阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)興衰

1、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)興衰,胡明明 余文,阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)”并非單指阿拉伯國(guó)家的數(shù)學(xué)，而是指8—15世紀(jì)阿拉伯帝國(guó)統(tǒng)治下整個(gè)中亞和西亞地區(qū)的數(shù)學(xué)，包括希臘人、波斯人和基督徒等所寫的阿拉伯文數(shù)學(xué)著作． 在世界文明史上，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國(guó)的文化，最終為近代歐洲的文藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻(xiàn)．他們掀起了著名的翻譯運(yùn)動(dòng)：在曼蘇爾哈里發(fā)時(shí)期，婆羅摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已傳入巴格達(dá)，并譯成阿拉

2、伯文；8世紀(jì)末到9世紀(jì)初的蘭希哈里發(fā)時(shí)期，包括《幾何原本》和《大匯編》在內(nèi)的希臘天文數(shù)學(xué)經(jīng)典先后被譯成阿拉伯文；9世紀(jì)最著名翻譯家伊本·科拉(Tabit ibn Qorra，836—901)翻譯了歐幾里得、阿波羅尼奧斯、阿基米德、托勒玫、狄奧多修斯等人的著作；到10世紀(jì)丟番圖、海倫等人著作也被譯成阿拉伯文。,阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的突出成就首先表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)方面．花拉子米(Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，約783-

3、-850)是中世紀(jì)對(duì)歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，他的《還原與對(duì)消計(jì)算概要》(約820年前后)一書在12世紀(jì)被譯成拉丁文，在歐洲產(chǎn)生巨大影響．阿拉伯語“al-jabr”，意為還原移項(xiàng)；“wa’l-muqabala”即對(duì)消之意．傳入歐洲后，到14世紀(jì)“al-jabr”演變?yōu)槔≌Z“algebra”，也就成了今天的英文“algebra”(代數(shù))，因此花拉子米的上述著作通常就稱為《代數(shù)學(xué)》. 書中用代數(shù)方式處理了線性方程組與二次方程，

4、第一次給出了一元二次方程的一般代數(shù)解法及幾何證明，同時(shí)又引進(jìn)了移項(xiàng)、同類項(xiàng)合并等代數(shù)運(yùn)算等等，這一切為作為“解方程的科學(xué)”的代數(shù)學(xué)開拓了道路．,阿拉伯的代數(shù)(一)花拉子米(代數(shù)學(xué)),,《代數(shù)學(xué)》約1140年被英國(guó)人羅伯特(Robert of Chester)譯成拉丁文，作為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課本在歐洲使用了數(shù)百年，引導(dǎo)了16世紀(jì)意大利代數(shù)方程求解方面的突破.《代數(shù)學(xué)》分六章敘述6種類型的一、二次方程求解問題． ▲第1章討論“平方等于根”的

5、方程，即 型方程；▲第2章討論“平方等于數(shù)”的方程，即 型方程；▲第3章討論“根等于數(shù)”的方程，即一次方程 ；▲第4、5、6章是關(guān)于三項(xiàng)二次方程求解問題，分別討論三種類型的二次方程： 都給出了相應(yīng)的求根公式．在數(shù)學(xué)史上，他是最早認(rèn)識(shí)到二次方程有兩個(gè)根的數(shù)學(xué)家． x2+10x=39,,對(duì)于方程x2+10x=39的根

6、的正確性證明,在幾何證明之后，花拉子米建立了兩種變換——“還原”與“對(duì)消”．他指出，經(jīng)過這兩種變換，一般形式的一次和二次方程就能化成已經(jīng)討論過的六種標(biāo)準(zhǔn)方程．,算術(shù),花拉子米的算術(shù)著作，只有一種譯本流傳下來，我們把這部著作的名稱譯為《印度的計(jì)算術(shù)》． 　　該書是一部專門講述印度數(shù)碼及其計(jì)算法的著作．作者首先講述了印度人使用9個(gè)數(shù)碼和零號(hào)記數(shù)的方法．這種方法體現(xiàn)了十進(jìn)位值制記數(shù)原理，任何一個(gè)整數(shù)都能很簡(jiǎn)單地表示出來并進(jìn)行計(jì)算．

