第十二章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論

1、第十二章 應(yīng)力狀態(tài)與強度理論,,,軸向拉壓,同一橫截面上各點應(yīng)力相等：,,,,同一點在斜截面上時：,,同一點在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的,橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點的應(yīng)力各不相同。,,,,§12-1 應(yīng)力狀態(tài)的基本概念,一、單元體,微元?單元體,單元體邊長無窮小；應(yīng)力沿邊長無變化；單元體各個面上的應(yīng)力是均勻分布的；兩個平行面上的應(yīng)力大小相等。,二、應(yīng)力狀態(tài)的概念,受力構(gòu)件內(nèi)

2、一點處不同方位截面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點的應(yīng)力狀態(tài)。,三、主單元體、主應(yīng)力與主平面,?主單元體： 各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體。,?主平面： 切應(yīng)力為零的平面。,?主應(yīng)力： 主平面上的正應(yīng)力。,?主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，,三、應(yīng)力狀態(tài)的分類,三個主應(yīng)力中只有一個不等于0 ? 單向應(yīng)力狀態(tài),三個主應(yīng)力中有兩個不等于0 ? 二向（平面）應(yīng)力狀態(tài),三、應(yīng)力狀態(tài)的分類,三個主應(yīng)力都不等于0 ? 三向（空間）應(yīng)力

3、狀態(tài),三、應(yīng)力狀態(tài)的分類,在車輪壓力作用下，車輪與鋼軌接觸點A處的應(yīng)力狀態(tài),§12-2　平面應(yīng)力狀態(tài)分析,一、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法,平面應(yīng)力狀態(tài)是工程中最為常見的一種應(yīng)力情況，一般的單元體如圖：,1、解析法求斜截面上的應(yīng)力,左圖中上述各項方向均為正方向,切應(yīng)力的符號規(guī)定：若切應(yīng)力對所在截面內(nèi)側(cè)任意點之矩為順時針方向時，為正號，反之，逆為負(fù)號。,正應(yīng)力的符號規(guī)定：正應(yīng)力為拉應(yīng)力，即方向背離截面時，規(guī)定為正；正應(yīng)力為壓應(yīng)力，即

4、方向指向截面時，規(guī)定為負(fù)。,斜截面方位角的符號規(guī)定：由x軸轉(zhuǎn)向外法線n為逆時針轉(zhuǎn)向時，α為正號，反之，順為負(fù)號。,通過截面外法線的方位定義截面的位置,1、解析法求斜截面上的應(yīng)力,1、解析法求斜截面上的應(yīng)力,對以上兩個式子進行數(shù)學(xué)整理，可得到任意斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的一般公式:,1、解析法求斜截面上的應(yīng)力,2、應(yīng)力極值,sa和ta隨著a的變化而變化，是a的函數(shù)，對a求導(dǎo)數(shù)可得到其極值。,若a = a0時，導(dǎo)數(shù)為0,通過上式可以求出相差

5、p/2的兩個角度a0，它們確定兩個相互垂直的面，其中一個是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在平面。,若將a0的值代入切應(yīng)力公式:,可得:,得到以下結(jié)論:,1) 切應(yīng)力為0的平面上，正應(yīng)力為最大或最小值；,2) 切應(yīng)力為0的平面是主平面，主平面上的正應(yīng)力是主應(yīng)力，所以主應(yīng)力就是最大或者最小的正應(yīng)力。,將a0代入sa的計算公式，,計算得到最大和最小正應(yīng)力,2、應(yīng)力極值,試求（1）? 斜面上的應(yīng)力； （2）主應(yīng)力、主平面

6、； （3）繪出主應(yīng)力單元體。,例題1：一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。(MPa),,,解：,（1）? 斜面上的應(yīng)力,,,（2）主應(yīng)力、主平面,,,主平面的方位：,代入 表達式可知,,,主應(yīng)力 方向：,主應(yīng)力 方向：,（3）主應(yīng)力單元體：,,,課堂練習(xí): 求圖示單元體斜面de上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，主應(yīng)力，繪出主單元體，單位MPa,例12-2,討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試件受扭時的破壞現(xiàn)象。,圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫

