為無(wú)窮小量,對(duì)周期信號(hào)是用實(shí)際振幅,作出的；,對(duì)非周期信號(hào)是用密度函數(shù),作出的。,§3.5典型非周期信號(hào)的傅

14、里葉變換（FT）,一 :單邊指數(shù)信號(hào),,,,求FT,,,,,,,,二 雙邊指數(shù)信號(hào),求FT,,三 矩形脈沖信號(hào),,說(shuō)明：,注：,,四:符號(hào)函數(shù),,分析：,思路：,,,解：①：,,②：,,,,,,,,,,,,,,,,,§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換,奇異信號(hào)在信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析和頻域分析中占有同樣重要作用,一:,1:正變換,,,,,,,,,2:逆變換,說(shuō)明: (1)白色譜(均勻譜)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻分布的

15、 (2)δ(t)的頻譜等于常數(shù),白色譜包含幅度相等的所有頻率分量 (3)在時(shí)域變化異常激烈的信號(hào)δ(t),在頻域?qū)蓄l率分量 (4)時(shí)域和頻域具有對(duì)稱性,,,,,,,,,,,,二:,思路:,式兩邊對(duì)t求導(dǎo),同理:,思路：,方法一：利用符號(hào)函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù),三:階越函數(shù)的FT,說(shuō)明：,,,,,,①:構(gòu)造輔助函數(shù),方法二:利用單邊指數(shù)函數(shù)取極限,②：,解：,§3.7傅里葉變換的基本性質(zhì),一:對(duì)稱性,,例 1：,

16、例 2:已知,思路：,例 4:,分析：,,二:線性,即相加信號(hào)的頻譜等于各個(gè)單獨(dú)信號(hào)的頻譜之和。,例 3：,分析：,例:求圖所示信號(hào)的FT。,,,,,三:奇偶虛實(shí)性,考慮一般情況：設(shè)f(t)是t的復(fù)數(shù)。即,即有：,特殊情況討論：,結(jié)論：,,實(shí)信號(hào)的頻譜具有很重要的特點(diǎn)，正負(fù)頻率部分的頻譜是相互共軛的。,結(jié)論：實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是實(shí)偶函數(shù),,結(jié)論：實(shí)奇函數(shù)的傅里葉變換仍然是實(shí)奇函數(shù),,,解：,,,例：,,,,四:尺度變換特性,,物

17、理解釋：信號(hào)波形壓縮a倍，說(shuō)明信號(hào)隨時(shí)間變化加快a倍。所以，它包含的頻率分量增加a倍，即頻譜展寬a倍，但幅值減小a倍。,等效脈寬與等效頻寬（另一角度說(shuō)明尺度變換特性）,結(jié)論：信號(hào)占有的等效頻帶寬度和等效脈沖寬度成反比，即通信速度和通信帶寬成反比，這是一對(duì)矛盾。,,,,,,,,,五:時(shí)移特性,例:,解:,例:求圖示信號(hào)的FT.,,,,,,,,六:頻移特性,,1：,解:,2:頻譜搬移技術(shù)原理：,,,3:調(diào)制，解調(diào),在通信系統(tǒng)中，為實(shí)現(xiàn)

18、信號(hào)的傳輸，往往需要調(diào)制和解調(diào)。為什么信號(hào)要進(jìn)行調(diào)制才能發(fā)送出去？信號(hào)傳輸中遇到的問(wèn)題。,與電磁波的傳播規(guī)律有關(guān)：,無(wú)線電通信系統(tǒng)是通過(guò)空間輻射方式傳送信號(hào)的，由電磁波理論可知：天線尺寸為被輻射信號(hào)波長(zhǎng)的十分之一或更大些，信號(hào)才能被有效輻射。,例:要傳送信號(hào)f=1kHz(低頻)，求天線長(zhǎng)度。,解：,天線長(zhǎng)度：L=30000（米）,實(shí)際上不可能制造這么長(zhǎng)的天線。,②聲音信號(hào)的頻率范圍（20Hz～2kHz）,這樣的信號(hào)直接輻射