7、作者還給出四則運(yùn)算的定義和法則．例如乘法定義為重復(fù)相加，除法定義為重復(fù)相減．具體地說，兩數(shù)相乘，就是把其中一個(gè)數(shù)按另一個(gè)數(shù)的大小增加倍數(shù)，其結(jié)果為乘積；兩數(shù)相除，就是把其中較大的數(shù)按較小的數(shù)的大小分成若干部分，用較大的數(shù)減較小的數(shù)，能減去多少個(gè)，商就是多少．花拉子米特別提出倍乘法和倍除法，即乘以2和除以2的運(yùn)算．古埃及人是很重視這兩種運(yùn)算的．花拉子米強(qiáng)調(diào)它們是為了幫助學(xué)生記憶開平方的法則．花拉子米在該書中給出的開平方的方法，用現(xiàn)代符號(hào)表

8、示，相當(dāng)于下列近似公式：,計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)部分表示為60進(jìn)位分?jǐn)?shù)．,,書中還專門講述了分?jǐn)?shù)理論．花拉子米把分?jǐn)?shù)分為“能讀的”和“不,能讀的”，在阿拉伯語中用兩個(gè)以上的復(fù)合詞來表示．分?jǐn)?shù)的表示法與,(用現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)碼)： 3 8 1 3 2 11,,分子在上，分母在下，帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分又在分?jǐn)?shù)部分之上．中國(guó)科學(xué)史家推測(cè)，這種表示法可能是由中國(guó)經(jīng)印度傳入阿拉伯世界的．

9、0;　　花拉子米在這部著作中列表給出分?jǐn)?shù)乘法的例子： 即,,從這個(gè)計(jì)算表格可以看出，計(jì)算步驟是先通分：,然后相乘：,通分母時(shí)沒有取最小公倍數(shù)．這個(gè)例子表明，花拉子米時(shí)代的阿拉伯學(xué)者掌握把一般分?jǐn)?shù)化為單分子分?jǐn)?shù)的方法．,奧馬·海亞姆與三次方程,波斯人奧馬·海亞姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世紀(jì)最著名且最富成就的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和詩(shī)人。 他在代數(shù)學(xué)方面的成就集中反映于他

10、的《還原與對(duì)消問題的論證》(簡(jiǎn)稱《代數(shù)學(xué)》)一書中，其中有開平方、開立方算法，但該書對(duì)代數(shù)學(xué)發(fā)展最杰出的貢獻(xiàn)是用圓錐曲線解三次方程． 奧馬·海亞姆首先將不高于三次的代數(shù)方程分為25類(系數(shù)為正數(shù))，找到14類三次方程，對(duì)每類三次方程給出相應(yīng)一種幾何解法。 例如解 ，首先將其化為 (這 里 ，

11、 按照希臘人的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)， 是線段， 正方形， 為長(zhǎng)方體)。,,方程 的解就是拋物線 與半圓 交點(diǎn)橫坐標(biāo)x． 他首先畫出正焦弦為c的拋物線，再畫出直徑為d的半圓,過它們的交點(diǎn)作垂線PS，則QS長(zhǎng)度就是方程的解．這一創(chuàng)造，使代數(shù)與幾 何的聯(lián)系更加密切．,阿拉伯的三角學(xué)與幾何學(xué)

12、,由于數(shù)理天文學(xué)的需要，阿拉伯人繼承并推進(jìn)了希臘的三角術(shù)，其學(xué)術(shù)主要來源于印度的《蘇利耶歷數(shù)全書》等天文歷表，以及希臘托勒玫的《大匯編》、梅尼勞斯的《球面論》(Sphaerica)等古典著作． 對(duì)希臘三角學(xué)加以系統(tǒng)化的工作是由9世紀(jì)天文學(xué)家阿爾·巴塔尼(al-Batta ni，858?--929)作出的，而且他也是中世紀(jì)對(duì)歐洲影響最大的天文學(xué)家．其《天文論著》(又名《星的科學(xué)》)被普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，