7、截面的邊緣處切應(yīng)力最大，其數(shù)值為:,在圓軸表層，取出單元體。,例12-2,n1和n2是截面的法線。因此主單元體應(yīng)如圖所示,3個主應(yīng)力按照代數(shù)排序,例12-2,圓截面鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時，表面各點smax所在平面連成傾角為45°的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強度較低，試件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。,例12-2,3、二向應(yīng)力狀態(tài)實例,取n-n截面，分析上面部分,承受內(nèi)壓的薄壁容器,取圖示部分加以分析,如圖示取一段微面積,微面積上的壓力

8、,壓力在 y 軸上投影,和為,3、二向應(yīng)力狀態(tài)實例,3、二向應(yīng)力狀態(tài)實例,1、應(yīng)力圓的概念,將以上兩式取平方和,若以sa，ta 為變量，則為圓方程,圓心:,半徑:,圓周上的每一個點的橫縱座標(biāo)分別代表所研究的單元體某截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力，故稱應(yīng)力圓，或莫爾圓。,二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法,2、應(yīng)力圓的繪制,Step1: 確定點D(sx,txy),Step2: 確定點D'(sy,tyx) tyx= -txy,Step3: 連接DD

9、'與s 軸交于C點,Step4: 以C為圓心，CD（CD'）為半徑畫圓。,,3、利用應(yīng)力圓確定a 截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力,作法:,D點代表的是以x軸為外法線的面上的應(yīng)力,由x軸到任意斜面法線n 的夾角為逆（順）時針的a角，在應(yīng)力圓上，從D點也按逆（順）時針轉(zhuǎn)動，且使對應(yīng)的圓心角為2a。（2倍角關(guān)系）,注意根據(jù)兩倍角關(guān)系確定主平面所在的位置。,4、利用應(yīng)力圓求主單元體（主應(yīng)力的大小和方位）,課堂練習(xí):已知如圖所示的單元體

10、.求主應(yīng)力，并確定主平面的位置。,1、三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓,如圖所示三向應(yīng)力狀態(tài)的主單元體,考察圖示的三棱柱體，斜面與前后面相垂直。,平行于s3的斜面上的應(yīng)力，僅與s1和s2有關(guān)，則可由s1和s2所確定的應(yīng)力圓上的相應(yīng)點的坐標(biāo)來表示。,同理單元體內(nèi)與s1平行的各斜面上的應(yīng)力可由s3和s2所作的應(yīng)力圓上的坐標(biāo)表示，單元體內(nèi)與s2平行的各斜面上的應(yīng)力可由s1和s3所作的應(yīng)力圓上的坐標(biāo)表示。,§12-3 三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓,1、三

11、向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓,研究表明: 對于與三個主應(yīng)力均不平行的任意斜面上的應(yīng)力，它們在s-t 坐標(biāo)平面內(nèi)對應(yīng)的點必位于由上述三個應(yīng)力圓所構(gòu)成的綠色區(qū)域內(nèi)。,2、三向應(yīng)力狀態(tài)的最大切應(yīng)力,1、廣義胡克定律的簡單推導(dǎo),前面談到的胡克定律:,單向拉伸條件下桿件產(chǎn)生橫向應(yīng)變:,純剪切情況下:,最一般情況下，描述一點的應(yīng)力狀態(tài)需要九個應(yīng)力分量，如圖所示:,根據(jù)切應(yīng)力互等定理,則獨立的應(yīng)力分量只有六個。,§12-4 廣義胡克定律,1、廣義胡克

12、定律的簡單推導(dǎo),對于各向同性材料: 小變形及線彈性范圍內(nèi)，線應(yīng)變只和正應(yīng)力有關(guān)，與切應(yīng)力無關(guān)；而切應(yīng)變只和切應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)。 利用疊加法可求得各方向上的線應(yīng)變。,+,+,1、廣義胡克定律的簡單推導(dǎo),利用同樣的方法可以求得 y 和 z 方向上的線應(yīng)變。最后可得:,切應(yīng)變和切應(yīng)力之間，與正應(yīng)力無關(guān)，因此:,以上被稱為廣義胡克定律。,1、廣義胡克定律的簡單推導(dǎo),對平面應(yīng)力狀態(tài)：設(shè)?z=0，?xz=0，?yz