19、 出去，那么各電臺(tái)的發(fā)射頻率就會(huì)相同，它們是混在一起， 接收者無(wú)法選擇所需接收信號(hào)。,㈠調(diào)制,這兩個(gè)問(wèn)題如何解決？需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行調(diào)制，即頻譜搬移。,,,,信號(hào)f(t)的頻譜就被搬到載波w0頻率附近。,二:解調(diào)：從調(diào)制信號(hào)中恢復(fù)原始信號(hào)f(t)的過(guò)程。,,,同步解調(diào),,,,,,,七:微分特性,,,時(shí)域微分：說(shuō)明在時(shí)域中f(t)對(duì)t取n階導(dǎo)數(shù)等效于在頻域中F(w)乘以（jw）n,,頻域微分：,例:,解：,,（2）利用對(duì)稱性,,,

20、,八:積分特性,例：,,,解:（1）,,（2）,,（3）,§3.8卷積特性,一:時(shí)域卷積定理,說(shuō)明:在時(shí)域中兩信號(hào)的卷積等效于在頻域中頻譜相乘.,二:頻域卷積定理,,說(shuō)明:兩時(shí)間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩函數(shù)的乘積.,例:利用卷積定理求三角脈沖的頻譜,,,,解: (1)三角脈沖形成:兩個(gè)同樣寬度矩形脈沖進(jìn)行卷積,,,,,例:利用卷積定理求余弦脈沖頻譜,解:,,,,,(3)畫頻譜:,(2),§3.9周期信號(hào)的傅里葉變換,周

21、期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件,但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它是有意義的前提下, 周期信號(hào)的傅里葉變換是存在的.,一:幾種典型周期信號(hào)的FT,1：,,,,,2:正余弦信號(hào)的FT,二:一般周期信號(hào)的FT,,,,,,1:證明:,,說(shuō)明:,2 求Fn的方法,方法:從周期信號(hào)中截取一個(gè)周期,得到單脈沖f0(t)非周期信號(hào),比較(1),(2)式,得:,,(2)利用單脈沖的傅里葉變換來(lái)求Fn,①是由一些沖激函數(shù)組成②離散性③諧波性④收斂性

22、,周期信號(hào)的特點(diǎn):,(1),例:求周期單位脈沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)Fs和FT,,,,,,,解: 1:求Fs,,,,通過(guò)把周期信號(hào)進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開形式，分析它的頻譜，離散、諧波、但不收斂。,2: 求FT,,,,,,,,,,,例:求周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的Fs和FT,解: 1:求Fs,2:求FT,,,,,◆單脈沖頻譜F0(w)是連續(xù)譜,它的大小為有限值.◆周期信號(hào)的頻譜F(w)是離散譜,大小用沖激表示.◆F0(w)是F(w)的包絡(luò)1

23、/w1.,說(shuō)明:單脈沖和周期信號(hào)的傅里葉變換比較.,物理意義不同:Fs是單個(gè)復(fù)間諧波成份、復(fù)振幅,后者是單位帶寬內(nèi)所有復(fù)間諧波成份和復(fù)振幅值.,,,,§3.10抽樣信號(hào)的傅里葉變換,一:抽樣目的及所遇到的問(wèn)題.(p150 圖3-48),目的:把模擬信號(hào)變成比特流的數(shù)字信號(hào).,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,遇到的問(wèn)題:,或者說(shuō)：,,二:理想抽樣,抽樣過(guò)程可以看成是由原信號(hào)f(t)和一個(gè)開關(guān)函

24、數(shù)p(t)的乘積來(lái)描述。,,,,,用時(shí)域周期延拓表示時(shí)域沖激序列。,設(shè):,問(wèn)題：時(shí)域很難確定T如何選取，也很難看出是否能夠恢復(fù)原信號(hào)→到頻域觀察，先從圖形上分析，再用數(shù)學(xué)推導(dǎo)。,1:,,注意:,,抽樣過(guò)程也是一個(gè)調(diào)制過(guò)程，理想抽樣存在各次諧波分量，所以是多頻調(diào)制。,即:,結(jié)論:,,,,,三:窄脈沖抽樣（自然抽樣）,幅度隨信號(hào)變化,,,,,,,,,,,,,,,,,,上式表明：信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜Fs(w)是連續(xù)信號(hào)的頻譜F