13、哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果．在該書中阿爾·巴塔尼創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語，如正弦、余弦、正切、余切．他稱正弦為ji va，拉丁語譯作sinus，后來演變?yōu)橛⒄Zsine；稱正切為umbraversa，意即反陰影；余切為umbrarecta，意即直陰影．后來演變拉丁語分別為tangent和cotangent，首見于丹麥數(shù)學(xué)家芬克(1561—1656)的《圓的幾何》(1583)一書中．cosa = co

14、sb cosc + sinb sinc cosa. 而正割、余割是阿拉伯另一天文學(xué)家艾布·瓦法(Abu'l-Wafa，940—997?)最先引入的．,,證明了與兩角和、差、倍角和半角的正弦公式等價(jià)的關(guān)于弦的一些定理，證明了平面和球面三角形的正弦定理 比魯尼還證明了正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式，后來阿爾·卡西利用這些公式計(jì)算了sinl’的值．首先求出sin72?和sin36?的

15、值，以求12? = sin（72-?60?）的值，再用半角公式求sin3?的值，由三倍角公式得出sin3?=3sin1?? 4sin31?，即sin1?是三次方程sin3?=3x- 4x3的解，阿爾·卡西用牛頓疊代法求出sin1?的近似值。 如果說希臘以來，三角術(shù)僅是天文學(xué)的附屬的話，那么這種情況在納西爾·丁那里發(fā)生了一些改變．他的天文學(xué)著作《伊兒汗天文表》(1271)是歷法史上的重要著作，其中測(cè)算

16、出歲差51〞／每年，其《天文寶庫(kù)》則對(duì)托勒玫的宇宙體系加以評(píng)注，并提出新的宇宙模型。,,他的《論完全四邊形》是一部脫離天文學(xué)的系統(tǒng)的三角學(xué)專著．該書系統(tǒng)闡述了平面三角學(xué)，明確給出正弦定理．討論球面完全四邊形，對(duì)球面三角形進(jìn)行分類，指出球面直角三角形的6種邊角關(guān)系(C為直角)：,并討論了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入極三角形的概念以解斜三角形．他指出在球面三角形中，由三邊可以求三角，反之，由三角可以求三邊，這是球面三角與平面三角相區(qū)

17、別的一個(gè)重要標(biāo)志．納西爾·丁的《論完全四邊形》對(duì)15世紀(jì)歐洲三角學(xué)的發(fā)展起著非常重要的作用． 與希臘人三角術(shù)的幾何性質(zhì)相比，阿拉伯人的三角術(shù)與印度人一樣是算術(shù)性的．例如由正弦值求余弦值時(shí)，他們利用恒等式 作代數(shù)運(yùn)算而求解，而不是利用幾何關(guān)系來推算，這是一種進(jìn)步．,,與阿拉伯人的代數(shù)成就和三角學(xué)成就相比，阿拉伯人在幾何方面的工作主要是對(duì)希臘幾何的翻譯與保存，并傳給了歐

18、洲，但希臘幾何學(xué)對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的嚴(yán)格性也產(chǎn)生一定的作用，并激發(fā)出思想的火花．最重要的例子是他們?cè)谠u(píng)注《幾何原本》的過程中，對(duì)第五公設(shè)引起了注意，不少人試圖證明這條公設(shè)，如焦赫里(ai-Jawhari，約830)、塔比·伊本，庫(kù)拉(Thabit ibn Qurra，約826---901)、伊本。海塞姆(Ibn al-Haytham,965—1040?)、奧馬，海亞姆以及納西爾·丁等人。 阿拉伯人關(guān)于第五公設(shè)的這