13、=0，有：,當(dāng)單元體的周圍六個面皆為主平面時:,e1、e2、e3為主應(yīng)變。主應(yīng)變和主應(yīng)力的方向是重合的。,1、廣義胡克定律的簡單推導(dǎo),二向應(yīng)力狀態(tài)：,,2、體積應(yīng)變與體積模量,當(dāng)單元體處在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，其體積也將發(fā)生變化，如圖所示:,變形前的體積:,變形后邊長變化為:,體積變化為:,略去高階微量:,單位體積的改變或體積應(yīng)變?yōu)?,主應(yīng)力平均值,體積彈性模量,2、體積應(yīng)變與體積模量,,,,例12-3 在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.

14、01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GPa，μ=0.30。,例12-3 在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GPa，μ=0.30。,②在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，當(dāng)它脹到塞滿凹座后，凹座與柱體之間

15、將產(chǎn)生徑向均勻壓力p。柱體內(nèi)任一點均為二向壓應(yīng)力狀態(tài)，柱內(nèi)任一點的徑向與周向應(yīng)力均為-p，考慮到柱與凹座之間的間隙，可得應(yīng)變e2的值為：,解：①在柱體橫截面上的壓應(yīng)力為：,F,,,,,,,④柱內(nèi)各點的三個主應(yīng)力為：,求得：,,,③由廣義虎克定律：,例12-3 在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GP

16、a，μ=0.30。,F,,,,,,,例 邊長a =0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大、變形可忽略的鋼凹槽中，如圖a所示。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比? =0.34。當(dāng)受到F=300kN的均布壓力作用時，試求銅塊的主應(yīng)力、體應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。,解：銅塊應(yīng)力狀態(tài)如圖b所示，橫截面上的壓應(yīng)力為：,,,聯(lián)解可得：,受鋼槽的限制，銅塊在另兩個方向的應(yīng)變?yōu)榱悖a(chǎn)生壓應(yīng)力，即有：,,,利用空間應(yīng)力狀態(tài)下最大切應(yīng)力的計算式可得：

17、,則銅塊的主應(yīng)力為：,由此可得其體應(yīng)變?yōu)椋?,,物體在外力作用下發(fā)生彈性變形， 外力所作的功將使物體積蓄變形能，當(dāng)外力卸除后，此變形能釋放并對外做功。,這種以彈性變形形式積蓄的能量被稱為 彈性變形能。,若外力作用方式是緩慢加載，變形在彈性范圍內(nèi)，則可忽略動能和其他能量損耗，而以外力作功的大小來計算彈性變形能的大小。,§12-5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度,三向應(yīng)力狀態(tài)下：單元體的應(yīng)變能密度為：,代入廣義胡克定律:,§

18、;12-5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度,物體的變形可以分成兩個部分: 1、體積改變 2、形狀改變。,將三向應(yīng)力狀態(tài)的主單元體分為兩組:,=,+,§12-5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度,第一組應(yīng)力sm為平均應(yīng)力，在它的作用下單元體沿各方向均勻變形，無形狀變化。由此引起的變形能密度，稱為體積改變能密度。,由廣義胡克定律解出em,代入變形能密度公式，并簡化得,§12-5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度,第二組應(yīng)力下單元

19、體體積的改變量為0（可自己驗證體積應(yīng)變），而各邊的變形不同，故只有形狀改變。第二組應(yīng)力引起的變形能密度稱為形狀改變變形能密度。,根據(jù)已經(jīng)求得的vv和 ，,形狀改變變形能密度和體積改變變形能密度的和是總的變形能密度。,§12-5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度,§12-6 強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力,1、概述,,,1）單向應(yīng)力狀態(tài)：,圖示拉伸或壓縮的單向應(yīng)力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：,塑性屈服：極限應(yīng)力為,脆性斷裂：