25、(w)以抽樣頻率ws為間隔周期性地重復(fù)而得到的，在重復(fù)過(guò)程中，幅度被抽樣脈沖p(t)的傅里葉系數(shù)所加權(quán)。加權(quán)系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的形狀。,結(jié)論：抽樣頻率必須選得大于信號(hào)頻譜最高頻率的兩倍。,四:抽樣定理,例:一余弦信號(hào)的周期為T0,用Ts= T0/12的間隔對(duì)它進(jìn)行理想抽樣，求抽樣信號(hào)的頻譜。,解：,,,,,,,,例：,,,解:,奈奎斯特角頻率：,,,,,,,奈奎斯特角頻率：,,奈奎斯特間隔：,§3.11抽樣定理,,,

26、,1:理想抽樣,,,,,,,,,,,,,,抽樣信號(hào)的一般規(guī)律:抽樣信號(hào)的頻譜是把f(t)的頻譜進(jìn)行周期重復(fù),以ws為周期,系數(shù)被p(t)的傅里葉系數(shù)加權(quán).,2:自然抽樣,,,3:抽樣定理,工程上ws=(3～5)2wm,即:一個(gè)周期的間隔內(nèi)至少抽樣兩次,抽樣信號(hào)的頻率至少為原 信號(hào)頻率的兩倍.,第三章 復(fù)習(xí)課,,,一: 信號(hào),2 分類,,⑴,⑵,1 描述:數(shù)學(xué)表達(dá)式,波形(時(shí)域),頻譜.,3 典型信號(hào),⑶,⑷,,,,①,②,③

27、,④,⑤,⑥,⑦,⑧,⑨,(6),①,②接入特性,③用階躍信號(hào)可表示其他信號(hào),4:信號(hào)的運(yùn)算(要通過(guò)系統(tǒng)來(lái)完成),②,③,④,⑤,⑥兩信號(hào)相加相乘 同時(shí)刻(同頻率)的信號(hào)相加相乘.,①,⑦,,物理意義:,計(jì)算:,,性質(zhì):a:交換律 b:分配律 c:結(jié)合律,5:信號(hào)的分解,直流分量和交流分量,(2)偶分量和奇分量,(3)沖激信號(hào)的和,分析線形系統(tǒng)的方法:信號(hào)分解成一系列基本信號(hào)的和,,4:正交函數(shù)分量,,,第三章 傅里

28、葉變換,一:周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù),1:,,,作業(yè)3-7,可以移動(dòng)函數(shù)的坐標(biāo),使波形具有某種對(duì)稱性,以簡(jiǎn)化運(yùn)算.,,2:,,,,單邊譜,3:,,,,4:周期信號(hào)頻譜特點(diǎn):離散性，諧波性，收斂性,二:非周期信號(hào)的FT,特點(diǎn):連續(xù)譜,充分條件：,,,周期信號(hào)：,記住:周期信號(hào)FT的特點(diǎn)：,,,三:周期信號(hào)的FT,例:求周期矩形脈沖f(t)的傅里葉變換,,例：,,,,,,,,,1:對(duì)稱性,,2:線性：,,四:FT的性質(zhì),3:奇偶虛實(shí)性：,4:

29、尺寸變換：,5:時(shí)移特性：,6:頻移特性：,,,7:微分特性：,,,8:積分特性：,9:卷積：,1：,2：,3：,五:典型信號(hào)的FT,4：,5：,6：,7：,,,8：,,,,,9:,10:,六:抽樣,,,1:理想抽樣：,3:,,2:自然抽樣：,4:抽樣定理：,5:奈奎斯特頻率：,奈奎斯特間隔：,二:系統(tǒng),1:分類：,,,,,2:系統(tǒng)模型→微分方程,系統(tǒng)起始狀態(tài)=0，系統(tǒng)是LTI,3:LTI特性：,⑴線形,⑵時(shí)不變特性,⑶微分,⑷積分,⑸