20、極限應(yīng)力為,此時，?s、? 0.2和?b可由實驗測得。由此可建立如下強度條件：,,,或,2)純剪應(yīng)力狀態(tài)：,其中n為安全系數(shù)。,,圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：,塑性屈服：極限應(yīng)力為,脆性斷裂：極限應(yīng)力為,其中，?s和?b可由實驗測得。由此可建立如下強度條件：,,,3）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),來建立，因為?與?之間會相互影響。,研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料破壞的原因，根據(jù)一定的假設(shè)來確定破壞條件，從而建立強度條件，這就是強度理論的研究內(nèi)容。,

21、對圖示平面應(yīng)力狀態(tài)，不能分別用,,,4）材料破壞的形式,塑性屈服型：,常溫、靜載時材料的破壞形式大致可分為：,脆性斷裂型：,鑄鐵：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；,低碳鋼：三向拉應(yīng)力狀態(tài)。,低碳鋼：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；,鑄鐵：三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)。,例如：,例如：,可見：材料破壞的形式不僅與材料有關(guān)，還與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。,,,根據(jù)一些實驗資料，針對上述兩種破壞形式，分別針對它們發(fā)生破壞的原因提出假說，并認(rèn)為不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，某種類型的破壞都是由同一因素引起，

22、此即為強度理論。,脆性斷裂：,塑性屈服：,5）強度理論,常用的破壞判據(jù)有：,下面將討論常用的、基于上述四種破壞判據(jù)的強度理論。,,,2、四個常用的強度理論,強度條件：,1）最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論),假設(shè)最大拉應(yīng)力?1是引起材料脆性斷裂的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，只要三個主應(yīng)力中的最大拉應(yīng)力?1達到極限應(yīng)力?u，材料就發(fā)生脆性斷裂，即：,可見：a) 與?2、?3無關(guān)； b) 應(yīng)力?u可用單向拉伸試樣發(fā)生

23、脆性斷裂的 試驗來確定。,,,實驗驗證：鑄鐵：單拉、純剪應(yīng)力狀態(tài)下的破壞與該理論相符；平面應(yīng)力狀態(tài)下的破壞和該理論基本相符。,存在問題：沒有考慮?2、?3對脆斷的影響，無法解釋石料單壓時的縱向開裂現(xiàn)象。,假設(shè)最大伸長線應(yīng)變?1是引起脆性破壞的主要因素，則：,?u用單向拉伸測定，即：,,2）最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論),,,實驗驗證： a) 可解釋大理石單壓時的縱向裂縫； b) 鑄鐵二

24、向、三向拉應(yīng)力狀態(tài)下的實驗不符； c) 對鑄鐵一向拉、一向壓的二向應(yīng)力狀態(tài)偏于 安全，但可用。,因此有：,強度條件為：,因為：,,,對低碳鋼等塑性材料，單向拉伸時的屈服是由45°斜截面上的切應(yīng)力引起的，因而極限應(yīng)力?u可由單拉時的屈服應(yīng)力求得，即：,3）最大切應(yīng)力理論(第三強度理論),假設(shè)最大切應(yīng)力?max是引起材料塑性屈服的因素，則：,因為：,,,實驗驗證：,c) 二向應(yīng)力狀態(tài)基本符合，偏于安全。,b

25、) 僅適用于拉壓性能相同的材料。,由此可得，強度條件為：,a) 僅適用于拉壓性能相同的材料；,b) 低碳鋼單拉(壓)對45?滑移線吻合；,存在問題：,沒考慮?2對屈服的影響，偏于安全，但誤差較大；,,,假設(shè)形狀改變能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：,4）形狀改變能密度理論(第四強度理論),因為材料單拉屈服時有：,可通過單拉試驗來確定。,所以：,又：,,,因此：,由此可得強度條件為：,實驗驗證：,a) 較第三強度理論更接近實際值；,

26、b) 材料拉壓性能相同時成立。,,,強度理論的統(tǒng)一形式：,最大拉應(yīng)力(第一強度)理論：,最大伸長線應(yīng)變(第二強度)理論：,最大切應(yīng)力(第三強度)理論：,?r稱為相當(dāng)應(yīng)力，分別為：,形狀改變能密度(第四強度)理論：,,,,應(yīng)用范圍：,a) 僅適用于常溫、靜載條件下的均勻、連續(xù)、各向同性的材料；,b) 不論塑性或脆性材料，在三向拉應(yīng)力狀態(tài)都發(fā)生脆性斷裂，宜采用第一強度理論；,c) 對于脆性材料，在二向拉應(yīng)力狀態(tài)下宜采用第一強度理論；,d)

27、對塑性材料，除三向拉應(yīng)力狀態(tài)外都會發(fā)生屈服，宜采用第三或第四強度理論；,e) 不論塑性或脆性材料，在三向壓應(yīng)力狀態(tài)都發(fā)生屈服失效，宜采用第四強度理論。,,,3、強度理論的應(yīng)用,例 兩危險點的應(yīng)力狀態(tài)如圖，? =?，由第三、第四強度理論分別比較其危險程度。,解：對圖a所示應(yīng)力狀態(tài)，因為,,,所以：,,,對圖b所示應(yīng)力狀態(tài)，有：,所以：,,,可見：由第三強度理論，圖b所示應(yīng)力狀態(tài)比圖a所示的安全；而由第四強度理論，兩者的危險程度一樣。,注意

28、：圖a所示應(yīng)力狀態(tài)實際上為拉扭和彎扭組合加載對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)，其相當(dāng)應(yīng)力如下：,可記住，便于組合變形的強度校核。,,,,由第三強度理論，有：,,,例 利用第三或第四強度理論求純剪應(yīng)力狀態(tài)下屈服應(yīng)力?s和拉壓屈服應(yīng)力?s之間的關(guān)系。,當(dāng)? =?s時材料發(fā)生屈服，因此有：,解：圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力為：,而當(dāng)材料拉壓屈服時有：,,,由此可得：,利用第四強度理論，有：,即，,純剪：,單拉：,由此可得：,,,,,,例 兩端簡支的工字鋼梁承受荷載

29、如圖a所示。已知材料（Q235鋼）的許用應(yīng)力為[?]=170MPa和[?]= 100MPa。試按強度條件選擇工字鋼號碼。,解：首先確定鋼梁的危險截面。,作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖b和圖c所示，可見C、D截面為危險截面，取C截面計算，其剪力和彎矩為：,,,,先按正應(yīng)力強度條件選擇截面型號。因最大正應(yīng)力發(fā)生在C截面的上、下邊緣處，且為單向應(yīng)力狀態(tài)，由正應(yīng)力強度條件可得截面系數(shù)為：,據(jù)此可選用28a號工字鋼，其截面系數(shù)為：,再按切應(yīng)力強度條件

30、進行校核。對28a號工字鋼，查表可得截面幾何性質(zhì)為：,,,中性軸處的最大切應(yīng)力（純剪應(yīng)力狀態(tài)）為：,可見，選用28a號工字鋼滿足切應(yīng)力強度條件，簡化的截面形狀和尺寸以及應(yīng)力分布如圖d所示。,,,利用圖d所示的截面簡化尺寸和已有的Iz，可求得a點的正應(yīng)力?和切應(yīng)力?分別為：,以上分析僅考慮了最大正應(yīng)力和切應(yīng)力作用的位置，而對工字型截面腹板和翼緣交界處（圖d中的a點），正應(yīng)力和切應(yīng)力都較大，且處于平面應(yīng)力狀態(tài)（見圖e），因此還需對此進行強度

31、校核。,,,其中，Sz為橫截面的下緣面積對中性軸的靜矩，為：,由前例可得，圖e所示應(yīng)力狀態(tài)的第四強度理論相當(dāng)應(yīng)力為：,,,可見，28a號工字鋼不能滿足要求。改用28b號工字鋼，按同樣的方法可得：,可用。,若用第三強度理論，則相當(dāng)應(yīng)力為：,請自行計算最終結(jié)果。,,,注意：本例中對a點的強度校核是按簡化后的截面尺寸進行的。實際上，對符合國家標(biāo)準(zhǔn)的型鋼并不需要對該點進行校核；然而，對自行設(shè)計的焊接而成的組合工字梁則需進行校核。,,,練習(xí)題：